對角動量定理的表達式和適用對象的說明

李嬌

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2017.25.244

摘 要：本文先定義了力矩和角動量，從質點的牛頓第二定律出發，首先引出質點的角動量定理，又經嚴格的分析推導，給出不同物體及系統繞定軸轉動時的角動量定理表達式，最后對角動量定理適用對象進行特別說明。

關鍵詞：力矩 角動量 角動量定理 質點 可形變非剛體 系統

中圖分類號：O313 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（a）-0244-02

角動量定理是大學物理中的一個重要內容，許多教材在介紹角動量定理時順序是按照這兩種方式進行的，第一種：首先在質點動力學中引出質點的角動量定理，再給出質點系的角動量定理；在講剛體的定軸轉動相關內容時，又引出定軸轉動剛體的角動量定理。第二種：直接將角動量定理放到了定軸轉動剛體這章，由定軸轉動剛體的轉動定律推導出定軸轉動剛體的角動量定理，再說明如果內部各質點相對于轉軸的位置發生變化時，角動量定理表達式又是怎樣的。這兩種方式都使學生不能對角動量定理有一個完整、全面的認識；讓他們覺得角動量定理的表達式很混亂，不清楚什么物體能用角動量定理，該用哪種形式的角動量定理。為了說明角動量定理其適用于所有的物體，包括質點，定軸轉動剛體，還有可形變的非剛體及系統，本文給出了嚴格的分析推導。

1 力矩和角動量

在自然界中，常會遇到質點繞一定中心運動的情況，大的如行星繞太陽公轉，月球繞地球運動，小的如原子中電子繞原子核的轉動等。對于這些運動，引入力矩，角動量，并進而找出它們之間的規律，對于研究轉動問題很有益處。

1.1 力矩

1.1.1 對參考點的力矩

在慣性系中，一質量為m的質點，某時刻的位矢為，并受力作用，則力對參考點O的力矩為：

（1）

由矢量的知識可知，力矩的大小為 即力乘以力臂，其中是與的夾角。的方向遵循右手螺旋定則，即右手的四個手指由矢量沿<180°角繞向矢量，此時大拇指所指方向即是力矩的方向。

1.1.2 對軸的力矩

我們日常所見的轉動很多是繞某軸進行的，如門繞門軸的轉動，風扇葉繞轉軸的轉動，陀螺的轉動等，在這種情況下，對轉軸起作用的力矩只是力矩矢量沿轉軸的分量，我們把這一分量稱為力對軸的力矩，其實所謂力對軸的力矩就是力對參考點的力矩在軸上的投影。

1.2 角動量

1.2.1 質點對參考點的角動量

如圖1所示，在慣性系中，一質量為m的質點，某時刻的位矢為，動量為，則質點對參考點O的角動量為：

（2）

由矢量的知識可知，力矩方向遵循右手螺旋定則，力矩的大小為：

（3）

在這里可以認為此刻質點做以O為圓心，d為半徑的等效圓周運動，利用圓周運動的線速度和角速度關系：

（4）

將（4）帶入（3），并利用轉動慣量的定義可得：

（5）

1.2.2 質點對軸的角動量

與力矩完全類似的討論可以得出質點對軸的角動量，需要將動量與位矢都投影到過參考點并與軸垂直的平面內，則此時在垂直平面內的動量對參考點的角動量就是動量對軸的角動量。

2 質點的角動量定理

列出質點的牛頓第二定律：

（6）

變形可得：

（7）

由于方向平行于，則，故：

則（7）可變為：

（8）

利用力矩及角動量概念，（8）可變為：

（9）

（9）左右兩邊分別積分得：

（10）

質點對參考點的角動量表明，合外力矩持續作用在質點上一段時間能改變質點的角動量，改變情況為作用于質點的合外力矩的沖量矩等于多少，質點角動量增量就為多少。

以z軸為例，質點對軸的角動量定理就是將（10）式中，投影到z軸正半軸的分量式，可知它是標量式：

（11）

由前面質點的角動量的知識可知（11）可以變為：

（12）

質點z對軸的角動量定理在實際中的常用式。其中，，是質點繞z軸做等效圓周運動時對z軸的轉動慣量和角速度。

3 定軸轉動質點系的角動量定理

一個由n個質點構成的系統，整個系統對同一定軸的角動量定理其實就是將每個質點對軸的角動量定理加起來，對系統而言就要區分系統內力和系統外力，其中系統內力是系統里面質點間的相互作用力，屬于作用力與反作用力，而一對作用力反作用力的力矩和為零，故質點系對定軸的角動量定理是系統外力矩對軸的沖量矩等于系統對軸的角動量增量，表達式為：

（，） （13）

質點系對定軸的角動量定理：

（14）

質點對軸的角動量定理在實際中的常用式。

4 定軸轉動剛體的角動量定理

利用定軸轉動剛體的轉動定律：

（15）

（15）×dt并兩邊積分可得：

（16）

定軸轉動剛體的角動量定理。

5 定軸轉動可形變非剛體的角動量定理

當物體是可形變剛體時，它繞某一固定軸轉動時，我們分析它的角動量定理時可借助質點的角動量定理和將可形變非剛體分割成質點系來得出。由于非剛體在做定軸轉動，在任意瞬時可認為它上面每個點都在繞同一軸做同方向的圓周運動，每一點的角速度相同，故非剛體上每點的角動量方向都相同，大小為，整個非剛體的角動量定理就是把它上每點的角動量定理加起來。其中角動量相加時由于同一瞬時非剛體上每點的角速度都相同，每點的角動量方向都相同，所以整個非剛體某個時刻的角動量就等于非剛體上所有點的轉動慣量之和乘以此刻的角速度，非剛體上所有點的轉動慣量之和就是整個非剛體的轉動慣量。非剛體在定軸轉動過程中發生形變，對軸的轉動慣量發生，角速度也發生變化，所以整個過程中初末時刻的角動量就等于非剛體的初末時刻轉動慣量乘初末時刻角速度，最終可得整個定軸轉動非剛體的角動量定理就應該為：

（17）

定軸轉動可形變非剛體的角動量定理。

6 任意系統繞定軸轉動的角動量定理

由于任意系統，無論是純粹的質點系，純粹的剛體系，還可以是質點、剛體、可形變非剛體構成的復雜的系統，都可以采用分割法將系統看成是由質點組成的質點系，利用質點系的角動量定理，所有系統繞定軸轉動的角動量定理的表達式可以表示為：

（18）

其中M是系統所受所有外力對定軸的力矩和，Ji為系統里第i個物體對軸的轉動慣量，和為系統里第個物體對軸的初末角速度。

7 結語

本文先定義了力矩和角動量，從質點的牛頓第二定律出發，首先引出質點的角動量定理，又經嚴格的分析推導，給出不同物體及系統繞定軸轉動時的角動量定理表達式，并最終給出適合所有物體及系統繞定軸轉動的角動量定理表達式：

（19）

參考文獻

[1] 張三慧.大學物理學上[M].北京：清華大學出版社，2014.endprint