等差數列和等比數列的對比分析

丁一鳴

摘要：本文先分別對等差數列和等比數列的概念進行簡述，進而在實際例題的基礎上，對等差數列與等比數列相關問題的解答過程進行詳細闡述。

關鍵詞：等差數列；等比數列；對比分析

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-9129（2017）12-0210-01

Abstract： in this paper， first the concept of the series of equal difference and proportion， respectively， and then on the basis of actual examples， the problems associated with the geometric sequence arithmetic progression solution process in detail.

Key words： arithmetic sequence； Geometric series； Comparison and analysis

數列知識是高中數學知識結構中的重點內容，而等比與等差是其中的重要知識點。在對等差和等比數列進行學習的時候，我們需要將這兩種數列的概念進行清楚的把握，要在相關題目的解答以及性質中區(qū)分兩者，進而提升數學知識的學習能力。

1 等差數列和等比數列的概念

所謂等差數列，其主要是指在第二項開始，其中的每一項都與其前一項差為同樣一個常數的數列。在我們學習數列知識的時候，數學教材、試題等都經常使用AP來表示。其中的常數是等差數列的公差，而公差經常使用字母d進行表示。等差數列是比較常見的一種數列，就我們基礎到最多的是1，3，5，7，9......2n-1，此數列的通項公式是an+a1+（n-1）*d。通項公式主要是指若是數列的前n項an和n之間的關系能運用一個規(guī)范的公式進行表示，這個公式就是同向公式。有些數列通項經常可以使用兩個或者是兩個以上的式子進行表示。沒有同向公式的數列也存在的，比如質數構成的數列。除此之外，常見的等差數列還有2，4，6，8......等等。等差數列的定義式為an-an-1=d（n≥2），在這其中公差d是一個常數，而n為一個正整數。

所謂等比數列，其主要是指在第二項開始，其中每一項與其前一項之間的比值都是用一個常數，這種是數列就是等比數列，在在我們學習數列知識的時候，數學教材、試題等都經常使用GP來表示等比數列。在這其中的常數是等比數列的公比，公比經常使用字母q來進行表示，而等比數列a1≠0。等比數列中的每一項都不是0，而在q為1的時候，an是常數列。在我們學習過程中，比較常見的等比數列是1、2、4、8、16……2^100等，而等比數列的定義式為 =q（n≥2，an-1≠0，q≠0）.在我們的實際生活中，等比數列被廣泛運用。比如在銀行中有一種叫復利的利息支付方式，其是將前一期利息本金加載一起當做本金，再計算下一期的利息。[3]

2 等比數列與等差數列問題的解析

在對等比數列和等差數列相關的問題進行解答的時候，最重要的是要掌握兩種數列的性質和特點，并且要對其中的公式進行靈活運用，然后再詳細地分析問題，在問題提供的各種條件信息基礎上正確的解析問題。

2.1 等差數列問題的解析

等差數列題型在我們日常的習題、試卷中經常出現，同時也是高考中常見的一種題型。等差數列還會和高中數學其他的一些知識聯系在一起，以此構成一種綜合性的問題，比如和最值問題與函數問題相結合，以此來對學生的知識掌握是否全面進行考查。在對這種等差數列的問題進行解答的時候，需要先對題干中的內容進行詳細分析，在掌握題目提出的問題和等差數列理論知識基礎上進行解答，以此提升等差數列問題的解答效率。就以下面這道題目為例子：

例題1：若是（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，試著證明m，n，X是等差數列。

解析：這道題目若是使用普通解題方式會十分復雜，在對這種等差數列的證明題進行解答的時候，可以使用構造法的方式把題目中條件與結論綜合在一起，這樣就簡化了問題。綜合題目建設相關的方程式：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，假設△=（m-n）-4（n-x）（x-m），這樣就可以得出△=0。則建設的方程式中實數根就是一樣的，所以t值為1，構建的方程式兩個實數根都是1。然后再使用韋達定理得到m+n=2x，這樣就可以直接證明題目中的m，n，x是等差數列。這種等差數列的題目對我們而言存在一定的難度，但是只要我們能夠掌握等差數列的相關特性與性質，并且使用一些特殊的方式，則就可以讓解答過程更加的簡單，并且很快的解答出正確答案。[2]

2.2 等比數列問題的解析

等差數列題目也是以各種形式出現在我們的日常習題、考試中，尤其是在高考試卷中占據了一定的分值，對往年的高考試卷進行分析，通過對等比數列相關問題的解答，可以積累一定的解題經驗，并且掌握相關的解題思路。

例題2：定義一種運算 對任意n∈N*都滿足一下運算性質：2 2016=1；（2n+2） 2016=3[（2n） 2016]，根據這些條件求出2016 2016的值。

解析：在讀題中我們發(fā)現（2n） 2016和[（2n） 2016]結構一樣，前面為n，而后面則是n+1，針對這一點我們在解題的時候就可以將其看作為某個數列的相鄰兩個項，這樣就可以很快的切入到解題中。設置an=（2n） 2016，則從題干中的條件中就可以知道a1是1，同時也可以知道an+1=3an，也就是 =3，其中n屬于正整數。因此數列是公比為3的等邊數列，這樣就可以得出an=a1·3n-1，這樣就可以得到2016 2016=（2×1008） 2016=a1008=31007。這道題的關鍵在于使用了換元的方式，把不熟悉的問題轉換為自己熟悉的等比數列問題，這樣可以讓問題的解答更加簡單。[1]

3 結束語：

等比和等差數列是高中數學知識中的主要構成部分，在對這兩方面的知識進行學習的時候，我們需要區(qū)分兩者之間的差異。首先要從概念上對兩者的性質進行了解，然后在解題過程中了解兩種問題解答的方式，以此來積累自己的經驗，并且加深自己對等差數列與等比數列的記憶。

參考文獻：

[1]劉立強. 構造等比數列巧解題[J]. 高中數理化， 2016（z1）：33-34.

[2]劉顯奮. “構造法”在高中數學解題中的應用——以等差數列教學為例[J]. 廣西教育， 2016（14）：155-156.

[3]姚祥利. 對等差數列與等比數列的幾點探討[J]. 科技視界， 2017（35）.