利用坐標軸命名法突破y=Asin（ωx+φ）的性質問題

黃 涵 王圣榮

（1．三明第一中學，福建 三明 365001；2．三明市第九中學，福建 三明 365001）

利用坐標軸命名法突破y=Asin（ωx+φ）的性質問題

黃 涵1王圣榮2

（1．三明第一中學，福建 三明 365001；2．三明市第九中學，福建 三明 365001）

文章以函數y=Asin（ωx+φ）的性質問題為例，引入坐標軸命名法，介紹坐標軸命名法在解題過程中的應用方法。坐標軸命名法突破傳統方法僵化的模式：橫軸只能用x作為名稱、縱軸只能用y作為名稱，充分發揮平面直角坐標系在數形結合法應用過程中的工具性作用，靈活根據具體的問題需要，對橫軸和縱軸的名稱進行適時的變化。該方法不僅有利于教師利用平面直角坐標系講解題目，讓學生能夠更好地理解教師的解題方法；也有利于學生不拘泥于函數的字母特征，將直角坐標系應用于廣泛的數學問題中，提升學生的解題能力。

三角函數；正弦型函數；y=Asin（ωx+φ）；平面直角坐標系；數形結合思想

一、坐標軸命名法的產生背景

研究正弦型函數y=A sin（ωx+φ）的圖像性質一般有兩種方式。其一是以x為研究對象，作出y=sin x經過平移伸縮之后的圖像，或者是利用五點作圖法作出函數圖像。其二是以相位ωx+φ為研究對象，將相位當成一個角結合y=sin x的圖像，通過換元法完成性質問題的解答。

由于第一種方法有圖像的支持，解題時對函數有直觀的認識，學生比較容易接受。但是這一方法的作圖過程比較繁瑣，對于解答 y=A sin（ωx+φ）的性質問題所花費的時間較多。但是若ω，φ中有一個為未知數則無法作出圖像，也就無法達到解題的目的。［1］

第二種方法對于解答比較常見的性質問題（如單調區間、對稱軸）時，學生常用生搬硬套公式的方式完成解題。但這一方法采用了等價轉化的思想，沒有第一種方法那么直觀，應用時比較抽象，對學生的理解力要求較高。

兩種方法各有優勢，也各有欠缺，如果能有一種方法能夠兼收兩種方法的優勢，就可以實現解y=A sin（ωx+φ）的性質問題的突破，而坐標軸命名法就具備這樣的特點。

二、坐標軸命名法的引入

坐標軸命名法是指通過對直角坐標系中的橫軸與縱軸的代數意義進行命名，確定函數中變量間對應關系，進而達到研究函數性質的目的。以正弦型函數y=A sin（ωx+φ）的圖像為例，橫軸通常命名為 x軸，這一命名方法作出的函數圖像隨著參數ω，φ的變化而變化，這就讓正弦型函數性質的研究變得十分復雜。如果將橫軸命名為ωx+φ軸，那么根據等價轉化的思想，根據“五點作圖法”的列表可以得到與y=sin x相同的關鍵點。縱軸則依然命名為y軸，與y=sinx的縱坐標不同在于：y=sin x 的振幅是 1，而 y=A sin（ωx+φ）的振幅是 A。［2］結合以上的分析，作出

觀察上表可以得出：當A＞0且ω＞0時，y=sin x圖象上的點與 f（x）=A sin（ωx+φ）上的點形成等價對應關系。在教學中可以通過幾何畫板的演示，讓學生直觀地觀察到這種對應關系。總結圖像中所呈現的常見的幾個等價關系：

（一）f（x）的單調區間等價滿足 ωx+φ 所在的單調區間；

（二）f（x）的對稱軸（對稱中心）等價滿足 ωx+φ 所滿足的對稱軸方程或對稱中心橫坐標特征；

（三）當 x∈（a，b）時， f（x）值域等價于 ωx+φ∈（ωx+φ，bω+φ）對應的值域；

（四）x對應的值等價于ωx+φ對應的值。

以上的等價關系同樣適用于余弦型函數y=A cos（ωx+φ）的性質分析中。總而言之，將x作為研究對象時所具備的所有性質，可以等價轉化為ωx+φ作為研究對象對應的性質特征。

三、坐標軸命名法在已知解析式求性質問題中的應用

例 1：（2013 天津卷·文 6）函數 f（x）＝sin（2x－）在區間［0，］上的最小值為（ ）。

A．－1 B．－22 C．22 D．0

圖1

圖2

四、坐標軸命名法在已知函數圖象求參數問題中的應用

例 3：（2015高考新課標 1·理 8）函數 f（x）＝cos（ωx+φ）的部分圖像如圖3所示，則 f（x）的單調遞減區間為（ ）

圖3

圖4

五、坐標軸命名法在已知函數性質求參數問題中的應用

圖5

A．11 B．9 C．7 D．5

圖7

解析：

通過以上分析過程可以看出，利用坐標軸命名法，既可以采用直接找最簡單、最常見的符合已知條件的區間作為思考切入點，用以簡化解題過程，迅速找到所需要的答案。也可以通過寫出相位ωx+φ所滿足的一般形式進行求解，獲得嚴謹的解題過程。

六、反思

由于坐標軸命名法下的橫軸為相位ωx+φ，此時y=A sin（ωx+φ）圖像處于相對固定的狀態。在解題的過程中，可以根據已知條件的x的特征求出相應的ωx+φ在圖像中的位置，然后結合圖像寫出ωx+φ所滿足的方程或不等式，最后根據方程或不等式求出未知數的值或范圍。［3］采用該方法的優勢在于：在作圖中已經完成了等價轉化思想的應用，而且教師在講解的過程中能夠很輕易地利用圖像表達自己的解題思路，而學生也能夠通過圖像的不斷應用，提高自己對圖像的應用熟練度和解題的靈活度。

坐標軸命名法不僅適用于三角函數的問題解答，在具體的實踐中，很多復合函數的性質問題（單調性問題需先將內層函數轉化為增函數）都能應用該方法簡化問題的解答過程。

平面直角坐標系構建了代數與幾何圖形的橋梁，對解決許多函數的重要問題都起著工具性作用。既然是工具，就不應該在使用時僵化為橫軸只能用x作為名稱、縱軸只能用y作為名稱，而應該根據具體的問題需要，對橫軸和縱軸的名稱進行適時的變化。這樣不僅有利于教師利用平面直角坐標系講解題目，讓學生能夠更好地理解教師的解題方式；也有利于學生不拘泥于函數的字母特征，將直角坐標系應用于更加廣泛的數形問題中，從而提升學生的解題能力。

［1］林晴嵐，陳柳娟，張潔.探尋高考數學試題之源，找準復習目標回歸教材——以函數導數應用專題為例［J］.中國數學教育，2017（10）.

［2］林晴嵐，陳柳娟，張潔.平中出奇 常中創新——2013-2015年高考數學全國（課標）卷特色探析［J］.福建教育學院學報，2015（9）.

［3］蔡劍鋒，陳朝陽.立足教材巧拓展 理解真題識本質——高三復習對教材例、習題的理解、拓展及應用［J］.中國數學教育，2015（9）.

G471.2

A

1673-9884（2017）08-0062-04

2017-07-11

黃 涵，女，三明第一中學一級教師。