發(fā)現(xiàn)之旅：例談線性代數(shù)矩陣教學(xué)中的數(shù)學(xué)之美

丁鈞

[摘 要] 線性代數(shù)作為大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，其重要性不言而喻，但其工具性特征往往掩蓋了她作為數(shù)學(xué)最本質(zhì)的一面——數(shù)學(xué)之美。以線性代數(shù)矩陣教學(xué)中若干例子來說明線性代數(shù)的數(shù)學(xué)之美。

[關(guān) 鍵 詞] 線性代數(shù)；數(shù)學(xué)之美；矩陣教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）31-0130-02

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著舉足輕重的作用。尤其對(duì)理工科的學(xué)生而言，學(xué)習(xí)線性代數(shù)的意義不僅僅在于訓(xùn)練思維，更是后續(xù)相關(guān)應(yīng)用類課程的基礎(chǔ)，沒有扎實(shí)的線性代數(shù)知識(shí)，就無(wú)法熟練掌握應(yīng)用類課程的知識(shí)。但是在平時(shí)的教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)，對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)（比如相關(guān)問題的數(shù)值計(jì)算）掌握得比較好，而且自我感覺學(xué)得還不錯(cuò)。但涉及課程整體知識(shí)結(jié)構(gòu)甚至某一章內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系時(shí)，就無(wú)法把握，總感覺似懂非懂，不知其所以然，當(dāng)然更談不上有沒有理解其中蘊(yùn)含的思想方法了。所以，常會(huì)聽見非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生稱“線性代數(shù)是最枯燥乏味的一門課”。

很顯然，學(xué)生之所以認(rèn)為“線性代數(shù)是最枯燥乏味的一門課”，是因?yàn)槌鲇趯?shí)用主義的觀念，教學(xué)中經(jīng)常會(huì)強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)的工具性、實(shí)用性，久而久之便忽略了線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)一個(gè)分支的重要本質(zhì)特征：數(shù)學(xué)之美。正是因?yàn)榧婢邔?shí)用性和美學(xué)性數(shù)學(xué)才能不斷發(fā)展和延伸。線性代數(shù)概念抽象、符號(hào)眾多、邏輯嚴(yán)密、思想豐富、方法巧妙，如果單從工具性的角度去對(duì)待，自然就無(wú)法理解課程內(nèi)容之間的聯(lián)系，更無(wú)法從整體上去把握知識(shí)體系，這對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的建構(gòu)和后續(xù)的應(yīng)用是很不利的。

如果線性代數(shù)教學(xué)中能多從數(shù)學(xué)美的角度去審視和欣賞課程內(nèi)容，將其中蘊(yùn)含的美學(xué)特征揭示出來，那么對(duì)學(xué)生而言，線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程猶如一段探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的旅程，其影響無(wú)疑是深遠(yuǎn)的。本文將以線性代數(shù)中矩陣教學(xué)為例，嘗試從數(shù)學(xué)美的角度來探討如何幫助學(xué)生開啟發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的旅程。

一、數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)美是以抽象的表達(dá)體現(xiàn)感性內(nèi)容的一種形式美，它來源于人類在勞動(dòng)實(shí)踐過程中對(duì)客觀世界的抽象與概括。馬克思主義認(rèn)為“勞動(dòng)創(chuàng)造了美”，而數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生于人類對(duì)客觀世界的改造過程中，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展其本質(zhì)就是勞動(dòng)過程。所以，從數(shù)學(xué)誕生起數(shù)學(xué)美便是其重要的特征。

數(shù)學(xué)之美，體現(xiàn)了語(yǔ)言之美、結(jié)構(gòu)之美和方法之美。具體表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念表述的簡(jiǎn)潔、精確；數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、對(duì)稱；數(shù)學(xué)圖表的直觀、和諧等。這些數(shù)學(xué)美的外在表征與數(shù)學(xué)固有的特征不謀而合，是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的幾種表現(xiàn)形式。

數(shù)學(xué)之美從不同的審美角度可以分為不同的類別。比如，從內(nèi)容來看可以分為概念之美和公式之美，從方法論來看可以分為類比之美、抽象之美、簡(jiǎn)潔之美等，從結(jié)構(gòu)來看可以分為對(duì)稱之美、統(tǒng)一之美及奇異之美。

二、發(fā)現(xiàn)之旅：線性代數(shù)矩陣教學(xué)中的數(shù)學(xué)之美

（一）概念之美：數(shù)學(xué)符號(hào)

作為最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的一種表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)符號(hào)在線性代數(shù)中的作用舉足輕重。以多角度、多視角去審視整個(gè)線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)符號(hào)，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的美學(xué)特征在線性代數(shù)中表現(xiàn)得淋漓盡致。

線性代數(shù)中對(duì)概念的敘述精確、完備，不僅揭示出概念本身的內(nèi)涵，同時(shí)也能推導(dǎo)出外延。而線性代數(shù)的相關(guān)定義常用合理的數(shù)學(xué)符號(hào)來使數(shù)學(xué)語(yǔ)言從形式上更趨于簡(jiǎn)要、明確、精準(zhǔn)，而且從形式化的演繹上能更容易進(jìn)行分析和推導(dǎo)。線性代數(shù)中對(duì)向量組（向量數(shù)大于等于1）的線性相關(guān)性的描述便是例證。

線性代數(shù)線性方程組一章中對(duì)線性相關(guān)的概念敘述如下：“向量組α1，α2，…，αs（s≥1）稱為線性相關(guān)，如果有數(shù)域P中不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0”.

此定義包含兩層含義：

首先，如果向量組α1，α2，…，αs是線性相關(guān)的，那么其中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合，不妨設(shè)αs=k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1.把它改寫一下就有k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1+（-αs）=0。因?yàn)閿?shù)k1，k2，…，ks-1，-1，不全為0（至少-1≠0），所以這個(gè)向量組線性相關(guān)。

其次，如果按上述定義α1，α2，…，αs是線性相關(guān)的，即有不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0。由于k1，k2，…，ks不全為零，不妨假設(shè)ks≠0，于是上式可以改寫為αs=-■α1-■α2-…■αs-1。很顯然，向量αs可以被其余的向量線性表出，所以此向量組線性相關(guān)。

不難看出，當(dāng)時(shí)的線性相關(guān)定義用精確的描述闡釋了兩個(gè)方面的內(nèi)涵，并且對(duì)實(shí)數(shù)k的特征描述非常清晰——不全為零。在對(duì)其內(nèi)涵深入理解的基礎(chǔ)上，必定會(huì)對(duì)條件“不全為零”的反面情況進(jìn)行思考，便會(huì)得出與線性相關(guān)相對(duì)的定義。即如果由k1α1+k2α2+…+ksαs=0可以推導(dǎo)出k1=k2=…=ks=0，那么就稱α1，α2，…，αs是線性無(wú)關(guān)的。

綜上，對(duì)向量組α1，α2，…，αs（s≥1）線性相關(guān)性的把握最終即可歸結(jié)為對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)k1α1+k2α2+…+ksαs=0時(shí)，k1，k2，…，ks是否全為零的討論。

數(shù)學(xué)的概念之美體現(xiàn)在以數(shù)學(xué)符號(hào)為載體的語(yǔ)言的精確性、可延展性和簡(jiǎn)潔性。

（二）統(tǒng)一之美：數(shù)形的完美結(jié)合

所謂統(tǒng)一性，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。顯而易見的是，如果在這樣的定義理解下，對(duì)稱性也應(yīng)在統(tǒng)一性范疇之內(nèi)。當(dāng)然，就統(tǒng)一性概念在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用來看，應(yīng)當(dāng)還包括“不變性”的特點(diǎn)，即存在于不同對(duì)象、不同組織結(jié)構(gòu)中共同的規(guī)律。那么統(tǒng)一之美必定是這些和諧、統(tǒng)一性和不變性的直接體現(xiàn)。

線性代數(shù)結(jié)構(gòu)有兩條主線，一是矩陣?yán)碚摚且韵蛄筷P(guān)系和線性空間結(jié)構(gòu)來論證相關(guān)理論和變換。故有一種觀點(diǎn)認(rèn)為線性代數(shù)是代數(shù)與幾何完美結(jié)合的產(chǎn)物，甚至完全可以從空間的角度貫穿整個(gè)體系，比如從幾何空間到維空間，進(jìn)而抽象至線性空間最后有維度的空間。這種數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)體現(xiàn)了線性代數(shù)的數(shù)學(xué)之美。我們可以通過幾何圖形的固有特點(diǎn)通過線性代數(shù)的符號(hào)和公式體現(xiàn)內(nèi)在的和諧統(tǒng)一之美。行列式與三角形面積的關(guān)系便是很好的例證。

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平面直角坐標(biāo)系內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），由A、B、C三點(diǎn)向x軸做垂線分別與x軸交于A′、B′、C′點(diǎn)，則△ABC面積可表示為：

S△ABC=S梯形AA′C′C+S梯形B′BC′C-S梯形AA′B′B=■（x1y2-x1y3+x3y1-x2y1 +x2y3-x3y2）

不難發(fā)現(xiàn)△ABC面積正好是三階行列式■x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1的展開式，所以，S△ABC=■x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1，即在已知三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，其面積可歸結(jié)為三階行列式■x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1的絕對(duì)值。

進(jìn)一步，如果行列式x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1=0，則說明A、B、C三點(diǎn)共線。同時(shí)，如果給定我們?nèi)我鈨牲c(diǎn)坐標(biāo)A（x1，y1）、B（x2，y2），那么我們可直接以三節(jié)行列式x y 1x2 y2 1x3 y3 1=0來表示直線AB的方程。

更進(jìn)一步，如果A、B、C三點(diǎn)不共線，那么過這三點(diǎn)的圓方程為x2+y2 x y■+■ x1 y1■+■ x2 y2■+■ x3 y3=0

以上從三階行列式表示三角形面積引申推廣到利用行列式表示直線方程、圓方程，無(wú)論從內(nèi)容還是形式都體現(xiàn)出統(tǒng)一性、和諧性特征，而這恰恰是數(shù)學(xué)之美的重要表征形式。

（三）奇異之美：逆思維的應(yīng)用

奇異之美，是數(shù)學(xué)之美的一項(xiàng)基本內(nèi)容，弗蘭西斯培根說過：“沒有一個(gè)極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異。”數(shù)學(xué)的研究中，奇異性的發(fā)現(xiàn)往往能帶來出乎意料的作用。比如線性代數(shù)中的奇異值分解就是一個(gè)典型的例子。

所謂奇異值分解是指一個(gè)m×n的矩陣A可以分解成三個(gè)矩陣的乘積，即A=UBVT

其中，U是一個(gè)m×m的正交陣，B是一個(gè)m×m的對(duì)角陣，V是一個(gè)n×n的正交陣。

奇異值分解的現(xiàn)實(shí)意義在于它給出了一種可以在計(jì)算機(jī)或者在服務(wù)器上實(shí)現(xiàn)的數(shù)據(jù)相關(guān)度搜索的方法。

比如我們現(xiàn)在可以假設(shè)用一個(gè)大矩陣A來表示論文和詞的關(guān)聯(lián)性。在這個(gè)矩陣中，每一行對(duì)應(yīng)一篇論文，每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)詞，最終形成一個(gè)m×n的矩陣。

A=a11 a12 … a1n■ ■ … ■am1 am2 … amn，這個(gè)矩陣中的元素aij表示第j個(gè)詞在i篇論文中出現(xiàn)的加權(quán)詞頻，所以這個(gè)矩陣元素的數(shù)量會(huì)大得驚人。比如m=100000，n=20000，那么矩陣A就含有20億個(gè)元素。通過奇異值分解就可以將矩陣A分解成三個(gè)小矩陣，從而極大地減少計(jì)算量，提高運(yùn)算速度，快速找出與搜索關(guān)鍵詞最相近的論文。

當(dāng)然，在實(shí)際運(yùn)用中要解決的關(guān)鍵就是如何用計(jì)算機(jī)進(jìn)行奇異值分解，最著名的莫過于Google的奇異值并行算法。

數(shù)學(xué)符號(hào)的魅力就在于可以將現(xiàn)實(shí)的問題用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，進(jìn)而建立可解決的數(shù)學(xué)模型，奇異值分解就是一種典型的利用矩陣運(yùn)算特點(diǎn)解決實(shí)際問題的逆向思維和模塊化思維，是數(shù)學(xué)奇異之美的直接體現(xiàn)。

總之，線性代數(shù)作為一門極其抽象化的學(xué)科，只要注意體會(huì)，細(xì)心觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美無(wú)處不在，當(dāng)你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的美的時(shí)候，學(xué)習(xí)也就變得輕松了。

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