圓錐曲線常見錯誤歸因分析

☉安徽省合肥一六八中學 吳日明

圓錐曲線常見錯誤歸因分析

☉安徽省合肥一六八中學 吳日明

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是歷年高考重點考查內容，每年的高考中都占有較大的比例，其中有諸多盲點或者陷阱的知識點，本文將一些常見的錯誤進行簡要歸因分類，引起共鳴，增強一定的免疫力.

一、套用定義，產生盲解

在歷年高考中，圓錐曲線的定義是一個常考點.特別是橢圓定義與雙曲線定義，雙曲線定義有一個“絕對值”的增加區分，要注意正確小心使用，不可混淆.

盲解：因為雙曲線的兩個焦點恰好分別為F1（-5，0），F2（5，0），由雙曲線的定義知||PF1|-|PF2||=8，所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5，故點P到點（-5，0）的距離為16.5或0.5.

分析：由焦半徑知，雙曲線左支上的點到左焦點的距離d=-a-ex，顯然x=-a時，d=c-a為最短距離1，所以|PF1|=0.5不合題意，事實上，在求解此類問題時，應靈活運用雙曲線的定義，分析出點P的存在情況，然后再求解.本題中，或者因左支上的點到右焦點的最短距離為9＞8.5，故點P只能在右支上，故|PF1|=16.5.

二、忽略范圍，導致誤解

在解關于圓錐曲線的有關最值題時，要考慮圓錐曲線本身變量的隱含范圍，而在進行純代數運算時常常會忽略它.

分析：圓錐曲線上點的橫縱坐標存在其本身固有的范圍，求有關最值時若忽視了這一點，就會出現上述解法中的錯誤，事實上，本題中還應考慮到-2≤x≤2，于是可輕松得到z的最大值與最小值分別為9與.

三、盲目互換，形成疵解

在求圓錐曲線方程時，要注意焦點在x軸上還是在y軸上（長短軸與實虛軸）.

其實這兩解互為共軛雙曲線方程，疵解的原因就是不針對具體情況進行認真分類考慮，而只是盲目的簡單互換.

四、考慮不全，造成漏解

在方程進行變形時還應注意范圍的變化，這樣才可以避免出錯.

分析：盡管上面的解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的，結果正確只是碰巧而已，當y=時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮y的取值范圍，事實上，由于點（x，y）在橢圓上，所以-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值時，應分類討論如下：

當y=-b時，d2取最大值，此時的d是點P）與橢圓和y軸負半軸交點的距離，由d2==7，得b=+，這與b＜矛盾，因此舍去.

五、忽視隱含，引起增解

在解關于圓錐曲線的綜合題或運用圓錐曲線性質時，要注意一些隱藏條件，避免出現增解.

增解一：假設存在直線l，設其方程為y-1=k（x-1）.

故直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

于是直線l存在，其方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

分析：以上兩種解法出錯的原因都在于忽視了隱含條件“直線l與雙曲線有兩個交點”，故應該還有限制條件：Δ=4k（2k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，得k＜，顯然符合題設的直線l不存在.

關于中點問題一般可以采用兩種方法解決：（1）聯立方程組，消元，利用根與系數的關系進行設而不解，從而簡化運算解題；（2）利用“點差法”求出與中點、斜率有關的式子，進而求解.不管應用何種方法都必須注意判別式Δ的限制.因為對于圓、橢圓這種封閉的曲線，以其內部一點為中點的弦是存在的，而對于雙曲線，這樣的弦就不一定存在，故求出直線的斜率k值后需用判別式判定此時直線是否與雙曲線有交點.