機械優化設計論文

馮棟磊+陳鴻波

摘 要：機械優化設計是以數學規劃為理論基礎，以電子計算機為工具，尋求機械最優設計參數的近代先進設計方法之一。采用優化方法，對提高新產品的設計水平和改進現有設備的設計方案是極有價值的。隨著電子計算機在我國越來越廣泛的應用，機械優化設計方法的推廣應用以及進一步的研究發展也就有了可靠的保證。

關鍵詞：優化設計；數學建模；一維優化；無約束優化

一、前言

優化設計是20世紀60年代初發展起來的一門新學科，它將最優化原理和計算技術應用于設計領域，為工程設計提供一種重要的科學設計方法。采用這種新的設計方法，人們可以從眾多的設計方案中尋找出最佳的設計方案，從而大大提高設計的效率和質量。

二、正文

一、優化設計概述

1.1從傳統設計到優化設計

一項機械產品的設計，一般需要經過調查分析、方案擬定、技術設計、零件工作圖繪制等環節。傳統設計方法通常在調查分析的基礎上，參照同類產品通過估計、經驗類比或試驗來確定初始設計方案。然后，根據初始設計方案的設計參數進行強度、剛度、穩定性等性能分析計算，檢查各性能是否滿足設計指標要求。如果不完全滿足性能指標的要求，設計人員將憑借經驗或直觀判斷對參數進行修改。這樣反復進行分析計算一性能檢驗一參數修改，直到性能完全滿足設計指標的要求為止。整個傳統設計過程就是人工試湊和定性分析比較的過程，主要的工作是性能的重復分析，至于每次參數的修改，僅僅憑借經驗或直觀判斷，并不是根據某種理論精確計算出來的。實踐證明，按照傳統設計方法作出的設計方案，大部分都有改進提高的余地，而不是最佳設計方案。

傳統設計方法只是被動地重復分析產品的性能，而不是主動地設計產品的參數。從這個意義上講它沒有真正體現“設計”的含義。其實“設計”一詞本身就包含優化的概念。作為一項設計不僅要求方案可行、合理，而是應該是某些指標達到最優的理想方案。

現代化的設計工作已不再是過去那種憑借經驗或直觀判斷來確定結構方案，也不是像過去“安全壽命可行設計”方法那樣，即在滿足所提出要求的前提下，先確定結構方案，再根據安全壽命等準則，對該方案進行強度、剛度等的分析、校對，然后進行修改，以確定結構尺寸。而是借助計算機，應用一些精確度較高的力學的數值分析方法進行分析計算，并從大量的可行設計方案中尋找出一種最優的設計方案，從而實現用理論設計代替經驗設計，用精確計算代替近似計算，用優化設計代替一般的安全壽司可行性設計。

1.2優化設計發展概況

第二次世界大戰期間，由于軍事上的需要產生了運籌學，研究出了許多用古典微分法和變分法所不能解決的最優化方法。20世紀50年代發展起來的數學規劃理論形成了應用數學的一個分支，為優化設計奠定了理論基礎。20世紀60年代計算機和計算技術的發展為優化設計提供了強有力的手段，是工程技術人員能夠能夠從大量繁瑣的計算工作中解放出來，把主要精力轉化到優化方案選擇的方向上來。雖然近30多年來優化設計方法已在許多工業部門得到應用，但最優化技術成功地運用于機械設計還是在20世紀60年代后期開始的；雖然歷史較短，但進展迅速。在機構綜合、機械零部件設計、專用機械設計和工藝設計方面都獲得應用并取得一定成果。

機構運動參數的優化設計是機械優化設計中發展較早的領域，不僅研究了連桿機構、凸輪機構等再現函數和軌道的優化設計問題，而且還提出一些標準化程序。機構動力學優化設計方面也有很大 ，如慣性力的最優平衡，主懂件力矩的最小波動等的優化設計、液壓軸承和滾動軸承的優化設計以及軸、彈簧、制動器等的結構參數優化。除此之外，在機床、鍛壓設備、壓延設備、起重運輸設備、汽車等的基本參數、基本工作機構和主體結構方面也進行了優化設計工作。

近年來發展起來的計算機輔助設計（CAD），在引入優化設計方法后，使得在設計過程中既能夠不斷選擇設計參數并評選出最優設計方案，又可以加快設計速度，縮短設計周期。

在科學技術發展要求機械產品更新周期日益縮短的今天，把優化設計方法與計算機輔助設計結合起來，使設計過程完全自動化，已成為設計方法的一個重要發展趨勢。

1.3 優化設計的數學模型

1.3.1設計變量

一個設計方案可以用一組基本參數的數值來表示。這些基本參數可以是構件長度、截面尺寸、某些點的坐標值等幾何量，也可以是重量、慣性矩、力或力矩等物理量，還可以是應力、變形、固有頻率、效率等代表工作性能的導出量。但是，對某個具體的優化設計問題，并不是要求對所有的基本參數都用優化方法進行修改調整。例如，對某個機械結構進行優化設計，一些工藝、結構布置等方面的參數，或者某些工作性能的參數，可以根據已有的經驗預先取為定值。這樣，對這個設計方案來說，它們就成為設計常數。而除此之外的基本參數，則需要在優化設計過程中不斷進行修改、調整，一直處于變化的狀態，這些基本參數稱作設計常數，又叫做優化參數。設計變量的全體實際上是一組變量，稱作設計變量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根據使用的方法任意選取。一旦規定了這樣一中向量的組成，則其中任意一個特定的向量都可以說是一個“設計”。由n個設計變量為坐標所組成的實空間稱作設計空間。一個“設計”，可用設計空間中的一點表示，此點可看成是設計變量向量的端點（始點取在坐標原點），稱作設計點。

1.3.2約束條件

設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的（例如面積取負值等）。如果一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行（或可接受）設計，反之則稱為不可行（或不可接受）設計。

一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。在工程問題中，根據約束的性質可以把它們區分成性能約束和邊界約束兩大類。針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結構必須滿足強度、剛度或穩定性等要求，衍架某點變形不超過給定值。不是針對性能要求，只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許選擇的尺寸范圍，衍架的高在其上下限范圍之間的要求就屬于邊界約束。endprint

約束又可按其數學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。

約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數關系，這類約束稱作顯式約束。有的只能表示成隱式形式，這類約束稱作隱式約束。

1.3.3可行域與非可行域

在設計空間中，滿足所有約束條件的區域稱為可行域。在設計空間中，至少不滿足一個約束條件的區域稱為非可行域。

1.3.4目標函數

在所有的可行設計中，有些設計比另一些要“好些”，如果確實是這樣，則“較好”的設計比“較差”的設計必定具備某些更好的性質。倘若這種性質可以表示成設計變量的一個可計算函數，則我們就可以考慮優化設計這個函數，以得到“更好”的設計。這個用來使設計得以優化的函數稱作目標函數。用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數，用以強調它對設計變量的依賴性。目標函數可以是結構重量、體積、功耗、產量、成本或其他性能指標（如變形、應力等）和經濟指標等。

建立目標函數是整個優化設計過程中比較重要的問題。當對某一設計性能有特定的要求，而這個要求又很難滿足時，則若針對這一性能進行優化將會取得滿意的效果。但在某些設計問題中，可能存在兩個或兩個以上需要優化的指標，這將是多目標函數的問題。例如，設計一臺機器，期望得到最低的造價和最少的維修費用。

目標函數是n維變量的函數，它的函數圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數的變化情況，常采用目標函數等值面的方法。

二、一維優化方法

2.1概述

一維優化方法是優化方法中最簡單、最基礎的方法。雖然多數優化設計都是多維優化問題，但是許多求解多維優化問題的優化方法，是把多維優化問題轉化為一系列的一維優化問題進行求解。因此，一維優化方法是多維優化方法的重要基礎。

2.2一維優化方法的應用價值

在多維優化方法中，有一大類多維優化方法的主要任務，是確定能使函數值很快下降的方向即確定搜索方向，以及構成高效的迭代模式。而具體求解時，是把多維優化問題轉化為一系列的一維優化問題，反復調用一維優化方法求解優化迭代式，最終獲得多維優化問題的最優解。因此，一維優化方法并不僅用于求解一維優化問題，而更多地應用于多維優化的求解中。

2.3一維優化方法的策略

一維優化方法常采用分兩步走的策略：

（1）尋找即確定具有使函數值最小的最優步長所在的區間—單峰區間。

（2）在已知的單峰區間上，尋找出最優步長。

三、無約束優化方法

3.1概述

有些實際問題，其數學模型本身就是一個無約束優化問題，或者除了在非常接近最終極小點的情況下，都可以按無約束問題來處理。研究無約束優化問題的另一個原因是，通過熟悉它的解法可以為研究約束優化問題打下良好的基礎。第三個原因是，約束優化問題的求解可以通過一系列無約束優化方法來達到。所以無約束優化問題的解法是優化設計方法的基本組成部分，也是優化方法的基礎。

3.2最速下降法

在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數梯度相互垂直。而搜索方向就是負梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。這就是說在最速下降法中，迭代點向函數極小點靠近的過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索方法互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現象。

最速下降法是一個求解極值問題的古老算法，早在1847年就已由柯西（Cauchy）提出。此法直觀、簡單。由于它采用了函數的負梯度方向作為下一步的搜索方向，所以收斂速度較慢，越是接近極值點收斂越慢，這是它的主要缺點。應用最速下降法可以使目標函數在開頭幾步下降很快，所以它可與其它無約束優化方法配合使用。特別是一些更有效的方法都是在對它改進后，或在它的啟發下獲得的，因此最速下降法仍是許多有約束和無約束優化方法的基礎。

3.3牛頓型方法

牛頓方法和最速下降法一樣，也是求解極值問題古老的算法之一。

牛頓法和阻尼牛頓法統稱為牛頓型方法。這類方法的主要缺點是每次迭代都要計算函數的二階導數矩陣，并對該矩陣求逆。這樣工作量很大。特別是矩陣求逆，當維數高時工作量更大。另外，從計算機存儲方面考慮，牛頓型方法所需的存儲量也是很大的。最速下降法的收斂速度比牛頓法慢，而牛頓法又存在上述缺點。針對這些缺點，近年來人們研究了很多改進的算法，如針對最速下降法（梯度法）提出只用梯度信息，但比最速下降法收斂速度快的共軛梯度法；針對牛頓法提出變尺度法等。

3.4變尺度法

變量的尺度變換是放大或縮小各個坐標。通過尺度變化可以把函數的偏心程度降低到最低限度。尺度變換技巧能顯著地改進幾乎所有極小化方法的收斂性質。

3.5坐標輪換法

坐標輪換法是每次搜索只允許一個變量變化，其余變量保持不變，即沿坐標方向輪流進行搜索的尋優方法。它把多變量的優化問題輪流地轉化成單變量（其余變量視為常來）的優化問題，因此又稱這種方法為變量輪換法。在搜索過程中可以不需要目標函數的導數，只需要目標函數值信息。這比前面所討論的利用目標函數導數信息建立搜索方向的方法要簡單得多。

這種方法的收斂效果與目標函數等值線的形狀有很大關系。如果目標函數為二元二次函數，其等值線為圓或長短軸平行于坐標軸的橢圓時，此法很有效。一般經過兩次搜索即可達到最優點。

采用坐標輪流法只能輪流沿著坐標方向搜索，盡管也能使函數值步步下降，但要經過多次曲折迂回的路徑才能達到極值點；尤其在極值點附近步長很小，收斂很慢，所以坐標輪流法不是一種很好的搜索方法。

三、小結

最優化技術實在20世紀60年代發展起來的，它建立在近代數學、最優化方法和計算機程序設計的基礎上，已成為解決復雜問題的一種有效工具，并成為計算機輔助設計應用中的一個重要方面。優化設計是屬于創新設計，它使設計工作從過去的完全經驗設計及類比設計中解放出來，在理論上建議設計對象的優化數學模型，按現代的設計方法進行計算，設計出符合人為要求的新產品。創新的設計可能是零件、部件、整機以及各行業的工程。實踐證明，現存的產品中，不論是通過經驗設計還是類比設計而產生的，產品大部分存在繼續改進提高的余地。優化設計提供了一次設計成功的基礎。所謂“一次設計”當然指的是最優方案，而又不需要反復地使用、試驗及改進，這樣的創新設計，其方案是最優的。在設計上力圖一次成功，這是設計上的一次飛躍，具有重要意義，對設計工作者的設計方法及習慣引起了重大的變化。不必說航空、航天等工程設計力求一次成功，即使是各行業的民用產品，一次設計成功也將大大縮短設計周期、降低成本以提高競爭力。因此，為了適應科技發展以及經濟建設的需要，采用新的設計方法是很必要的。

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