反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

楊靜梅

摘 要：在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，反例與證明有著同等重要的地位。尤其是在判斷事物的真假時(shí)，起著十分重要的作用。反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中也有著十分強(qiáng)大的作用，能使學(xué)生正確全面的理解數(shù)學(xué)概念；加強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、糾正錯(cuò)誤的觀念；理解并掌握數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)；與此同時(shí)，加深了對(duì)公式、法則的正確理解并靈活運(yùn)用。同時(shí)，反例教學(xué)對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)也有著巨大的作用，能使學(xué)生的思維更靈活，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一些反例來(lái)輔助教學(xué)。本文圍繞這個(gè)熱點(diǎn)話(huà)題，就數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的作用作了探討。

關(guān)鍵詞：反例；數(shù)學(xué)教學(xué)；作用

1、引言

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們通常會(huì)應(yīng)用反例。那么反例在教學(xué)過(guò)程中有什么作用呢？本文的寫(xiě)作目的在于研究反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。研究反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用有利于解決如何提高教學(xué)效率，有利于解決如何提高學(xué)生的解題能力，還有利于解決教學(xué)中的一些難題。反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分強(qiáng)大的作用，能使學(xué)生正確全面的理解數(shù)學(xué)概念；加強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、糾正錯(cuò)誤的觀念；理解并掌握數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)；與此同時(shí)，加深了對(duì)公式、法則的正確理解并靈活運(yùn)用。

2、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

在數(shù)學(xué)史上，有幾何三大難題，一是三等分角：將一個(gè)已知的角分成三等分；二是立方倍積：已知一個(gè)立方體，使它的體積恰好等于原來(lái)體積的兩倍；三是畫(huà)圓為方：已知一個(gè)圓，求作一個(gè)正方形，使正方形面積和圓的面積相等。限使用直尺和圓規(guī)進(jìn)行上述三個(gè)問(wèn)題的幾何作圖，這是二千四百年前古希臘人提出的著名幾何三大難題。兩千多年來(lái)，不知多少數(shù)學(xué)家被這三個(gè)問(wèn)題難倒了。許多人鉆研它從年少到了白發(fā)，結(jié)果無(wú)一取得成功。這樣人們悟及正面的結(jié)果既然無(wú)望，便轉(zhuǎn)而從反面懷疑問(wèn)題的不可能性。直至1637年，笛卡爾發(fā)明了解析幾何，使尺規(guī)作圖可能問(wèn)題有了解析判別標(biāo)準(zhǔn)，才為構(gòu)成反例開(kāi)辟了新的途徑。過(guò)了兩百年，到1837年，聞脫茲爾證明了三等分任意角，立方倍積用尺規(guī)作圖的不可能性。德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼于1882年證明了圓周率是超越數(shù)，從而證明了化圓為方問(wèn)題是尺規(guī)作圖不可能問(wèn)題，至此幾何三大難題之謎才被揭開(kāi)。因此，人們發(fā)現(xiàn)一些難題從正面無(wú)法解決的時(shí)候，我們應(yīng)該從反面思考，尋找反例來(lái)解決問(wèn)題。由此可見(jiàn)，反例的作用是十分強(qiáng)大的。

2.1 正確全面地理解數(shù)學(xué)概念

在對(duì)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，不僅要運(yùn)用證明的例子對(duì)概念進(jìn)行深刻地理解，而且還要運(yùn)用適當(dāng)?shù)胤蠢瑥牧硪粋€(gè)方面對(duì)概念的本質(zhì)進(jìn)行分析，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有更進(jìn)一步的理解，從而更深刻地理解和掌握概念。

例1關(guān)于函數(shù)的概念時(shí)，可能就是簡(jiǎn)單地認(rèn)為就是：一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，它們之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系，為了糾正這一錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，可以舉下面幾個(gè)例子。

人的體重隨著身高的變化而變化，但是人的體重不是由身高唯一確定的所以人的體重和身高變化的相依關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。

一塊棉花地的產(chǎn)花量隨著施肥量的變化而變化，但是，棉花產(chǎn)量不是由施肥量唯一確定的，所以產(chǎn)花量不是施肥量的函數(shù)關(guān)系。y=sin2x+cos2x。

當(dāng)x取不同值時(shí)，y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，但不論x取什么值，y的值始終不變（等于1）。y=（x+2+x）（x+2-x）也是函數(shù)，但不論x取什么非負(fù)數(shù)，y的值始終保持不變（等于2）。

說(shuō)明：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，要抓住它的本質(zhì)屬性，y是x的函數(shù)。并不一定要求y隨x的變化而變化，由以上反例看到：對(duì)變量x的每一確定的值，變量y有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，這才是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。

教學(xué)中，概念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，往往容易讓學(xué)生對(duì)一些關(guān)鍵的詞語(yǔ)認(rèn)識(shí)不夠，對(duì)所給的條件理解不透徹，就不能夠抓住它的本質(zhì)，而只是機(jī)械地記憶概念、定理的名稱(chēng)和公式的結(jié)構(gòu)。如果遇到概念、定理、公式的名稱(chēng)相近或結(jié)構(gòu)類(lèi)似，就容易造成理解上的混淆。

2.2 加強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、糾正錯(cuò)誤的觀念

在解題過(guò)程中我們?nèi)菀壮霈F(xiàn)差錯(cuò)并且不容易被發(fā)現(xiàn)和糾正。對(duì)此，可以引入適當(dāng)?shù)姆蠢ㄟ^(guò)讓學(xué)生進(jìn)行討論，幫助他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析錯(cuò)誤原因，找出正確的解題方法。

例 2概率的加法定理

P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An），（A1，A2，…An）

必須彼此互斥，往往會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題，讓我們一起來(lái)看一個(gè)反例。

將一個(gè)之地均勻的正方體玩具的六面依次編號(hào)1、2、3、4、5、6。現(xiàn)做拋擲這個(gè)正方體的一次實(shí)驗(yàn)。設(shè)A：奇數(shù)向上的事件；B：奇數(shù)不超過(guò)3的事件。顯然，事件A、B不互斥，因?yàn)槌霈F(xiàn)1點(diǎn)和3點(diǎn)都表示A與B同時(shí)發(fā)生。因?yàn)槭录嗀+B包括四個(gè)結(jié)果：出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)和5點(diǎn)。所以P（A+B）=46=23。而P（A）=36=12，P（B）=36=12。顯然23≠12+12，即P（A+B）≠P（A）+P（B）這樣可以清楚的認(rèn)識(shí)到這樣做是錯(cuò)誤的，以及錯(cuò)誤的原因（A1，A2，…An，必須彼此互斥）從而更加深刻理解（A1，A2，…An必須彼此互斥）的條件。

2.3 理解并掌握數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)

我們?cè)趯W(xué)習(xí)一個(gè)新的定理、性質(zhì)時(shí)，容易忽略定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，從而容易造成解題的錯(cuò)誤。所以在實(shí)際教學(xué)中為了克服這一現(xiàn)象，教師要善于構(gòu)造反例，來(lái)幫助同學(xué)們牢記住定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，以達(dá)到正確理解并掌握定理、性質(zhì)。

例3定理：三角形任何兩邊的和大于第三邊。推論：三角形任何兩邊的差小于第三邊。注意：“任何”二字不可忽略。否則有時(shí)不能構(gòu)成三角形。如若已知三條線(xiàn)段a=1，b=2，c=4，顯然線(xiàn)段a、b、c不能構(gòu)成一個(gè)三角形。

2.4 加深對(duì)公式、法則的正確理解并靈活運(yùn)用

我們?cè)趯W(xué)習(xí)有關(guān)公式、法則時(shí)，會(huì)容易忽略掉這些公式、法則的運(yùn)用范圍，從而在使用時(shí)不注意分析具體條件而生搬硬套，造成錯(cuò)誤。因此，在教師教學(xué)中中不僅要向同學(xué)們講清、交代公式、法則的適用條件，而且還要適當(dāng)引用一些反例，加深他們對(duì)這些公式、法則的理解以便達(dá)到有效的掌握。endprint

2.5 提高否定錯(cuò)誤命題的能力

判斷一句話(huà)（或一種理論）的真假，首選的方法就是構(gòu)造反例。這是由反例自身的特點(diǎn)決定的。它具有直觀、簡(jiǎn)明、清晰、說(shuō)服力強(qiáng)等特點(diǎn)，因而在澄清是非，揭示錯(cuò)誤，否定命題時(shí)顯示出它特殊的震撼力。

數(shù)學(xué)中有些問(wèn)題，若從正面來(lái)理解的話(huà)，同學(xué)們往往難于理解，有些還會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的判斷，為了使他們能夠正確的判斷問(wèn)題的真假，因此在實(shí)際教學(xué)時(shí)應(yīng)突出反例，通過(guò)借助反例來(lái)提高辨別錯(cuò)誤命題的能力。

例 5 如果平面外的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。但是，“若直線(xiàn)a平行直線(xiàn)b，b在平面M內(nèi)，則直線(xiàn)a平行于平面M”的命題不真。因?yàn)橛衋在平面M內(nèi)的情況存在。

反例的功能是十分強(qiáng)大的，通過(guò)上面簡(jiǎn)單探討，不難看出它是理解數(shù)學(xué)概念的有力工具，也是糾正錯(cuò)誤的有效方法，還是強(qiáng)調(diào)條件的得力措施，更是否定謬論的銳利武器。

3、結(jié)論

數(shù)學(xué)是思維的體操，特別是反例能夠培養(yǎng)發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維。在教學(xué)過(guò)程中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力，學(xué)生提出問(wèn)題的時(shí)候，教師應(yīng)給予肯定并積極解惑。在學(xué)習(xí)某些定理和定義的時(shí)候，對(duì)于它們的適用范圍和限制條件要引導(dǎo)學(xué)生大膽的猜測(cè)。讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，進(jìn)行猜想，得出結(jié)果，讓反例發(fā)揮其強(qiáng)大的作用。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新力，從而進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，可以大大地提高教學(xué)質(zhì)量。因?yàn)榉蠢拇嬖冢軌騼?yōu)化解題過(guò)程，加快解題速度，提高解題能力。因此，教師在教學(xué)時(shí)，要注意培養(yǎng)學(xué)生的解題能力以及運(yùn)用反例的能力。

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（作者單位：曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 曲靖 655011）endprint