淺談含參數不等式的解法

閆惠嬙

含參數不等式是歷年來高考考查的重點內容，也是很多同學都感到比較困難的知識點，雖然其求解的一般思想方法大家都知道，即分類討論思想，但要做到“不重”“不漏”“最簡”三原則，還是有一定難度的。究其原因是不知因何而討論？對什么進行討論？如何劃定討論標準？文科學生顯得尤為突出。而要想解決這個困惑，學生就必須弄清楚解含參數不等式有哪些類型，下面我們就介紹常見的三種含參數不等式的解法。

一、比較根的大小型

例1.解關于x的不等式x2-2x+1-a2≥0。

分析：二次項系數為1，不等式所對應的二次函數的圖像是開口向上的拋物線，且對應的二次方程的根為1-a和1+a。

解：原不等式等價于[x-（1-a）][x-（1+a）]≥0

①當a>0時，1+a>1-a，∴原不等式的解集為{x|x≥1+a或x≤1-a}；

②當a=0時，原不等式等價于（x-1）2≥0，∴原不等式的解集為全體實數R；

③當a<0時，1+a<1-a，∴原不等式的解集為{x|x≥1-a或x≤1+a}。

小結：當含參數不等式能進行因式分解，而根的大小不易區別時，常通過做差法，由根的大小確定參數范圍，進行分類討論。

二、討論二次項系數型

例2. 解關于x的不等式ax2+（1-a）x-1>0。

分析：△=（a+1）2為完全平方式，∴ax2+（1-a）x-1=（x-1）（ax+1）

因為二次項系數含有參數，不等式所對應的二次函數的拋物線開口方向就不能確定，因此， 需對二次項系數a在零點處進行分開討論。

解：原不等式可以轉化為（x-1）（ax+1）>0

（3）當-4

小結： 若含參不等式所對應的一元二次方程根的判別式不是完全平方式且其符號不確定，則應對方程是否有實根進行分類討論，即對根的判別式的符號進行討論。

綜合以上的分析講解，我們不難發現，在解關于含參數一元二次不等式時，往往要對參數進行分類討論，為了做到分類的“不重”“不漏”“最簡”，討論需從如下三方面進行考慮：

1.關于不等式類型的討論：“ 二次項系數”與 “零”的關系；

2.關于不等式對應方程根大小的討論：方程的根存在，比較其大小，確定參數范圍；

3.關于不等式對應方程有無實根的討論：討論根的判別式。

總之，要解含參數一元二次不等式要和一元二次方程、一元二次函數緊密聯系在一起，從而可以更好的完成解題過程。