培養學生數學學習的反思能力例析

劉勇

摘要：在數學教學中不能一味灌輸知識，而要讓學生感受、反思。培養學生的反思能力能激發學生的學習熱情、發揮學生主觀能動性。學生在課堂上對錯誤的認識進行辨別和反思可以加強對知識的再認識；在課前和課后鞏固知識時進行反思和總結對提高學生分析和解決問題能力有著重要意義。

關鍵詞：數學學習；反思能力；學生

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）17-057-2

反思是指教師引導學生對數學知識進行一般性回顧的基礎之上，進一步的掌握數學學習的思路以及方法，是一種較為有效的學習方式。根據相關數據表明，當前高中生的數學學習反思能力并未達到預期水平，筆者結合自身多年的高中數學教學經驗，對如何培養高中生數學學習反思能力進行了分析，旨在為其他的教學工作者提供一定的借鑒。

一、在課堂教學過程中培養學生反思能力

要想培養學生會反思，能對數學結果進行檢驗和評價，能學會并形成解決問題的思維方法，教師就必須把數學思想方法的培養作為長期的任務，讓學生反復經歷多次“自主解決”的過程，

1.通過學生的自我反思，提高對數學的學習興趣

案例1：七人站成一排，其中甲、乙兩人相鄰，但與丙不相鄰，則一共有多少種排法？

絕大部分的學生通過捆綁法、插空法可以得到共有A22A44A25=960種站法。但有的學生卻提出不同的想法：只考慮甲、乙相鄰，有A22A66種站法，再考慮甲、乙、丙相鄰，有A33A55種站法，運用排除法則滿足要求共有A22A66-A33A55=720種站法。

看到這截然不同的答案，同學們一時熱情高漲，眾說紛紜。教學從矛盾開始就是從問題開始。思維自疑問和驚奇開始，在教學中可設計一個學生不易回答的懸念，激發學生強烈的求知欲望，起到啟示誘導的作用。這時候根本不需要老師講解，學生自己就可以得出第二種解法的錯誤原因：甲、乙、丙相鄰應該是在甲、乙相鄰的基礎上再和丙相鄰，并能進行糾正錯誤，得到正確的答案：A22A66-A22A22A55=960。學生自己提出問題，再讓學生自己解決問題，這應該是我們課堂上常采用的模式，既可以提高學生的學習興趣，又可以培養學生嚴謹的數學思維。

2.通過學生的自我反思，對數學概念的再認識

案例2：已知集合M={x|y+x+1=0，x，y∈R}，N={x|x2+y2=1，x，y∈R}，則M∩N等于（）

A.ΦB.RC.MD.N

很多學生拿到題目就會毫不猶豫地畫出拋物線和圓，再由圖象的交點情況選擇選項A。這時候我并沒有解釋，只是又出了一道題：

已知集合M={（x，y）|y+x+1=0，x，y∈R}，N={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，則M∩N等于（）

A.ΦB.RC.MD.N

學生很自然對這兩題進行對比，再通過思考和分析，不難發現本來的想法是錯的，也很快找到正確的答案。但是對這個題目并沒有到此為止，而是問學生錯誤的原因是什么，學生思考后認為對集合的描述法的概念認識不夠。于是讓學生回歸課本，加深對集合的描述法的概念的理解。我又問以后遇到這一類型應注意什么，學生很容易總結出：集合的一般元素和公共屬性。

建構主義認為：學生需要對每一個數學概念構造自己的理解，使得“教”的作用不再是講演、解釋，或者企圖去“傳送”知識，而是為促使學生進行心智建構創設學習環境和條件。這種教學方法的關鍵，是將每一個數學概念按皮亞杰的知識理論分解成許多發展性的步驟，這些步驟的確定要基于對學生的觀察和談話。創設背景，讓學生自我糾錯，再和學生在交談中深化總結，這要比一語道破天機要好很多。

3.過學生的自我反思，對知識進行梳理

案例3：已知橢圓方程x26+y22=1，F1、F2是橢圓的兩個焦點，M是橢圓上的任意一點，求cos∠F1MF2的最小值。

有些學生的解答是這樣的：

cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1||MF2|

≥2|MF1||MF2|-162|MF1||MF2|，

∴當|MF1|=|MF2|=4時，cos∠F1MF2取最小值12。

這種解答的結果與事實相符，但解題過程中的推理缺乏邏輯性，所以對學生具有一定的迷惑性。如果這時候直接對學生講使用均值定理需要三個條件：一正，二定，三相等，學生只能被動地接受，而缺少本身的一種體驗，對知識的認識仍然是松散的，對知識的運用只能停留在模仿階段。在這里不妨用另一道題與其對比，讓學生進行反思與總結：

已知兩點M1、M2的坐標分別是（-1，0）、（1，0），點P是直線l：x+y=2上的任一點，求|M1P|+|M2P|的最小值。

根據上面的分析思路，|M1P|+|M2P|≥2|M1P|·|M2P|，當|M1P|=|M2P|，即當P點落在上圖中的Q（0，2）點時|M1P|+|M2P|取最小值5。有些學生運用幾何法：作出M1關于直線l的對稱點M′1，計算的M′1的坐標為（-2，1），連結M1M′1與直線l相交于點P，此時|M1P|+|M2P|=|M′1P|+|M2P|≥|M′1M2|最小值為10。這時對于截然不同的答案，學生立刻熱情高漲，紛紛發表自己的意見，通過發現矛盾，分析矛盾，再通過自我反思，得出原本解法的錯誤原因：對均值定理應用的條件理解不足，從而通過自身的體驗加深了對知識的理解，同時也提高了自身的數學素養。

二、在知識回顧的過程中培養學生的反思能力

在數學解題過程以后，再回過頭來對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，并從數學知識、數學思想、學習的啟示三個層面進行知識鞏固，這是數學解題過程的最后階段，也是對提高學生分析和解決問題能力最有意義的階段。endprint

1.預習后的反思

預習是上課前對即將要上的數學內容進行閱讀，了解其梗概，做到心中有數，以便于掌握聽課的主動權。由于預習是學生獨立學習的嘗試，對學習內容是否正確理解，能否把握其重點、關鍵，洞察到隱含的思想方法等，都能及時在聽課中得到檢驗、加強或矯正，有利于提高他們的學習能力和養成自學的習慣，所以它是數學學習中的重要一環。所以指導學生如何進行預習后的反思也是相當有必要的。

預習后的反思，是指學生在預習高中數學過程中進行的自我預測和反饋，利用已有知識檢測對新知識的了解程度、缺陷程度，以便于把握課堂學習的重點。除了應反思學習新內容所需的舊知識（或預備知識）外，還應該反思預習的基本內容要講些什么，要解決什么問題，采取的是什么方法，重點關鍵在那里等等。反思時，可以采用邊閱讀、邊反思、邊書寫的方式，把內容的要點、層次、聯系劃出來或打上記號，寫下自己的看法或弄不懂的地方與問題，最后確定聽課時要解決的主要問題或打算，以提高聽課的效率。

2.解題后反思

對問題解答后的結論的正確性的檢驗或提出疑問；是否還有其他解法或更佳解法；能否對問題的題設或結論進行變式；對否把當前的命題推廣到一般情況；進一步考慮問題的題設的完備性（充分性）及結論的精確性。

案例4：必修4的課本上的102頁例4，在斜三角形ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

在此基礎上又設計了幾道題目，讓學生邊思考邊反思：

（1）A+B=45°，求tanA+tanB+tanAtanB的值，

（2）求（1+tan22°）（1+tan23°）的值，

（3）求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值，

（4）設正項等差數列{an}，a1+an=π4，求（1+tana1）（1+tana2）…（1+tanan-1）（1+tanan）的值。

課堂上所得的知識是有限的，許多問題的解決要通過學生對信息的聯想、創造，通過反思，深刻理解數學知識和數學思想方法，以實現再學習的目的。

案例5：已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1，求證：

（a+1a）2+（b+1b）2+（c+1c）2≥1003。

略證：由條件可得：（a+1a）2=（a+1+ba+ca）2以及相應的另外另外兩個式子，展開，利用算術平均數不小于它們的幾何平均數可證。

反思一：本題的解題思路是什么？本題通過變形1=a+b+c的代換，并且利用了基本不等式的性質。

反思二：是否有其他方法可解？令A=a+1a，B=b+1b，C=c+1c，再利用：13（A2+B2+C2）≥（A+B+C3）2可證。

反思三：能推廣嗎？設ai>0，∑ni=1ai=1，求證：∑ni=1（ai+1ai）≥（n2+1）2n。

學生在反思原有知識的基礎上，對新題進行思考，既鞏固了已學知識，又培養了創新能力。因此，解題教學的目的并不單純為了求得問題的結果，真正的目的是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養學生的創造精神。

在教學過程中，教師應將易犯錯誤、難以理解的知識讓學生多思考、多反思，這樣學生以后就不會或很少犯相同的錯誤，學生也會對數學的學習充滿了興趣和成就感。建構主義學說認為，學生學習數學的過程不是被動地吸收課本和老師的現成的結論，而是一個充滿興趣，親自參與的豐富、生動的思維過程，是一個不斷反思不斷進步的過程，是一個實踐和創新的過程。所以我們在數學教學過程中培養學生興趣，養成學習反思習慣，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中，構建知識，訓練技能，領會數學思想方法，獲得數學活動的經驗。

[參考文獻]

[1]張紹英.培養和激發學生數學學習興趣的若干基本途徑.中學數學雜志，2004（11）.

[2]張掖.新課程理念下的數學教學反思.教育革新，2007（08）.endprint