O.Stolz公式及其應用

張雁磊

[摘 要] Stolz公式可以說是序列里的洛必達法則，它對求序列的極限很有用。給出Stolz公式的兩種形式，并列舉了幾個用Stolz公式求序列極限的典型例子。

[關 鍵 詞] Stolz公式；序列；極限

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）31-0119-01

一、Stolz公式及其證明

定理1（■Stolz公式）設xn嚴格遞增（即？坌n∈N有xn

Stolz公式的幾何意義[1]，把（xn，yn）看成平面上的點Mn，公式的意義是，假設點Mn的橫坐標xn單調遞增且趨于+∞，那么當■的斜率以a（有限數），或+∞，或-∞為極限時，則■的斜率也以a，或+∞，或-∞為極限。

定理2（■Stolz公式），設■yn=0，xn嚴格遞減（即？坌n∈N，有xn>xn+1），且■xn=0，若■■=a（其中a為有限數，或a為+∞，或a為-∞），則■■=a。

定理1，其名為■型，其實只要求分母xn嚴格遞增，且

■xn=+∞，至于分子xn是否趨于無窮大，無關緊要。定理2則是■名符其實的型，因為定理條件要求分子分母都必須以0為極限。

這里只給出定理1的證明[2]，定理2的證明與定理1的證明類似。

證：

（一）（a為有限數）要證■■=a，有序列極限的定義，只需證明：？坌ε>0，？堝N>0，當n>N時，有■-a<ε，此式記為（1）；記αn=■-a，此式記為（2）；按已知條件有■αn=0，即？坌ε>0，？堝N>0，當n>N時，有αn<■，此式記為（3）。我們的目標在于從（3）推出（1），為此從（2）解出yn再代入（1）。由（2）得：

yn=yn-1+（αn+a）（xn-xn-1）（再迭代使用此式）

=yn-2+（αn-1+a）（xn-1-xn-2）+（αn+a）（xn-xn-1）

=……

=yN+（αN+1+a）（xN+1-xN）+…+（αn+a）（xn-xn-1）

=yN+αN+1（xN+1-xN）+…+αn（xn-xn-1）+a（xn-xN）

兩邊同時除以xn，再同時減去a得：

■-a≤■+■<■+■■<■+■

再將n進一步增大，因■xn=+∞，故？堝N1>N，使n>N1時有■<■，于是：■-a<■+■=ε。

（二）（a為+∞）因已知■■=+∞，所以■■=0，利用10中的結論只要證明yn嚴格遞增且■yn=+∞，則有■■=+0，

■■=+∞，問題得證。因xn嚴格遞增，要證yn嚴格遞增，只要證■>1；事實上，■■=+∞，所以對M=1，？堝N>0，當n>N時有■>1，即n>N，yn-yn-1>xn-xn-1>0；所以n>N時，yn嚴格遞增。yn-yn-1>xn-xn-1>0中令n=N+1，N+2，…k，然后相加，可知：yk-yN>xk-xN，再令k→∞可知yk→∞。

（三）（a為-∞）只要令yn=-Zn即可轉化為（二）中的情況。

定理證畢。

二、應用舉例

例1.設Sn=■，其中Ckn=■；求■Sn。

解：因n2嚴格遞增，且■n2=+∞，

■Sn=■=■■（Stolz公式）

=■■=■■

=■■（再次使用Stolz公式）

=■■=■■=■

例2.設x1∈（0，1），xn+1=xn（1-xn）（n=1，2，…）；試證：■nxn=1。

證：（一）先證xn收斂，且■xn=0。xn有界（數學歸納法），由已知條件x1∈（0，1），設xk∈（0，1），現證xk+1∈（0，1）成立，由xk∈（0，1）知（1-xk）∈（0，1），所以xk+1=xk（1-xk）∈（0，1）；xn嚴格遞減，由xn+1=xn（1-xn）=xn-x2n>xn；綜上由單調有界定理知xn收斂，設■xn=x；現對xn+1=xn（1-xn）兩邊求極限，知x=x（1-x），解此方程得x=0，即■xn=0。

（二）證■nxn=1

■nxn=■■=■■（Stolz公式）=■■

=■■=■■=■（1-xn-1）=1

證畢。

參考文獻：

[1]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，2006.

[2]同濟大學應用數學系.微積分[M].高等教育出版社，2003.