解矩陣方程的新方法

【摘要】矩陣方程是矩陣計算中的重要部分，在其求解的過程中主要利用初等變換的方法，但對于AXB=C來說，簡單的行或列變換并不能進行求解，本文提出新的分塊的思想來求X，并進行推廣和延伸。

【關鍵詞】矩陣方程 初等變換 分塊矩陣

【中圖分類號】G642.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）33-0218-02

【Abstract】Matrix equation is the most important part of matrix calculation， and in the process of its solution is mainly by using the method of elementary transformation， but simple row or column does not solve for AXB=C， so this article puts forward new block ideas for finding X， and extends to promote.

一、引言

在線性代數課程的學習中，初等變換可用來求解矩陣方程。所謂矩陣方程是形如AX=C的形式，求出其中的X。當矩陣A可逆時，X=A-1C[5]。利用初等變換的思想求解如下：

可逆矩陣均可以表示成初等矩陣的乘積，則A-1=P1P2L PS，其中Pi（i=1，2，L，s）為初等矩陣。于是在方程AX=C兩端的左邊同時乘以矩陣A-1，得到

二、分塊矩陣求矩陣方程

若矩陣方程的形式如AXB=C所示，則當矩陣A、B都可逆時，求解矩陣X時相當于在方程的兩端的左邊同時乘以矩陣A-1，右邊同時乘以矩陣B-1，表達出來即X=A-1CB-1[5]。在這種情況下，上述兩種求解形式均失效。此時要想利用初等變換的方法求解矩陣X需要尋求新的思路。

求解過程需要對矩陣A進行s次初等行變換的同時對矩陣C進行相同的s次初等行變換，使得矩陣A變成單位矩陣E；然后對矩陣B進行t次初等列變換的同時對矩陣C進行相同的t次初等列變換，使得矩陣B變成單位矩陣E。

根據以上分析，本文提出分塊矩陣求解此矩陣方程的思路如下：

三、總結

利用初等變換可以求解矩陣方程，且方程AX=C和XB=C是本文所求解的AXB=C方程形式的特殊形式。在矩陣方程AXB=C中，只需令矩陣B=E和A=E即可得到方程AX=C和XB=C。在初等變換求解矩陣方程的過程更簡便易行，所以本文所提出的分塊矩陣求解矩陣方程的方法具有有效可行性，有實用價值。

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作者簡介：李曉莎（1987.12-）女，漢族，河北省保定市，中國石油大學勝利學院，教師，助教，碩士，數值代數。