比例導引法中剩余飛行時間的計算方法

陳升富,常思江

(南京理工大學 能源與動力工程學院,江蘇 南京 210094)

比例導引法中剩余飛行時間的計算方法

陳升富,常思江

(南京理工大學 能源與動力工程學院,江蘇 南京 210094)

為了給比例導引法提供盡可能精確的剩余飛行時間,基于導彈-目標相對運動模型,研究了剩余飛行時間的計算方法。建立了以導彈前置角收斂到0為準則的剩余飛行時間計算模型。對于比例系數為3時的特殊情形,利用解析方法得到了該計算模型的一階解和二階解,通過仿真分析對解的精度進行了評估;利用多項式擬合方法得到比例系數為其他值時剩余飛行時間的近似解,仿真分析表明多項式次數為5時擬合精度較好;將研究的剩余飛行時間算法應用于攔截不同類型目標的比例導引過程,結果表明,該算法用于比例導引攔截勻速目標具有良好效果,在導彈速度足夠大時也可有效攔截勻加速目標。

導彈;剩余飛行時間;比例導引法;多項式擬合;目標攔截

Abstract:In order to provide an accurate time-to-go to the proportional navigation guidance,the calculation method of time-to-go was studied based on the missile-target relative motion model.The time-to-go caculation model was established according to the criterion of the missle’s leading angle converging to zero.For the special case that the navigation gain was three,the first and second order solutions of the model were obtained by using the analytical method,and the accuracy of these solutions were evaluated by simulation analysis.The approximate solution of time-to-go for the other navigation gain was obtained by using the polynomial fitting method.The simulation results show that the fifth order polynomial fitting has better precision.The time-to-go algorithm was applied to intercepting different types of tagets with proportion navigation guidance.The results show that the algorithm can effectively intercept the constant speed target and the constant acceleration target,as long as the missile’s velecity is large enough.

Keywords:missile;time-to-go;proportional navigation;polynomial fitting;target interception

比例導引法因其魯棒性和簡易性而廣泛應用于導彈的制導[1-2]。比例導引法有多種形式,如以目標視線變化率為導引參數的比例導引法以及以剩余飛行時間的倒數為導引參數的比例導引法等,其核心是制導指令與導引參數成一定的比例關系。隨著現代制導技術的發展,以比例導引法中剩余飛行時間估算為基礎的攻擊時間受限、最優制導以及聯合攻擊等問題越來越受到學者的關注[3-5],研究人員需要根據剩余飛行時間設計出滿足特定約束條件的比例導引法。因此,剩余飛行時間的精度對有效實現比例導引至關重要。目前,在聯合攻擊和最優控制方面,研究人員針對剩余飛行時間的精確估算開展了一些工作。如文獻[4]在研究攻擊時間受限問題時使用近似碰撞假設,將導彈彈道弧長用線性運動方程的解來近似,從而得到剩余飛行時間的估算公式。文獻[5]針對基于比例導引法的聯合攻擊問題,應用小角度假設求取制導過程中的彈道弧長,進而估算出剩余飛行時間。文獻[6]采用時間比例法,通過已知初始條件下的剩余飛行時間求取所需估算條件下的剩余飛行時間,取得較好效果,但并未在多種條件下開展深入研究。

本文以文獻[6]的思路為基礎,對基于導彈與目標相對運動模型的剩余飛行時間計算方法開展深入研究,得到比例系數為3時的一階解和二階解并進行對比分析;采用多項式擬合方法建立了比例系數為其他值時的剩余飛行時間計算模型,對其計算精度開展了評估。最后,將本文研究的剩余飛行時間算法分別應用于攔截勻速目標和勻加速目標的比例導引過程中,給出了仿真分析結果。

1 導彈-目標相對運動模型

考慮平面內攔截靜止目標的情況,其導彈和目標的運動關系如圖1所示。

圖中,M表示導彈,T表示目標;γ,θ,R分別表示導彈彈道角、目標視線角以及彈目連線距離;φ=γ-θ,表示導彈速度矢量前置角(簡稱前置角);am表示制導指令;(Xm,Ym)表示導彈的位置。假設導彈速度為常值vm,N為比例系數,則導彈與目標之間的運動關系滿足如下運動學方程:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

將方程(7)代入方程(3)和方程(6),有

(8)

根據方程(4)和方程(8),有

dR/dφ=(Rcotφ)/(N-1)

(9)

根據彈目運動的物理意義,不妨令φ∈[0,π),初始條件為(φ(0),R(0))。

解方程(9),可得到R關于φ的函數關系式:

(10)

(11)

方程(11)表示初始條件。

從方程(11)可以看出,當前置角φ收斂到0時,彈目連線距離收斂到0,將方程(10)代入方程(8),得到:

(12)

由方程(12)可知,當比例系數N≥2時,如果初始彈目距離R(0)確定,初始前置角φ(0)∈(0,π)時,則導彈攔截過程的前置角φ是關于時間的減函數(當前置角φ=0時,剩余飛行時間通過初始彈目距離與導彈速度之比求取)。因此,剩余飛行時間tgo的計算可以轉換為求解使前置角趨于0所需的時間。

2 剩余飛行時間計算方法

2.1 比例系數N=3時的算法

比例導引法中,比例系數N越大導引彈道曲率越小,需用的法向過載也越小[1]。但N過大時,會對測量噪聲敏感,導致導引性能下降。因此,比例系數N一般取3到5,且比例系數N=3時,控制能量最優[2]。因此,有必要研究N=3時tgo的準確估算方法。當N=3時,假設前置角φ是一個小角度,對方程(12)中的sinφ分別進行一階和二階泰勒展開,所得微分方程如下:

(13)

(14)

當t=0時有φ(0)=0,將此條件代入上述2個微分方程分別求解,得到tgo關于φ、初始條件K和導彈速度vm的函數關系:

(15)

(16)

解析表達式(15)、式(16)分別為N=3時tgo的一階解和二階解。

2.2 比例系數為其他值時的算法

為了獲得比例系數為其他值時tgo的計算方法,對方程(12)進行積分并代入終止條件t=tf時,有φ(tf)=0,則

(17)

式中:tf為攔截終點的時間。

設φ1(t1)和φ2(t2)分別為K=K1以及K=K2時方程(14)的解。則

(18)

式中:

(19)

式(19)表明,如果前置角φ1(t1)趨于0的時間t1已知,則前置角φ2(t2)趨于0的時間可以通過求關于已知時間t1的比例關系來獲得。因此,tgo可通過以下比例關系來計算:

tgo(φ,K)=(K/Kb)tgo,b(φ,Kb)

(20)

式中:下標b代表已知的基礎條件(φ,Rb(0)),tgo,b表示該基礎條件對應的tgo(可稱為基礎解),K和Kb可通過方程(11)獲得。

同理對于導彈速度不同的攔截情況,有

tgo(φ,K)=(K/Kb)(vm/vm,b)tgo,b(φ,Kb)

(21)

式中:vm,b表示求取基礎解的導彈速度。當不同前置角和不同比例系數的基礎解已知時,任意所求條件的tgo都可以通過式(20)或式(21)獲得。

根據以上分析,如果某個比例系數N關于前置角的基礎解已知,則任意初始條件下的tgo都可以通過關于該基礎解的時間比例關系來獲得。為了計算每一個比例系數N下的tgo,實際應用時需要存儲每一個N所對應的基礎解。從工程應用角度,這是較為不便的。本文借鑒文獻[6]的思路,選取一定范圍內的N和φ分別計算出對應的基礎解,然后將其擬合成關于N的多項式:

(22)

式中:多項式的系數ai(φ)是關于前置角φ的函數,j指多項式擬合的次數。

因此,tgo的具體算法如下:①通過式(10)計算不同條件下的K和Kb;②通過式(22)計算基礎解tgo,b(N,φ(0),Kb);③通過式(21)計算tgo(N,φ(0),K)。

2.3 仿真與分析

本節對上述tgo算法的性能進行仿真分析。為了驗證N=3時式(15)和式(16)的估算性能,取R0=6 000 m,φ=120°,vm=300 m/s,并與文獻[5]所給公式:

(23)

進行對比。

所得結果如圖2所示。圖中的實際值是指利用四階龍格庫塔法數值計算出的tgo,Δtgo指估算值與實際值之差。

由圖2(a)可知,3種算法所得tgo隨著時間的增加最終都趨于實際值。由圖2(b),文獻[5]的初始估算誤差最大,其次是一階解,而二階解全程的估算誤差都趨于0。這說明,當N=3時,在較大前置角(φ=120°)條件下,3種算法中二階解的估算精度最高。需要指出的是,一階解和二階解盡管是在φ為小角度條件下得到的,但對于較大φ的情形仍適用。

為了擬合多項式,需要計算不同比例系數N和不同前置角φ下的基礎解。考慮到工程應用,比例系數選N=2～10(步長0.1),前置角φ(0)=0°～170°(步長0.2°),初始彈目距離Rb=3 000 m,導彈速度vm=200 m/s。

為得到更為準確的多項式,將數值計算得到的基礎解分別進行4次到7次的多項式擬合。在R=6 000 m,vm=500 m/s,φ(0)=0°～170°(步長5°)的條件下,驗證不同階次多項式的計算精度。所得結果如圖3所示,圖中,縱坐標為多項式計算值與實際值之差Δtgo。

由圖3可知,5次擬合多項式的計算精度較好且計算量相對較小。圖4(a)～4(f)為5次多項式系數隨前置角φb的變化關系圖,其中a1～a6分別表示5次擬合多項式的系數。

在N=5,R=8 000 m,vm=400 m/s條件下,考察上述5次多項式在不同初始前置角φ0下的計算精度并與文獻[5]和文獻[7]的算法進行比較,其中文獻[7]所給公式:

(24)

所得結果如圖5所示,圖中,“本文方法”是指基于5次擬合多項式求得基礎解并用于求解tgo的算法。

由圖5可知,當前置角φ>100°時,文獻[5]和文獻[7]的估算精度迅速下降,而本文方法能在φ∈[0,π)的范圍內均具有良好精度,可較好地實現大前置角下tgo的估算。

3 剩余飛行時間算法的應用

3.1 攔截勻速目標的比例導引過程中的應用

本文所研究的剩余飛行時間的算法可應用于攔截勻速目標的比例導引。導彈與目標的運動關系如圖6所示。下標p表示預測攔截點。假設目標的加速度at=0,vt為非零常數,h表示目標的預測飛行距離。

主要思想是通過構建導彈與目標飛行時間的誤差方程來預測攔截點,進而計算tgo。假設導彈在計算攔截點的時間內靜止,則誤差方程可表示為

(25)

將上述誤差方程對h求一階導數,可得:

(26)

由式(10)求得:

(27)

由彈目相對幾何關系求得:

(28)

然后可利用迭代方法(如牛頓-拉夫森迭代法)求得預測攔截點。

3.2 攔截勻加速目標的比例導引過程中的應用

當待攔截目標是做加速度已知的勻加速運動時,同樣可以通過預測攔截點的方法來計算tgo,與3.1節類似,建立誤差方程:

(29)

該誤差方程關于h的一階導數:

(30)

式中:at為目標的常值加速度,vt,0為目標初始速度,其余導數的求法與3.1節類似。

3.3 仿真和分析

對于目標為勻速運動情況,取R0=10 000 m,vm=400 m/s,vt=200 m/s,N=3,γ=15°,60°,90°。仿真結果如圖7所示。圖中,k為迭代次數,表征預測點的收斂速度;Δh表示h的實際值與預測值之差。

由圖7可知,對于不同彈道角γ,通過3～4次迭代之后tgo和h的值迅速穩定,說明本文方法具有魯棒性,且具有較高的計算精度。

對于攔截目標為勻加速運動的情況,取R0=10 000 m,vm=600 m/s,vt,0=60 m/s,N=3,γ=15°,60°,90°,目標加速度at=20 m/s2,仿真結果如圖8。

從圖8可以看出,與攔截勻速目標相似,本文方法也適用于已知加速度的勻加速目標攔截。在收斂速度及計算精度方面具有較好效果。需要指出的是,攔截勻加速目標時,要求導彈必須具有足夠大的速度(vm足夠大),否則很容易產生脫靶。

3.4 法向過載分析

在工程實踐應用中,導彈所能提供的法向過載是有限的。為了順利實現比例導引過程,需要研究不同條件下比例導引過程中的最大法向過載nmax。根據法向過載的定義[1]:

(31)

式中:an為導彈的法向加速度,g為重力加速度,取9.8 m/s2。

在γ=15°,60°,90°的條件下,針對不同比例導引系數和不同攔截目標進行了仿真。所得結果如表1和表2所示。表中情況1指在R0=10 000 m,vm=400 m/s,vt=200 m/s的條件下攔截勻速目標;情況2指在R0=10 000 m,vm=600 m/s,vt,0=60 m/s,at=20 m/s2的條件下攔截勻加速目標。

表1 N=3時不同攔截條件下nmax

表2 N=4時不同攔截條件下nmax

由表1和表2可知,在相同攔截條件下比例導引系數越大所需的最大法向過載nmax越大。在不同仿真條件下,針對不同攔截情況,由表1和表2可知,導彈在攔截過程中所需的最大法向過載nmax都相對較小,因此能夠有效實現比例導引法攔截過程。

4 結束語

本文以導彈-目標相對運動模型為基礎,對比例導引法中剩余飛行時間的計算方法及應用開展了深入研究。通過理論推導與仿真分析,可得到如下結論:

①比例系數N=3時,通過二階泰勒展開得到的剩余飛行時間計算公式在大前置角下估算精度較高且收斂快速;

②當基礎解的擬合次數為5時,所得多項式估算的精度較高且能滿足大前置角下的準確估算;

③本文所研究的剩余飛行時間算法用于勻速目標的比例導引攔截時具有良好效果,并在導彈速度vm足夠大時也可有效實現勻加速目標的比例導引攔截。

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StudyonTime-to-goAlgorithminProportionalNavigationGuidance

CHEN Sheng-fu,CHANG Si-jiang

(School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

2017-04-26

國家自然科學基金項目(11402117);中國博士后科學基金項目(2013M541676)

陳升富(1993- ),男,碩士研究生,研究方向為彈箭飛行制導與控制。E-mail:chenshengfu@njust.edu.cn。

常思江(1983- ),男,副研究員,博士,研究方向為外彈道設計理論、彈箭飛行控制技術。E-mail:ballistics@126.com。

TJ303.4

A

1004-499X(2017)03-0014-06