阻尼對慣性秤測試影響的研究

支臙，李玥

[摘 要] 實驗室中通常采用慣性秤來測量物體的慣性質量。但由于裝置簡陋，裝配精度不高，當被測體與秤臺之間存在較大縫隙時，振動將會不同步，此時就不能將被測體與秤臺一起看成一個質點在做簡諧振動，而是獨立的兩個不同步的質點。經過研究發現，該現象對慣性秤的測試有一定的影響，會使得測試周期變長，測得的慣性質量偏大，造成該現象的原因是物體與秤臺發生摩擦、碰撞造成秤臺呈現阻尼振蕩。因此在慣性秤測量物體慣性質量時，必須保證被測體與秤臺配合緊密。

[關 鍵 詞] 測量；慣性質量；慣性秤；阻尼

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）31-0194-04

一、慣性質量的測量方法

根據牛頓第二定律，物體在恒力F作用下做加速度為a的直線運動，如果設法測出F和a，可求得物體的慣性質量。因此我們為測得物體慣性質量，就需設法測得F與a的值，測量F與a的方法有很多種，因此慣性測量的方法也就有很多種。

（一）單擺法

單擺是能夠產生往復擺動的一種裝置，將無重細桿或不可伸長的細柔繩一端懸于重力場內一定點，另一端固結一個重小球，就構成單擺。當擺角小于5°

時有：

m=■ （1-1）

式中：m為慣性質量，mg為引力質量，T為單擺周期，g為測量點的重力加速度，l為擺長。

（二）氣墊導軌法

氣墊導軌法測量物體慣性質量，導軌滑塊質量為m0，滑塊上放置標準質量塊mi，F為運動系統所受合力。根據牛頓第二定律F=ma可得運動系統加速度a：

■=■+■ （1-2）

a可以測得：

a=■（■-■） （1-3）

式中：S為光電門之間的距離，d為擋光片的寬度，tA、tB為滑塊上的擋光片在光電門中通過一次擋光片擋光的時間。

（三）彈簧振子法

以彈簧為動力，使得物體在彈簧的作用下做來回的簡諧運動，通過測量簡諧運動的周期，就可以測得物體的質量。在豎直方向運動時，根據彈簧振子做簡諧振動的周期公式可推算出：

T2=■m0+■mi （1-4）

（四）剛體轉動法

剛體轉動慣量忽略滑輪及繩子的質量，假設摩擦力矩恒定，且a<

（mi+m0）gr=M+I■ （1-5）

式中：M為剛體所受的合外力矩，I為剛體的轉動慣量，r為輪塔半徑，h為砝碼下落高度，t為下落到h所有時間。

因M、I、r、g、h均不變，因此，mi與■成線性關系，通過測量不同的已知質量的砝碼下落時間，即可擬合出mi與■的線性關系方程。通過測出被測體下落時間即可計算出mi的大小。

（五）復擺法

復擺是指在重力作用下，能繞通過自身某固定水平軸擺動的剛體。即復擺是一剛體繞固定的水平軸在重力的作用下作微小擺動的動力運動體系，又稱物理擺。復擺的振動周期計算公式為：

T=2π■ （1-6）

式中：T為復擺周期，Ic為轉軸通過質心且平行轉軸時的轉動慣量，mg為復擺質量，h為質心到轉軸的距離，mi為被測體質量，h1為加上被測體后復擺質心到轉軸的距離。

測得不同位置（h1、h2）下的周期（T1、T2），即可測試mi：

mi=■·■ （1-7）

（六）慣性秤法

慣性秤是用振動法來測定物體慣性質量的裝置，它的主要組成部分為：放置砝碼或待測物的秤臺，固定整個裝置的固定平臺，連結固定平臺和秤臺的兩條相同的片狀鋼條，幾塊標定的砝碼。

設慣性秤空載的周期為T0，加負載mi后的周期為Ti，可得周期T與m之間的關系：

Ti2=■（m0+mi） （1-8）

二、慣性秤

（一）慣性秤工作原理

慣性秤的主要部分是由兩條相同的彈性鋼帶（秤臂）連成的一個懸臂振動體、振動臺、平臺、固定螺栓、可移動臺面、底座、擋光片和光電門構成。

當慣性秤沿水平固定后，將秤臺沿水平方向推開一定的距離（根據實際情況來確定），手松開后，秤臺及其上面的負載將做簡諧振動。先測出空秤（mi=0）的周期T0，再將已標定質量的砝碼依次增加放在秤臺上，測出相應的周期為T1、T2……用這些數據作T2-mi圖線，再通過運算擬合出一個線性方程。通過測量加載被測體后的運動周期，即可計算出被測體的質量。

慣性秤的優點為：（1）可以在失重狀態下測試物體的慣性質量；（2）測量靈敏度較高；（3）測試精度較高；（4）測試儀器及測試方法簡單。

慣性秤的缺點為：（1）秤臂、秤臺一定要嚴格的保持水平；（2）測量范圍較窄；（3）引起誤差的因素較多。

（二）引發慣性秤誤差的因素

從慣性秤的結構和其工作原理來分析，引發慣性秤測試誤差的主要因素有以下幾個。

1.秤臂秤臺水平問題

如果秤臂秤臺沒有水平，而與水平面有一定的夾角θ，經過推導，得出周期T與夾角θ的關系為：T=2π■，因此當秤臂與水平夾角較大時，會產生較大的誤差。

2.運動水平問題

撥動秤臺不水平會造成秤臺在豎直方向存在運動分量，及秤臺的運動軌跡不再是水平左右的線段，而是一個橢圓，此時振動仍屬于簡諧振動，但運動周期會發生一定的變化。

3.秤臂K值變化問題

不管任何彈性物體，當其產生形變時，其K值肯定會變化，而具體的變化量就跟彈性物體的材質、形狀及變化情況有關了，當K值不再恒定，其周期T肯定會發生一定的變化。

4.阻尼問題

慣性秤的振動過程中肯定會消耗一部分能量，因此其振動一定是阻尼運動，至于阻尼的來源我們可以分成兩種情況，一種是外在的因素引起的，如：空氣阻力、秤臂來回折疊時的分子摩擦力等，該因素會引起運動系統的合力不為零；另一種是內在因素引起的，如：秤臺與被測體之間的碰撞、摩擦，被測體自身的碰撞與摩擦（被測體為顆粒或液體時），該因素作用下運動系統所受合力仍然為零。

（三）阻尼對測量的影響

從阻尼的定義及其物理意義上看，阻尼肯定是對振動有影響的，直觀的可以觀看到幅度會有明顯下降，而頻率的影響需要進行計算和測試。

解有阻尼的振動特征方程方程：

？姿2+2？孜ω？姿+ω2=0 （2-1）

設解為：y=Be？姿t，其特征值：

？姿1，2=ω（-？孜±■） （2-2）

一般解：

y（t）=B1e■+B2e■ （2-3）

y（t）=e-？孜ωtAsin（ωrt+a） （2-4）

式中：A=■a=tan-1■

角速度：

ωr=ω■ （2-5）

振幅：

Ar=Ae-？孜ωt （2-6）

由此可見當阻尼系數ξ<1時，振動周期會隨著阻尼系數的增大而增大。當ξ≥1時，就不能形成有效的振動了。

三、實驗設計

（一）實驗器材設計

為實現秤臺與被測體之間的碰撞與摩擦，我們制作了如圖1所示的被測體；其余器材采用正常測量時的器材。

我們一共制作了六個被測體：？椎=18 mm、h不同的被測體兩塊；？椎=16 mm、h不同的被測體兩塊；？椎=14 mm、h不同的被測體兩塊。以驗證被測質量、間隙不同對慣性秤測量影響有何不同。

（二）實驗原理設計

如果被測體與秤臺配合過松時，在運動過程中，被測體與秤臺就會發生相對位移，如圖2（見下頁）所示，此時就可能不能將被測體與秤臺一起看成一個質點，而是獨立的兩個不同步的質點，明顯的被測體的運動幅度大于秤臺的振動幅度。通過這樣的設計，使得被測體與秤臺之間會發生摩擦與碰撞，形成有效的阻尼振蕩。

（三）實驗方法設計

1.調節慣性秤平臺水平，調整慣性秤臺及秤臂水平。

2.將被測體置于秤臺中，將秤臺沿水平方向推開恒定的距離進行測試。

3.對空秤臺進行測試，然后逐漸增加砝碼進行測試，增加10個砝碼。

4.取下所有砝碼，放入被測體，再次測試振動周期，并根據擬合的線性方程計算出測得的被測體質量。

5.根據實驗結果分析作用機理，并得出合理的結論。

（四）實驗注意事項

1.選取適當的被測體，使得振動周期足夠多，建議能達到10～20次周期數以上。

2.振動幅度不能太大，以免被測體從秤臺中脫落。

3.每次實驗應采用相同的周期數來記錄時間。

4.每步實驗做三次，取其平均值，最后測被測體的時候建議做五次取平均值。

四、測試結果

（一）測試數據

第12、13行為？椎=18.00 mm，h不同的被測體；第14、15行為？椎=16.00 mm，h不同的被測體；？椎=14.00 mm的被測體在振動過程中達不到20個周期數就沒有記錄數據。該實驗儀器秤臺距離為20.36 mm。

（二）數據處理

1.用一元線性回歸法處理數據

（1）列方程

T2=■m0+■m1

令xi=mi yi=T2 b0=■m0 b=■m1

∴y=b0+bx

（2）列表

其中Vxi=xi-x Vyi=yi-y ∑Vxi2=lxx ∑Vyi2=lyy ∑Vxiyi=lxy

（3）解方程：

b=■=■≈0.001617099 s2/g

b0=y-bx=0.270927738-0.001617099×124.91≈

0.068935885 s2

∴m0=■=■≈42.62935003 g

取？鄯=3.14

則k=■=■=24.41310908 kg/s2

∴T2=0.068935885+0.001617099mi

mi=618.3912771T2-42.62935003

2.線性回歸結果分析

根據表3計算的數據來看，在被測體與秤臺配合間隙較大時，測出的質量和實際的質量還是有較大區別，阻尼對慣性秤的是有影響的。我們對比這4組數據，序號1和2直徑相同質量不同（m1>m2），3和4也是直徑相同質量不同（m3>m4），但質量大的明顯比質量輕的誤差大一些。3和4的直徑小于1和2的直徑，但3和4的誤差均大于1和2的誤差，而且小徑為14 mm的兩個被測體因振動周期數不夠20而無法測試（阻尼太大、振幅衰減太快），這說明間隙越大，阻尼越大。對比2和3的數據可以看出：質量接近時，間隙越大阻尼越大，且間隙的影響比質量的影響大得多。

五、總結與展望

從被測體的計算結果與實測值的差異對比來看，慣性秤的阻尼隨被測體的質量增加而增加、隨被測體與秤臺之間的間隙增大而迅速增大，符合公式ωr=

ω■中阻尼對頻率的影響趨勢。

通過此次的實驗，很好地詮釋了當被測體與秤臺之間存在間隙是會對測試結果產生影響的，因此我們在測量時，必須將砝碼或者被測體與秤臺配合緊密。

通過對測試儀器儀表的分析，主要誤差除了前面提到的幾大因素外，還與測量儀器有關，如計時器的誤差、天平的誤差、光電門的誤差。因此慣性秤的測量精度還可以通過不同的改進方法進行改進和提升，因此為進一步提高慣性稱的測量精度，我們還可以進一步進行大量的公式推導、摸索和實驗驗證。

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