“隱函數的求導”教學中數學思想方法的運用

李霞

摘要： 本文首先對大學數學教學過程中數學思想方法的重要性做了簡要介紹，然后重點講解了微積分中幾種常見的數學思想方法，通過“隱函數的求導”具體教學過程中的教學案例，闡明數學思想方法的運用在微積分教學中的重要性。

Abstract： In this paper， the importance of mathematical thought in the process of mathematics teaching is introduced briefly， and then it highlights the calculus in several common mathematical thinking methods， and through the teaching process of "the derivation of implicit function"， clarifies the importance of using mathematics thinking method in calculus teaching.

關鍵詞： “隱函數的求導”教學；數學思想方法；微積分

Key words： the teaching of “derivative of implicit function”；mathematical thought；calculus

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）32-0209-02

0 引言

數學思想與數學方法不僅是高校素質教育的重要途徑，也是大學生的數學知識向數學觀念轉化的基礎。任何知識都必然會形成一個系統的知識體系，最終在大腦中形成基本的觀念，數學亦是如此，然而要想將固有的、書面的數學知識轉化為科學的、內在的數學觀念，在具體的課堂教學中，教師要想將數學知識真正地輸送到學生的腦子里，讓學生自己形成數學觀念，應在講清基本數學知識的基礎上，講究數學知識教學的方式方法，使學生在了解數學思想的基礎上，形成自身的數學精神，進而實現我們的數學素質教育。

1 微積分中幾種常見的數學思想方法

1.1 函數思想

函數思想是學習微積分的一種策略性的指導方法，其研究重點是在于研究狀態到研究變化的過度，在函數思想運用中，一個變量會隨著另一個變量的變化而發生改變，它符合辯證唯物主義。微積分學科可以當做是以極限思想研究函數特性的學科，它和函數思想的本質不謀而合，因此采用函數思想學習和解決微積分問題效果極佳。

1.2 極限思想

在數學中，極限思想指的是利用無限變化的趨勢來分析有限變化的思想，具體來說就是通過極限思想可將有限用無線變化描述出來，將精確用近似描述出來，因此，極限思想對于微積分問題的解決也具有重要意義。極限思想是高等數學的一個重要思想，它描述的是一種變化趨勢中無窮小的過程，并以此思想為基礎，逐漸引出了廣義積分、定積分、導數、連續性等。事物存在的根本屬性是運動，且存在突變和漸變之分，極限思想屬于一種漸變思想，它通過研究變化趨勢來確定不變的問題，比如將極限思想應用在求解曲邊梯形的面積時，可以直代曲，最終求出曲邊梯形面積，如圖1所示。

1.3 化歸思想

在微積分教學中，化歸思想的應用指將較為抽象或較難的問題轉化為較容易的問題，或者將還未解決的問題轉化為已經解決的問題，最終實現問題的解決。由此可知，化歸思想的關鍵是簡化或者轉化，在具體的應用化歸思想的過程中，首先應該明確化歸對象，其次確立化歸目標，再者選擇化歸途徑。通常轉化問題可通過以下幾種方法：命題形式的轉化；復雜問題簡單化；引入輔助元素的轉化；抽象問題形象化；陌生問題熟悉化。

在解決問題時，化歸原則的一般模式如圖2所示。

1.4 類比思想

類比思想的應用關鍵在于抓住事物之間的相似性，然后對比分析實際問題和類似問題，進而找到解決實際問題的突破口，事實上，高等數學中很多公式和定理都是通過類比得到的，且類比方法還能夠用于對相似問題的研究，有利于推廣數學研究。在高等數學中很多概念都是相互關聯的，必然存在一定的相似性。在微積分教學中可利用各個概念之間的相似性，先講解較為簡單的數學知識，然后層層推進，講解較為抽象的數學知識。

1.5 數形結合思想

在微積分教學中，數形結合思想的運用指的是針對數學問題，將數與形之間建立起相應的聯系，然后通過觀察形的變化來分析數的變化，或者根據數的變化來判斷形的變化趨勢，從而找出對應點，將問題解決掉。

1.6 數學建模思想

數學模型是指用數學語言和方法對各種實際對象做出抽象或模仿而形成的一種數學結構。數學建模是指對現實世界中原型進行具體構造數學模型，是問題解決的一個重要方面和類型，將考察的實際問題轉化為數學問題，構造出相應的數學模型，通過研究和解答數學模型，可將相關的實際問題解答出來。數學教育的一個重要目的就是培養學生的數學意識和實際應用能力，使數學和實際應用結合在一起，而不是將數學束之高閣。數學模型思想就是將各類實際問題轉化為可以解決的數學問題，然后利用數學思想和方法尋求問題的答案，從而解決實際問題。

1.7 整體與局部的思想

整體和部分是相對而言的，整體是由部分組成的，若整體不存在，那么部分也必然不存在，但部分雖然是整體的組成，有時也可以是一個整體。在數學中，可從問題的整體性質入手，分析和改造問題的整體結構，將整體結構特征分析出來，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。簡而言之整體思想就是觀察和認識問題時從整體入手，從而解決問題。數學學習抽象且復雜，利用整體思想可將較為抽象和復雜的問題簡化，從整體入手解決問題，擁有大局意識，不拘泥常規，解決問題的效率將事半功倍。endprint

2 “隱函數的求導”教學中數學思想方法的具體運用

下面就以“隱函數的求導”教學為例具體介紹數學思想方法在教學中的具體運用。“隱函數的求導”這一節的內容相對來說理解起來比較困難，很多學生初次接觸都不太理解，那如果在講解過程中結合數學思想方法來講解，可以大大提高學生的理解力，能更好地掌握本節內容，并知道“隱函數的求導”和“復合函數的求導”間的關系。

例1：已知由ey+x2y=2x確定的y=y（x），求y關于x的導數。

分析：首先y=y（x）這個函數是隱函數，這題就是求隱函數的導數。我們先看題目中的函數ey，它相當于復合函數，因為指數y也是一個函數，但是與一般的復合函數又有些不一樣，這說明該函數與復合函數的關聯性比較大，而復合函數的求導我們已經學會，所以就將隱函數的求導轉化為復合函數的求導，即：

隱函數的求導？圯復合函數的求導

而這個思想就是數學化歸思想，通過這樣的轉化讓學生了解它們兩者間的關系：隱函數的求導實質意義就是復合函數的求導，這樣就將未知的知識？圯已知的知識，學生理解起來稍微簡單些。再將這兩者的求導過程做比較，在類比中辨別它們的異同點，可以更直觀地掌握它的求導方法。

從上面求導的過程中可以看出，兩個函數的求導過程是一樣的，都運用了復合函數鏈式法則進行求導，只不過前一個函數y=y（x）是未知的函數，而后一個函數中的y=y（x）是已知的，這也是隱函數和顯函數的區別，但它們的求導都屬于復合函數的求導，這一過程就采用了類比的數學思想方法，更直觀地說明了問題，從而加深了學生的理解。而復合函數求導中復合函數的分解是求導的關鍵，上面的解題過程中均有所體現，而復合函數的分解就是利用整體換元的思想由外到內，層層分解，最后分解成基本初等函數，那么這里就體現整體的數學思想，在講解過程中結合這些數學思想方法進行授課，可以幫助學生理解所學內容，并能加深對概念的印象，并且可以培養學生學習數學的興趣，激發起它們想要探索其他數學思想方法的動力。

那么這題的整體解題過程如下：

方程兩邊對x求導得：

只要對函數ey求導過程理解的話，那么對整個方程左右兩邊的函數的求導就會迎刃而解。

下面再通過一個例題來加以鞏固，了解學生的掌握情況。

例2：求由方程x3y+xy3=5所確定的函數y=y（x）的導數。

這道題目讓學生來解，解題過程如下：

3x2y+x3y′+y3+x·3y2y′=0

（x3+3xy2）y′=-（3x2y+y3）

∴y′=-

這道題目又稍微復雜些，除了有隱函數的求導，還涉及到導數的四則運算法則，學生在解題過程中要加以注意，否則兩者結合在一起，很容易混淆導致錯誤，但通過在講解過程中介紹數學思想方法，學生接收新知識就比較容易，從解題的過程就可以看出，與沒有講授數學思想方法的學生相比教學效果明顯不同，所以在數學教學過程中有效滲透數學思想方法是非常必要和重要的。

3 結論

盡管無法量化考核數學思想的教學效果，但是不可忽視數學思想在數學教學過程中的重要作用，它對于提升學生的數學學習能力和創新意識具有重要意義，數學思想方法能夠讓學生了解到數學知識的內在意義和知識形成背景，有針對性地掌握和記憶相關數學知識，而不是死記硬背。因此，在高等數學教學過程中應充分意識到數學思想方法的重要性，將其應用在數學教學及研究工作中，教學效果將事半功倍。

參考文獻：

[1]楊晶.微積分教學中的數學思想方法的探究[J].高教學刊，2016，17.

[2]邵亞斌.例談數學思想方法在課堂教學中的應用[J].課程教學，2016，20.

[3]王嬌.淺談高數微積分思想及其在實踐中的應用[J].科技視界，2015，14.endprint