導(dǎo)數(shù)題中幾類處理策略探究

☉江蘇省南京市行知實(shí)驗(yàn)學(xué)校 周 密

導(dǎo)數(shù)題中幾類處理策略探究

☉江蘇省南京市行知實(shí)驗(yàn)學(xué)校 周 密

導(dǎo)數(shù)題是近幾年中高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).這對(duì)我們的高考如何復(fù)習(xí)、如何備考，以及教師的專業(yè)素養(yǎng)等方面都提出了新的要求，特別是當(dāng)導(dǎo)數(shù)作為壓軸題進(jìn)行考查時(shí)，常常在這部分模塊立意創(chuàng)新.筆者通過(guò)近幾年的試卷特點(diǎn)，總結(jié)一些經(jīng)驗(yàn)和看法，提供一些解題策略.

導(dǎo)數(shù)題型在歷年課標(biāo)卷中的分布情況看，趨向穩(wěn)定.以一個(gè)選擇題（填空題）和一個(gè)大題（21題）壓軸登場(chǎng).選擇題型在導(dǎo)數(shù)的定義、運(yùn)算法則、極值、幾何意義及應(yīng)用上做文章；而壓軸題一般由兩個(gè)或三個(gè)小問組成，利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)、函數(shù)值估算等方面的綜合.從以下幾個(gè)常見的題型進(jìn)行探究.

策略一、利用導(dǎo)數(shù)的定義破解導(dǎo)數(shù)題

在導(dǎo)數(shù)解答題中，不少解答都是利用分類討論思想解答的，而學(xué)生對(duì)分類討論尤為畏懼，往往不能有效解決問題.而不少學(xué)生更喜歡利用分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值的方法解答這類問題.但這種方法，有時(shí)最值不存在，其極限值卻存在，很多問題無(wú)法用中學(xué)知識(shí)解釋清楚，而利用導(dǎo)數(shù)的定義是解決這類問題的有利工具.

對(duì)導(dǎo)數(shù)的基本概念做進(jìn)一步的發(fā)掘，容易得出函數(shù)y=（fx）在x=x處的導(dǎo)數(shù)等價(jià)于f（′x）00

導(dǎo)數(shù)的定義給出了某一函數(shù)在x=x0處的極限值與函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，為利用導(dǎo)數(shù)的定義解決一類導(dǎo)數(shù)解答題提供了理論依據(jù)，下面筆者以近幾年的各類試題為例，談?wù)劺脤?dǎo)數(shù)定義破解導(dǎo)數(shù)解答題這個(gè)問題，現(xiàn)舉例如下.

例1已知函數(shù)f（x）=ex-e-x.

（1）證明：f′（x）≥2；

（2）若對(duì)x≥0都有f（x）≥ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)任意a∈R，f（x）≥ax顯然成立；

設(shè)h（x）=x（ex+e-x）-（ex-e-x）（x＞0），則h′（x）=x（ex-e-x）＞0，所以h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（0）=0，所以g′（x）＞0，所以g（x）單調(diào)遞增.

綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2）.

點(diǎn)評(píng)：本題再一次讓我們感受到了導(dǎo)數(shù)的定義在解這類問題中的優(yōu)越性.這說(shuō)明教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視基本概念、定義的教學(xué)，不可只重題型方法的灌輸，從而忽視基本概念、定義的生成、發(fā)掘和延伸.

策略二、通過(guò)構(gòu)建新函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題

學(xué)生根據(jù)求導(dǎo)后式子的特點(diǎn)，可以構(gòu)造新函數(shù).例如對(duì)求導(dǎo)后運(yùn)算規(guī)則的考查，特別是對(duì)f′（x）·g（x）+f（x）g′（x）與f′（x）g（x）-f（x）g′（x）這一結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)，聯(lián)想到構(gòu)建復(fù)合函數(shù).

例2已知a，b∈R，且b＞a＞e（e為自然對(duì)數(shù)的底），求證：ab＞ba.

證明：因?yàn)閎＞a＞e，所以要證ab＞ba，只需證blna＞alnb，即證，構(gòu)造函數(shù)y=（x＞e），y′=，當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0，所以函數(shù)在（e，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，由b＞a＞e，故，即證ab＞ba.

點(diǎn)評(píng)：某些不等式的證明，用初等方法比較麻煩，而且其思路也不明朗，如本題通過(guò)適當(dāng)?shù)葍r(jià)變形，發(fā)現(xiàn)不等式兩邊形式相同，僅變量不同，便構(gòu)造“形似輔助函數(shù)”y=（x＞e），而這一函數(shù)由基本初等函數(shù)y=x與y=lnx簡(jiǎn)單構(gòu)造而成，對(duì)于它的圖像和性質(zhì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具很快就能弄清楚，所以借助構(gòu)造“輔助函數(shù)”利用“導(dǎo)數(shù)”這一工具處理，有時(shí)會(huì)使問題解決顯得自然、簡(jiǎn)便.

策略三、巧用二階求導(dǎo)解決導(dǎo)數(shù)問題

當(dāng)導(dǎo)數(shù)作為壓軸題時(shí)，其中的函數(shù)單調(diào)性的判斷，常涉及參數(shù)的分類討論問題，學(xué)生是比較棘手的.如果我們求導(dǎo)之后，來(lái)直接判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)問題，會(huì)遇到參數(shù)分類討論的瓶頸.因此我們?cè)趯?dǎo)函數(shù)的基礎(chǔ)上再次求導(dǎo)，即二階求導(dǎo)，來(lái)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，問題會(huì)簡(jiǎn)單許多.

例3設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.證明：f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

分析：①直接討論：f（x）=emx+x2-mx?f′（x）=m（emx-1）+2x，判斷f′（x）的正負(fù).

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，2x＞0，只需m（emx-1）＞0，對(duì)m的正負(fù)討論.

若m≥0時(shí)，emx-1＞0，則m（emx-1）≥0；

若m＜0時(shí)，emx-1＜0，則m（emx-1）＞0.

所以f′（x）=m（emx-1）+2x≥0?f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，略.

②二階求導(dǎo)：f（x）=emx+x2-mx?f′（x）=m（emx-1）+2x?f″（x）=（m（emx-1）+2x）′=m2emx≥0，f′（x）在R上單調(diào)遞增，且f′（0）=0.

所以當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

策略四、“借”用洛必達(dá)法則求參數(shù)范圍

在導(dǎo)數(shù)的綜合題中，若用分類討論來(lái)求解，分類的情況較多，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)討論不完全或漏解的情況，這對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)要求較高.對(duì)大部分考生來(lái)說(shuō)，是困難的.可以通過(guò)介紹極限的方法，把洛必達(dá)法則“借”用到高中，也算一種策略.此類含參題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：變量分離?a≤?a≤），其中（x）=（x）=0；minU°（a）內(nèi)，f′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0=A=A.

例4已知函數(shù)（fx）=ex-e-x-2x.

（1）討論（fx）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）=（f2x）-4b（fx），當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，求b的最大值；

分析：（1）（3）略.

（2）g（x）=e2x-e-2x-4b（e-e-x）+（8b-4）x＞0?4b（ex-e-x-2x）＜e2x-e-2x-4x.

記q（x）=ex-e-x-2x?q′（x）=ex+e-x-2≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，且q′（0）=0.

正推：q（x）=ex-e-x-2x＞0在x∈（0，+∞）上恒成立.

下證：h（x）＞2在x∈（0，+∞）上成立.

記q（x）=e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x），x∈（0，+∞），則q′（x）=2e2x+2e-2x-8（ex+e-x）+12=2（ex+e-x）2-8（ex+e-x）+8=2［（ex+e-x）-2］2＞0，所以q（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，q′（0）=0.所以q（x）＞0在x∈（0，+∞）上成立.h（x）＞2得證.所以b≤2.

策略五、利用某些函數(shù)的性質(zhì)探討零點(diǎn)問題

在2015年的新課標(biāo)I卷中，零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的考查比較深入.在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)探究單調(diào)性的過(guò)程中，對(duì)于y=ex，y=lnx，y=x2等有保號(hào)功能的初等函數(shù)模塊化，放在一邊單獨(dú)討論，部分題目與數(shù)形結(jié)合思想相結(jié)合，會(huì)對(duì)問題的解決有不少幫助.

x∈（0，e），g′（x）＞0?g（x）單調(diào)遞增；x∈（e，+∞），g′（x）＜0?g（x）單調(diào)遞減.

例7已知函數(shù)（fx）=x2+-alnx（a∈R）.

（1）若（fx）在x=2處取得極值，求（fx）在點(diǎn)（1，（f1））處的切線方程.

（2）a＞0時(shí)，若f（x）有唯一的零點(diǎn)x0，求［x0］.

解析：（1）7x+y-10=0.（過(guò)程略）

（利用x2＞0，整體化，單獨(dú)討論）

令g（x）=2x3-ax-2，則g′（x）=6x2-a.

又g（1）=-a＜0，故g（x）在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x1，從而可知，f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增.

由于f（x）有唯一零點(diǎn)x0，故x1=x0，且x0＞1.

綜上所述，導(dǎo)數(shù)題型在課標(biāo)卷作為壓軸題，常考常新.在高考復(fù)習(xí)中我們充分挖掘?qū)?shù)的定義、幾何意義，以及對(duì)函數(shù)單調(diào)性刻畫本質(zhì)的題目特點(diǎn)，層層遞進(jìn)，步步深入，結(jié)合各種題型結(jié)構(gòu)，達(dá)成一種新的境界：試卷有導(dǎo)數(shù)，心中有策略.