對一道函數最值問題的思考

樊鑫培

摘要：數學教學離不開題，題中有日月，題中有乾坤，我們教師只有把題玩好，才能讓學生感受到數學學科的魅力。本文以一道函數題出發，得到它的最值的幾種精彩方法，打開思路，感受數學魅力！

關鍵詞： 柯西不等式；數形結合；對偶式

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-9129（2017）12-0135-02

Abstract： mathematics teaching cannot leave the topic， the topic of the sun， the topic of the tide， we have only to play good， teachers can make students feel the charm of mathematics Problem in this paper， a function， get it several kinds of methods， the value of the open thought， understand mathematical charm

Key words： cauchy inequality； Number combination； Dual type

（2014年全國高中數學聯賽廣西賽區預賽）函數 的最大值是

解法一：（導數法）

記 ，

所以令 ，得 ，

而 ，所以 。

解法二：（柯西不等式）

因為 ，由柯西不等式得，

，

當且僅當 即 時，等號成立，所以 。

解法三：（柯西不等式的向量形式）

因為 ，所以構造平面向量

則

因為 ，當且僅當 同向時取等號，

所以 ，所以 。

解法四：（數形結合）

因為 ，設

所以 ，即轉化為目標直線 與圓 在第一象限的圖形相切時取得最大值，由 得 即為所求最大值。

解法五：（三角換元）

因為 ，所以 則

記 ，所以 ，

所以

其中 當 時，

解法六：（構造對偶式）

因為

因為 在 上單調遞減，則 則

又因為

所以 ，因為 ，故 ，所以 。

解法七：（構造方差）

因為

令 ，則 ，所以9個 與2個 的平均數為 ，

方差為 ，所以 ，當且僅當 ，即 時，

解法八：（構造概率分布列）

因為

令 ，則 ，構造隨機變量 的概率分布列為

所以

，

因為 所以 ，

所以 ，當且僅當 ，即 時，

參考文獻：

[1]蔡小雄《一題多解與一題多變》 （浙江大學出版社）