淺析數(shù)學(xué)中求最值的幾種策略

☉浙江省嵊州中學(xué)高中部 張鐵麗

淺析數(shù)學(xué)中求最值的幾種策略

☉浙江省嵊州中學(xué)高中部 張鐵麗

在高三的復(fù)習(xí)迎考階段，學(xué)生經(jīng)常會(huì)碰到一類最值與條件最值問題.這類問題是各地高考、模擬考的熱點(diǎn)問題，其特點(diǎn)在于題干往往簡潔明了，要求學(xué)生從中找到某字母或者表達(dá)式的取值范圍.在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生并不能靈活地處理這種題型.只因隔著廬山云霧，學(xué)生總認(rèn)不清最值與條件最值的真面目.基于此，本文將選取常見的幾種策略進(jìn)行闡述.

策略一、化單變量求最值問題

如果二元函數(shù)中兩個(gè)變量之間存在某種等量關(guān)系，可以利用代入消元的方式把二元函數(shù)化成其中一個(gè)字母的函數(shù).

本題中含有字母a，b，故可利用消元思想先將字母b消去，然后將目標(biāo)函數(shù)表示為字母a的函數(shù)，利用換元法求出該函數(shù)的最值即可.

策略二、構(gòu)造不等式模型求解最值問題

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要模型，最值問題如果能運(yùn)用基本不等式這一數(shù)學(xué)模型求解往往可以減小運(yùn)算量，快速求解.

分析：令2a+b=x，b+1=y（x，y＞0），則a+2b=，出現(xiàn)不等式模型.

分析：本題如果從解三角形的角度入手，很容易求出OA+OB=sinα ）·，若化簡，再用導(dǎo)數(shù)求解，運(yùn)算要求高，不易求出結(jié)果.若能用整體的觀點(diǎn)研究表達(dá)式，設(shè)sinα=x，cosα+sinα=y，則OA+OB=（4x+y）），再利用基本不等式求解即可.

圖1

分析：由結(jié)構(gòu)特征很容易想到不等式，難點(diǎn)在于“配湊”，考慮到ab，bc分別和“a2，b2”“b2，c2”產(chǎn)生關(guān)系，因此需要將b2拆分，可以利用待定系數(shù)法探究系數(shù)，令a2+xb2≥ab，（1-x）b2+c2≥2bc

最值問題運(yùn)用不等式模型求解，往往需要具備整體的意識，配湊出不等式模型“≥2”“x+≥2”“ab≤ ”等.需要注意的是不等式求最值一定要驗(yàn)證等號是否成立.

策略三、構(gòu)造解幾摸型求最值

某些求最值的的問題，若利用數(shù)形結(jié)合思想，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，使問題變得直觀具體，且思路清晰，解法往往顯得簡捷，巧妙.

1.構(gòu)造兩點(diǎn)間距離

圖2

2.構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離

解析：P（x，y）是直線2x+y-8=0上的動(dòng)點(diǎn)，則d表示點(diǎn)P與點(diǎn)A（0，1）之間的距離，如圖3，由點(diǎn)到直線的距離公式知dmin=

圖3

3.構(gòu)造橢圓

例7已知a，b滿足4a2=8-b2，試求+的最小值.

圖4

解析：由已知4a2=8-b2得=1，即中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上且長軸為4的橢圓，又表示橢圓上點(diǎn)P（a，b）到兩定點(diǎn)A（0，3），B（2，1）的距離之和，直線AB：a+b-3=0與橢圓=1有兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2，要使點(diǎn)P到A，B距離之和最小，當(dāng)且僅當(dāng)P取P1或P2，如圖4，從而的最小值是|AB|=

在平時(shí)的教學(xué)中，如果我們能對最值問題進(jìn)行深度剖析，分析其普遍性與特殊性，讓學(xué)生面對它們時(shí)不再“霧里看花、水中望月”，并讓他們體驗(yàn)針對具體題型用哪種方法較為合適，養(yǎng)成勤于探究的好習(xí)慣.與此同時(shí)，學(xué)生可以從中發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)的簡潔美，找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.