一類三角函數不定積分的求解技巧

梁倩

[摘 要] 三角函數積分的形式多變，其求解通常具有方法靈活、技巧性強的特點。歸納總結了一類三角函數不定積分的求解技巧，并舉例加以說明。

[關 鍵 詞] 三角函數；積分；求解技巧

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）07-0170-02

三角函數積分是微積分課程的重點和難點之一。求解三角函數積分具有靈活性高、技巧性強的特點，常見的方法包括換元積分法、分部積分法、利用三角函數萬能公式進行代換等。本文考慮形如■tanmxsecnxdx，其中m和n均為非負整數的不定積分。這類積分又可進一步細分為幾種類型，其求解無統一模式可循。本文旨在對此類積分的求解技巧作一較為系統的分類討論和歸納總結，并舉例加以說明。

類型1.n為正偶數的情況

我們知道■sec2xdx=tanx+C.

故這里只考慮n≥4的情況。此種情況下，我們首先從被積函數中分離出一個sec2x因子，然后利用三角恒等式sec2x=1+tan2x對被積函數進行變換，再令u=tanx進行換元積分。以下舉一例加以說明。

例1.求解■tan6x sec4x dx.

解：■tan6x sec4x dx=■tan6x sec2x sec2x dx

=■tan6x（1+tan2x）d（tanx）

=■u6（1+u2）du （令u=tanx）

=■（u6+u8）du

=■+■+C

=■+■+C

類型2.n=0的情況

這里我們分別考慮m為奇數和m為偶數的情況，并各舉一例說明。

我們首先考慮m為奇數的情況。此種情況下，我們首先利用三角恒等式tanx=■對被積函數進行變換，再從被積函數中分離出一個-sinx因子，然后利用三角恒等式sin2x=1-cos2x對被積函數進行變換，最后令u=cosx進行換元積分。

例2.求解■tan3x dx.

解：■tan3x dx=■■dx

=■■（-sinx）dx

=■■d（cosx）

=■■du（令u=cosx）

=■■-■du

=lnu+■+C

=lncosx+■+C

其次，考慮m為偶數的情況。此種情況下，我們利用三角恒等式tan2x=sec2x-1對被積函數進行變換，然后將被積函數展開，從而將積分化歸為類型1進行求解。

例3.求解■tan4x dx.

解：■tan4x dx=■（tan2x）2dx

=■（sec2x-1）2dx

=■（sec4x-2sec2x+1）dx

=■sec4x dx-2■sec2x dx+■1dx

=■sec4x dx-2tanx+x

而利用類型1的求解方法，我們有：

■sec4x dx=■（1+tan2x）sec2x dx

=■（1+u2）du （令u=tanx）

=u+■+C

=tanx+■+C

故■tan4x dx=■-tanx+x+C.

類型3.m為奇數，且n為正整數的情況

此種情況下，我們首先從被積函數中分離出一個secx tanx因子，然后利用三角恒等式tan2x=sec2x-1對被積函數進行變換，再令u=secx進行換元積分。

例4.求解■tan3x secx dx.

解：■tan3x secx dx=■tan2x secx tanx dx

=■（sec2x-1）d（secx）

=■（u2-1）du （令u=secx）

=■-u+C

=■-secx3+C

類型4.m為偶數，且n為奇數的情況

此種類型的求解較為復雜。我們將其分為m=0和m>0兩種情況進行分類討論。

類型4.1.m=0，且n為奇數的情況

此種情況下，待求解的積分形如■sec2k+1x dx，其中k為非負整數。為簡便計算，不妨設Ik=■sec2k+1x dx.我們有：

I0=■secx dx

=■■dx

=■■dx

=■■d（tanx+secx）

=■■du（令u=tanx+secx）

=lnu+C

=lntanx+secx+C. （1）

另一方面，由求導法則可得：

■（tanx sec2k+1x）=（2k+1）tan2x sec2k+1x+sec2k+3x

=（2k+1）（sec2x-1）sec2k+1x+sec2k+3x

=（2k+2）sec2k+3x-（2k+1）sec2k+1x.

從而有：■（2k+2）sec2k+3x dx-■（2k+1）sec2k+1x dx=tanx sec2k+1x.

也即是：（2k+2）Ik+1-（2k+1）Ik=tanx sec2k+1x. （2）

由（1）和（2），不難解得I1=■（tanx secx+lntanx+secx）+C更一般地，對于k≥2，可求得Ik的通項公式如下：

Ik=■■bitanx sec2i-1x+b0lntanx+secx+C

其中：bk=1；

bk-1=■；

bk-2=■；

……

b1=■；

b0=■.

例5.求解■sec7x dx.

解：此積分等價于I3.在前述關于Ik的通項公式中代入k=3，可求得如下系數：b3=1，b2=■，b1=■，b0=■.

從而我們有：■sec7x dx

=I3

=■（b3tanx sec5x+b2tanx sec3x+b1tanx secx+b0lntanx+secx）+C

=■tanx sec5x+■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C

類型4.2.m為正偶數，且n為奇數的情況

此種情況下，我們可利用三角恒等式tan2x=sec2x-1對被積函數進行變換，從而將積分化歸為類型4.1進行求解。

例6.求解■tan4x sec3x dx.

解：■tan4x sec3x dx=■（tan2x）2 sec3x dx

=■（sec2x-1）2 sec3x dx

=■（sec4x-2sec2x+1）sec3x dx

=■sec7x dx-2■sec5x dx+■sec3x dx

而利用類型4.1的求解方法，我們可求得：

■sec7x dx=■（tanx sec5x+■tanx sec3x+■tanx secx

+■lntanx+secx）+C；

■sec5x dx=■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C；

■sec3x dx=■tanx secx+lntanx+secx+C

從而有：■tan4x sec3x dx=■tanx sec5x-■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C.

參考文獻：

[1]陳傳璋，金福臨，朱學炎，等.數學分析[M].高等教育出版社，1990.

[2]費定暉，周學圣.吉米多維奇數學分析習題集題解[M].山東科學技術出版社，1999.