小學數學建模：概念解讀、現狀分析與未來展望
——基于課題研究與數學核心素養培養的分析與思考

陳 燕

（閩江師范高等專科學校，福建 福州 350117）

小學數學建模：概念解讀、現狀分析與未來展望
——基于課題研究與數學核心素養培養的分析與思考

陳 燕

（閩江師范高等專科學校，福建 福州 350117）

人類社會正全面步入定量化、數量化和數字化的時代，未來將屬于數學建模的時代。當下小學數學建模存在流于應試的數學教育模式，對數學建模存在理解誤區，并未引起社會的廣泛重視與參與。為此，未來小學數學建模要朝如下幾個方向努力：讀懂、讀透新課標與教材，注重培養數學模型意識和數學建模能力；以課堂教學為主線，課堂教學活動始終不離數學建模；大膽拓展，積極推進課外數學建模系列活動；改進數學教學評價體系，促進數學建模科學化。

數學建模；模型思想；數學核心素養

今天的數學憑借現代化電子信息技術手段，使得各種自然與社會現象得以更加精準地模擬和詮釋。數學建模更是讓數學從工具學科迅速蛻變成為核心技術，并以空前的廣度、深度和速度，向自然科學、社會科學、科學技術的各個領域滲透。人類社會正全面步入定量化、數量化和數字化的時代，從這個意義上說，未來將是屬于數學建模的時代。

一、數學建模及其相關概念解讀

數學建模（又稱數學模型方法），就是指把要解決的實際問題，先進行必要的抽象、簡化以及恰當的假設，再通過刻劃各變量、常量之間的數學關系并建立相應的數學結構（即數學模型），然后利用各種算法求解這個數學模型，并將求解結果返回到實際問題中去檢驗，最后使得實際問題得到解決或解釋，乃至進一步拓展與推廣的過程。以上是較為嚴謹的數學建模過程，簡單的說，數學建模就是通過“建立數學模型”——“求解數學模型”——“應用數學模型”的過程來解決問題的一種方法、手段和途徑。這里所說的“數學建模”不等同于“建立數學模型”，“建立數學模型”是數學建模中最為關鍵、最為困難的一個環節，它是把紛繁復雜的實際問題轉化為合理數學結構的過程。比如歐拉把七橋問題抽象、簡化成能否一筆畫的問題的過程就是“建立數學模型”的過程。通過數學建模可以培養學生數學建模能力，主要包括：閱讀理解、數學化、邏輯推理、計算、寫作、語言表達和團隊協作以及自我監控的能力等。

何謂模型思想？模型思想就是指通過數學建模當然也應包括直接應用數學模型來解決問題的一種思維方式。模型思想作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》唯一的一個在十大核心概念中提出的數學思想，足以看出模型思想的一般性與重要性。史寧中教授在《數學思想概論》一書中從數學產生、數學內部發展、數學外部關聯這三個維度概括出對數學發展影響最大的思想有：抽象、推理、模型這三個。數學建模與這三大基礎思想之間的關系如下圖所示：

二、小學數學建模的現狀分析與解讀

數學建模發端于1978年前后的英國，現在已經發展為世界大學數學建模聯賽。我國每年一屆的全國大學生數學建模競賽參賽規模，也以年平均25%以上的速度增長。盡管世界各國越來越意識到數學建模的重要性，目前我國乃至世界范圍內的小學階段進行數學建模專項研究的還是少之又少。

基于筆者主持在研的省級課題“高職師范專業數學建模階梯式內容體系研究”的需要,主要面向福建省的省、市、區、縣、鄉鎮小學發放的1269份有關小學數學教師的數學建模現狀的調研結果顯示:有62.73%的教師走上崗位之前沒有上過數學建模課程，而只有8.35%的教師參加過大學生數學建模比賽。59.18%的教師聽過數學建模或模型思想的講座。摘錄其中第11題、12題，分別就答題情況分析如下：

第11題：您對以下哪些概念比較了解？［多選題］

第12題：您清楚上一題中這些概念之間的區別和聯系嗎？［單選題］

調查數據還表明：73.92%的教師時常有意識地從學生的實際情況去設計教學；77.15%的教師教學中會注重挖掘數學與生活的聯系；而55.08%的教師會因為課時緊，壓縮講解新知識的時間，也就是減少過程，直接告訴學生概念、原理、公式，然后通過較多的練習來訓練學生掌握解題技能。有65.25%的教師在實際教學中往往因為課時緊無法兼顧結果與過程；只有42.24%的教師在教學中有意識引導學生感悟數學思想方法。

綜合各方面的調查研究，當下我國小學數學建模的現狀主要有：

（一）流于應試的數學教育模式，培養出來的學生依然高分低能

從調研分析可以看出，我省基礎教育課程改革取得不小的成效，但是我們同時也看到，受應試教育的影響，當前我省小學數學教育仍然存在片面追求高分的急功近利現象。課時緊、難以兼顧過程與結果，重記憶輕理解、重知識輕方法、重理論輕應用的教、學以及評價模式影響根深蒂固，造成我省學生（包括小學生）普遍擅長求解數學模型與機械套模，卻欠缺主動尋找問題、建立數學模型以及運用數學模型解決實際問題的能力的主要原因之所在。

（二）對數學建模相關概念、理念認識模糊，對數學建模存在理解誤區

調研表明，不少小學數學教師包括教研員在內，對模型、數學模型、建立模型、數學建模、模型思想等相關、相近概念認識模糊、相互混淆，對數學建模也存在兩種比較極端的片面理解，現分析解讀如下：

誤區一：有些教師認為，數學建模與解應用題無關。

應用題一：15條金魚，每個魚缸里放5條，要用幾個魚缸？——實際問題

想15里面有幾個5？——數學化

15÷5——數學模型

=3（個）——數學模型的解

答：要用3個魚缸。——實際問題的解

“麻雀雖小，五臟俱全”，每一道應用題的解答都濃縮著數學建模的過程。解應用題是培養學生數學建模能力的最好載體，應引導學生從數學建模角度解讀每一道應用題，感悟、體驗模型思想，積累與數學建模活動相關的經驗。

誤區二：有的教師認為數學建模就是解應用題。

應用題二：某水果種植戶從采摘回來的總質量為若干千克的某類水果中隨機抽取了若干個，并稱出其質量。第一個問題是估計這批水果單個的平均質量；第二個問題是給出該水果評定為優級的質量標準，試估計這批水果中優級水果的占比以及總質量。

像這樣僅僅給數學披上一件現實外衣的冷冰冰的應用題，即使再做上1000道也無益于提升解決生活實際中問題的能力。如果嘗試將這道題還原到現實生活中，比如：某水果種植戶采摘了一批水果，現在有一家水果公司要全部買走這批水果，該種植戶應該如何來定價呢？請給出一個合理的解決方案。這樣的問題呈現就是基于現實意義適合中小學生建模的有溫度、有一定難度的好素材了。而通過對實際問題的求解過程，也就能很好地理解原先的那道應用題所設置的兩個小問題的意義和價值之所在。

實際教學中所呈現的問題往往是經過簡化處理，呈現出來的情境簡約、數據簡單、語言精練，能一目了然地知道已知條件與所求的問題，這樣的問題與實際問題相距甚遠。教師應當適當改變問題呈現方式或換個角度思考問題，使得問題設計與解決能夠真正體現數學建模的核心價值——通過解決一道題從而解決一類題。

（三）小學數學建模并未引起社會的廣泛重視與參與

相關調研還表明，大多數小學數學教師沒有職前參加數學建模的實踐經驗，職后的培訓也通常只局限于常識性的了解，所以自身指導開展數學建模活動的能力有限，再加上由于小學階段學生的認知水平、心理素質以及現代信息技術應用能力有限等因素，決定了小學數學建模的形式、內容、程度要與更高層次的初高中、大學生開展數學建模區分開來。而目前在小學數學建模可行性的教學模式探索、適用性教材編寫以及小學生數學建模實用工具包的開發、小學數學建模師資的培訓等方面的研究與投入更是少之又少。當前小學數學建模缺乏專家引領，缺少經驗總結與交流的平臺等也都是阻礙小學數學建模推進的因素。總之，小學數學建模并沒有引起社會相關領域的廣泛重視與參與。

但是從調查中（如下表所示），也可喜地看到隨著當前高校數學建模課程的普及，越來越多年輕的小學數學教師對數學建模課程的了解也越來越深入，這些都為將來更好地推進小學數學建模帶來師資儲備。

三、小學數學建模的未來展望

史寧中教授在《義務教育數學課程標準（2011年版）》“十大核心概念”的基礎上進一步提出數學核心素養。他認為數學核心素養就是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的、具有數學特征的關鍵能力與思維品質；其終極目標就是讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。因此，數學建模有關的能力與思維品質就是當前數學核心素養的重要組成部分。基于此，推動小學數學建模可以考慮從以下幾個方面加以落實：

1.讀懂、讀透新課標與教材，注重培養數學模型意識和數學建模能力

與傳統教材相比，新課改之后的教材（以人教版2011版為例，下同）顯著變化之一就是改變了應用題呈現方式與設計意圖，從“集中”到“分散”再到“分散+局部集中”，從單純的解應用題模式訓練到分散到各個領域經歷完整的問題解決的過程，也就是倡導從機械的套模、用模到經歷數學建模的全過程。教材每一章配套的問題解決模塊從第一學段“知道了什么？——怎樣解答？——解答正確嗎？”到第二學段“閱讀理解——分析解答——回顧反思”逐步深入、螺旋上升。從一年級開始就有意識地引導學生從讀懂圖意到讀懂題意，再到排除干擾因素、去掉多余條件，逐步培養從現實、具體的問題情境中解讀、提取有效的數學信息，發展運用多種方法和策略解決問題的能力，并在檢驗解答是否正確之余，還注重引導學生適時對解題思路、方法策略進行回顧與反思，進一步感悟數學思想、積累相關活動經驗。這些無一不與數學建模能力培養以及模型思想的感悟與應用有關。

從“雙基”——“四基”，從“兩能”——“四能”，從“解決問題”——“問題解決”，教師要讀懂新課標相關理念，理清、讀透教材的編排意圖。同時建議在第二學段的教材中適當設置一些涵蓋多方信息的實際應用仿真開放題，做好數學建模小初銜接，從“小學”到“大學”實現數學建模一貫式培養。

2.以課堂教學為主線，課堂教學活動始終不離數學建模

教師一方面應有意識地讓學生在廣義的數學模型（數學概念、公式、規律、法則、方程式和算法系統等）學習的過程中，多經歷“問題情境——抽象、簡化或猜想——建立模型——驗證與解釋——應用模型”（有時還要經歷“拓展模型——再建模型”）的教學模式，充分體驗數學建模過程，掌握數學建模相關的方法和技巧，積累數學建模經驗。另一方面應重視經典數學模型（如雞兔同籠、植樹問題、鴿巢問題等）的教學，著重圍繞數學建模與模型思想進行深入挖掘和設計，除了讓學生經歷數學建模的全過程，也應重視為學生提供用模的機會，實現通過一道題解決一類題，感悟、體驗數學模型思想，體會數學建模以及模型思想的意義和價值。

3.大膽拓展，積極推進課外數學建模系列活動

可以嘗試從以下幾個方面進行：（1）圍繞特定知識點同步設計數學建模題目，初步體驗數學建模全過程。例如在學了《圓的周長》之后，可以組織學生開展用“滾圈法”估測學校操場環形跑道外圈長度的活動。（2）圍繞生活中的實際問題開展數學建模活動。例如可以利用周末或假期嘗試形成諸如“水果商堆積水果中的學問”等有價值的調查報告。（3）以“數學步道”為主題面向全校師生開展數學建模活動。讓學生甚至家長一起參與挑戰數學步道闖關游戲，還可以通過提供圖片及數據進行校園吉尼斯師生、家校數學步道設計大比拼等活動，培養師生發現、提出、分析、解決實際問題的意識與能力。（4）結合綜合實踐活動，開設不同主題的數學建模活動。福州臺四小葉武平老師主持的課題組曾面向1至6年級的師生開展園藝種植綜合實踐活動，從科學、數學、信息技術等多學科視角切入并嘗試跨學科融合。該團隊示范的《厘米的認識》《認識時間》《復式條形統計圖》《向日葵中的數學問題》等課就通過科學觀察收集有用數據，提煉園藝種植中的數學問題，挖掘數學建模素材，結合不同年級教材內容進行整合并借助現代信息技術進行教學設計，為我省乃至全國多學科整合教學研究提供不可多得的非常有價值的案例。

4.改進數學課程教學評價體系，促進數學建模科學化

在小學數學課程實施評價過程中，我們既要評價教師的教也要評價學生的學，還應該對學校的管理以及配套措施是否到位進行評價。參考國際學生評價項目（PISA）（PISA評價的內容之一是學生的數學素養），以及國家教育質檢命題精神，進一步促進多元化、多面化、多樣化、綜合化的課程教學評價體系形成與完善，促進數學建模科學化。

結語：我們期待更多的師范院校、教育研究機構、專家團隊、相關職能部門能夠參與進來共同推動小學數學建模課程建設。以數學建模為突破口，徹底改變教師、學生、課堂，有效促進小學數學課程“教”“學”與“評價”模式的改革，真正實現從高分低能到基于核心素養人才培養模式的根本性轉變。

［1］鐘建林，林武.小學數學專題式教學導引［M］.福州：福建人民出版社，2012.

［2］王永春.小學數學與數學思想方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.

［3］林碧珍.數學思維養成課——小學數學這樣教［M］.福州：福建教育出版社，2013.

［4］顏文勇.數學建模［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［5］史寧中.漫談數學的基本思想［J］.中國大學教學，2011（7）.

［6］劉芳.數學模型思想的概念辨析與實踐研究［J］.小學數學教育，2016（12）.

G622.0

A

1673-9884（2017）08-0074-04

2017-07-15

2015年福建省教育廳中青年科研項目一般課題（JA15808）

陳 燕，女，閩江師范高等專科學校副教授。