數學建模思想與參數假設檢驗教學的融合

【摘要】本文首先探討數學建模思想和參數假設檢驗教學之間的關系，并闡述了將數學建模思想融入到參數假設檢驗教學中的必要性與可行性；其次，結合參數假設檢驗的教學實踐，給出了一個應用案例，討論了數學建模思想融入到參數假設檢驗中的教學模式。最后發現，通過滲透數學建模思想于假設檢驗教學，是培養學生應用能力的一個有效途徑，也是當前統計專業教學教改的一個方向。

【關鍵詞】數學建模 參數假設檢驗

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）33-0103-02

一、引言

美國在20世紀80年代舉行大學生數學建模比賽，加深了數學與應用學科之間的緊密聯系。我國也于20世紀90年代引入了比賽，以激發我國學生對數學的熱愛和興趣，培養學生的實踐應用能力。在數學建模的過程中，學生面對出題者給出的實際問題及數據，要根據題目本身的專業背景，結合數學知識，給出基本假設，設計解決方案并解之。通常需要來自不同專業的學生相互合作才能圓滿完成。數學建模過程分為模型預備、模型假設、模型建立、模型求解和模型驗證。學生通過數學建模，了解學習數學的用處和學好數學的優勢，必將促進和提高學生學習數學基礎課程的積極性。再次，數學建模的思想和方法一旦滲透入大學數學課堂將有助于提高數學教師的教學質量，特別是為年輕教師個人教學風格的培養創造了條件。

數學建模思想應與已有的課程教學內容有機結合起來，從而為大學數學教學改革提供一種全新的思路。如何把數學模型思想融入到概率統計的教學過程中，需要經過長期的探索。近來，任普強（1998）、劉瓊蓀（2006）研究了在工科高等數學中融入數學建模意識的教學方法，倪中新（2006）、李曉毅（2008）、顏亭玉（2013）、張利鳳（2014）、袁玲（2014）、劉桂蘭（2015）研究了在概率統計課程中融入數學建模意識的教學研究。這幾年數學建模主題大部分與統計相關，如2013 年車道被占用對城市道路通行能力的影響與公共自行車服務系統問題。因此，在概率論與數理統計課程教學中融入數學建模的思想和方法，探索一些具有現實意義、應用性強的實例，讓學生去分析、調查、研究，在探索的過程中體驗隨機問題的魅力，培養學生運用概率論與數理統計理論知識分析和解決實際問題的意識和能力是可行的。

假設檢驗的基本思想是小概率反證法思想。小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次試驗中基本上不會發生。反證法思想是先提出假設（檢驗原假設），再用適當的統計方法確定假設成立的可能性大小，如可能性小，則認為假設不成立，若可能性大，則還不能認為假設不成立。

假設檢驗的過程依賴樣本信息，在一定可靠程度上對總體的有關情況進行推斷。如果推斷原假設正確時，通過檢驗予以保留，而當為錯誤時則加以拒絕。假設檢驗是一種不完全的統計歸納推理，通過數據檢驗所作的推斷正確的概率較大，但也存在著犯錯誤的風險和可能，所犯錯誤分兩類：第一類是為真但遭到拒絕，即所謂“棄真”錯誤；第二類是為假但被接受，即所謂“納偽”錯誤，在統計假設檢驗中只有了解兩類錯誤的發生緣由才能根據需要控制兩類錯誤的發生。在課堂上，學生往往能夠掌握參數假設檢驗的求解過程， 卻不清楚假設檢驗模型建立的適用條件。在解題過程中，學生能按照要求順利的進行參數假設檢驗，也能得到檢驗結果，但當時不能解釋原假設和檢驗統計量的含義， 甚至在面對數據時并不知運用何種檢驗方法建立何種模型。因此，在概率論與數理統計中融入數學建模的思想是必要的。

二、將數學建模思想融入到參數假設檢驗教學中的模式

想要把數學建模思想融入大學數學課堂需要要在教師的日常教學中日益滲透。下面就以參數假設檢驗為例，談談如何把數學建模思想融入專業教學，如何提高學生的應用能力。為將數學建模思想融入到參數假設檢驗教學中，培養和提高學生以解決實際問題為核心的實踐能力，在講解參數假設檢驗的概念與原理時，應注重從日常生活的實際問題出發，選取易引起學生興趣的案例進行啟發式教學。這樣能由直觀到抽象，由簡單到復雜，進而運用歸納類比，使學生主動去掌握相關的背景與實際意義，以問題為主線，發現、分析、解決問題，在此過程中學生加強了基本概念、方法的理解，提高了學習興趣，能主動去探索未知的理論知識。因此，在參數假設檢驗教學中，應盡量做到概念、公式和定理的實際背景和應用實例貫穿起來，注重案例教學。例如運用假設檢驗解決產品促銷問題等。通過融入數學建模思想，使參數假設檢驗教學與現實社會、生活背景與當今熱點問題結合起來，讓學生感覺學有所用。

1.在假設檢驗模型中引入數學建模思想

基本假設是統計模型和數學建模的前提，它的合理性關乎模型的合理性。假設檢驗模型中最重要的就是對原假設和備擇假設的假設。原假設不一樣可能導致不同的結論，原假設為何如此重要？下面以電子元件壽命為例。

某電子元件的壽命均為未知，現測得16件元件的壽命（小時）如下：159，280，101，212，224，379，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。問是否有理由認為元件的平均壽命大于220（小時）（=0.05）？

因此我們不拒絕，即認為元件平均壽命大于220小時。

從上例知通過檢驗不同的原假設得出兩種完全相反的結果，如果根據以往這種元件的情況或生產這種元件的廠方不好的信譽，認為平均壽命不超過220小時，只有非常不利于廠方的觀察結果才能改變我們對這種元件不信任的態度。反之當我們交換原假設和備擇假設時，我們事先根據這種元件以往好的信譽認為其平均壽命大于220小時，沒有充分的理由是不能改變我們對這種元件的好的看法。通過學生積極討論，得出這個充分的理由就是小概率原理，如果小概率事件在一次試驗中發生那就有理由拒絕原假設，這樣一來使數學建模思想和假設檢驗原理融合在一起，同時根據兩個相異的結果，通過引導學生分析與抽象出問題的核心，從而建立比較合適的原假設的概念。通過這樣的分析，學生對這個問題有了深刻的認識，也了解到基本假設合理的重要性。當然我們這里的模型建立和求解與數學模型中的還是有所區別，因為沒有一個目標函數而是統計量的取值范圍。endprint

2.在假設檢驗模型建立和求解中引入數學建模思想

數學建模中有了基本假設之后，接著是建模及其求解。問題的焦點集中在接受原假設還是拒絕原假設，那就要找到一個小概率事件，觀察在一次實驗中小概率事件是否發生。這時可以引導學生思考，這樣的小概率事件是唯一的嗎？如何才能合理的找到最佳的一個小概率事件？隨后可簡單介紹一下樞軸量的構造原理和樞軸量在統計學中的重要性，再加上分位數的概念和置信區間的定義我們自然就能得出拒絕域的結論。

3.模型驗證

模型的驗證在建模過程中至關重要。沒有驗證就無法證明模型的可靠性穩定性。統計方法和數學建模在這個問題上的認識是一致的。就上例，驗證的內容分為幾個方面：一是基本假設是否合理；二是數據來源是否可靠；三是模型本身和結論是否能在實際應用中得到解釋。首先看第一方面，因為題中問題是判斷元件的平均壽命大于220，所以就只有二種結果，要么就是把大于220當做原假設，要么就把它當做備擇假設。第二方面中數據來自現場測試，而且有時候只是純粹做題，所以對數據來源這一塊除非在論文發表時要求嚴謹。第三方面因為樣本均值和總體均值之間的誤差相對于標準差較小，所以可忽略不計，所以根據保護原假設的原則很難拒絕原假設導致二種不同結論。

4.在教學中融入建模思想

因為數學建模和統計方法都是應用知識解決實際問題，所以構建基本上程序是一致的。在數學建模中學生自己按照問題的性質提出假設，建立模型，求解模型和檢驗模型。而統計方法步驟相同，不過由于統計方法是現成的方法，我們只需要向學生展示這個步驟。因此，在課堂教學上，可以先介紹有關數學建模的思想及過程的預備知識，結合啟發式教學，以數學建模的思路學習假設檢驗方法，搭建一座聯系理論和實際應用的橋梁。

三、結束語

數學建模在鍛煉學生理論應用實踐方面起到了啟發作用，也是培養學生對統計方法理論的理解和掌握，并能自主建模解決問題的良好途徑。作為學習數學的一種新方式，數學建模能夠為學生們提供自主學習與合作學習的空間，并且有助于學生們感受數學這一科目在解決一些實際問題時所表現來出的用處和意義。因此，將數學建模思想融入到數理統計的參數假設檢驗教學過程中，有利于提高學生發現問題、提出問題、解決問題的能力，在這個過程中不僅提升了學生的綜合水平，還提高了教師的自身素質，也會使整個課堂教學更具有說服力和吸引力。在教學中融入數學建模思想，不僅能培養學生綜合運用各個方面知識解決問題的能力，還能培養學生的語言表達、科技寫作、創新精神、團隊合作等多方面能力，從而提高學生的整體綜合素質。

通過參數假設檢驗部分內容學習的介紹，在今后的概率論與數理統計的教學中，我們需要不斷融入和滲透數學建模的思想和方法。在教學過程中， 培養數學建模的思維方式， 強化理論與實際的聯系，能夠學以致用， 這才是最終教學目標。

參考文獻：

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[2]李大潛.數學建模與素質教育[U].中國大學數學，2002，（10）.

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[5]劉瓊蓀，鐘波.將數學建模思想融入工科“概率統計”教學中[J].大學數學，2006（2）：152-154.

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[8]袁玲，褚正清，李紅菊.概率統計課程中數學建模意識的培養.南陽師范學院學報，2014.6，13（6）：61-63.

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作者簡介：徐小紅（1975-），女，漢族，華南農業大學講師，理學博士，主要研究方向為概率論與數理統計。endprint