平行四邊形的判定的拓展

我們知道平行四邊形具有以下性質(zhì)：

①對邊平行；②對邊相等 ；③對角相等；④一條對角線平分另一條對角線；將①②③④兩兩組合在一起（包括①①、②②、③③、④④）作為條件，可構(gòu)成如下關(guān)于判斷四邊形是否是平行四邊形的12個命題：

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

（4）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

（7）一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊

（8）一組對角相等且連結(jié)這組對角頂點所得對角線平分另一條對角線，這樣的四邊形是平行四邊形。

（9）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。

（10）一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

（11）一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形。

（12）一組對角相等且連結(jié)這組對角頂點所得的對角線被另一條對角線所平分，這樣的四邊形是平行四邊形。

下面我們來探討以上命題，哪些是真命題，哪些是假命題，若通過證明是真命題，即可作為判定四邊形是平行四邊形的一種方法；若能舉出反例或畫出反例圖，則說明是假命題；在今后遇到這類情況能準確判斷真?zhèn)巍⒉恢劣诨煜鲥e。

1.顯然，（1）至（5）是課本上的定義或證明了的定理，它們是真命題，我們在這里就不贅述了，也易證（6）和（7）是真命題，而（8）也是真命題，但學生用現(xiàn)有的方法不易證明，我們可用同一法的思想來說明：如圖，

將四邊形繞O點旋轉(zhuǎn)180°，使B 點與 D點重合，若C點 與A點不重合，則會落在C′或C″處，此時∠B C′D﹤∠BAD 或 ∠B C ″D﹥∠BAD（三角形的外角大于不相鄰的兩內(nèi)角和），故C只能落在A處，即OA=OC，由此說明四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

2.（9）至（12）是假命題，下面我們就舉出反例并畫出反例圖命題（9）反例圖

（10）圖

（11）

（12）

綜上所述：判斷一個四邊形是否是平行四邊形的情形還有三種，即上述探討論證了的真命題（6），真命題（7），真命題（8），雖課本中沒把它們作為定理出現(xiàn)，但探究的過程和結(jié)論可拓寬我們的視野，提高我們識別和應變能力，同時也可快而準應對測試中有關(guān)平行四邊形的選擇和判斷類型習題。

作者簡介

李煥蘭（1964.2-），女，漢族，湖北，中學高級教師，武漢市中學數(shù)學學科帶頭人，中國數(shù)學奧林匹克一級教研員，武漢大學數(shù)學專業(yè)研究生畢業(yè)，武漢外國語學校教師，從教多年來，關(guān)注數(shù)學教學的改革和學生的思維訓練，致力于中學高效課堂、中學生數(shù)學心里健康、中考數(shù)學、中學奧林匹克數(shù)學的研究endprint