平行四邊形的判定的拓展

我們知道平行四邊形具有以下性質(zhì)：

①對(duì)邊平行；②對(duì)邊相等 ；③對(duì)角相等；④一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線；將①②③④兩兩組合在一起（包括①①、②②、③③、④④）作為條件，可構(gòu)成如下關(guān)于判斷四邊形是否是平行四邊形的12個(gè)命題：

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

（4）兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

（7）一組對(duì)邊平行，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊

（8）一組對(duì)角相等且連結(jié)這組對(duì)角頂點(diǎn)所得對(duì)角線平分另一條對(duì)角線，這樣的四邊形是平行四邊形。

（9）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。

（10）一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。

（11）一組對(duì)邊相等，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形。

（12）一組對(duì)角相等且連結(jié)這組對(duì)角頂點(diǎn)所得的對(duì)角線被另一條對(duì)角線所平分，這樣的四邊形是平行四邊形。

下面我們來(lái)探討以上命題，哪些是真命題，哪些是假命題，若通過(guò)證明是真命題，即可作為判定四邊形是平行四邊形的一種方法；若能舉出反例或畫(huà)出反例圖，則說(shuō)明是假命題；在今后遇到這類(lèi)情況能準(zhǔn)確判斷真?zhèn)巍⒉恢劣诨煜鲥e(cuò)。

1.顯然，（1）至（5）是課本上的定義或證明了的定理，它們是真命題，我們?cè)谶@里就不贅述了，也易證（6）和（7）是真命題，而（8）也是真命題，但學(xué)生用現(xiàn)有的方法不易證明，我們可用同一法的思想來(lái)說(shuō)明：如圖，

將四邊形繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，使B 點(diǎn)與 D點(diǎn)重合，若C點(diǎn) 與A點(diǎn)不重合，則會(huì)落在C′或C″處，此時(shí)∠B C′D﹤∠BAD 或 ∠B C ″D﹥∠BAD（三角形的外角大于不相鄰的兩內(nèi)角和），故C只能落在A處，即OA=OC，由此說(shuō)明四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

2.（9）至（12）是假命題，下面我們就舉出反例并畫(huà)出反例圖命題（9）反例圖

（10）圖

（11）

（12）

綜上所述：判斷一個(gè)四邊形是否是平行四邊形的情形還有三種，即上述探討論證了的真命題（6），真命題（7），真命題（8），雖課本中沒(méi)把它們作為定理出現(xiàn)，但探究的過(guò)程和結(jié)論可拓寬我們的視野，提高我們識(shí)別和應(yīng)變能力，同時(shí)也可快而準(zhǔn)應(yīng)對(duì)測(cè)試中有關(guān)平行四邊形的選擇和判斷類(lèi)型習(xí)題。

作者簡(jiǎn)介

李煥蘭（1964.2-），女，漢族，湖北，中學(xué)高級(jí)教師，武漢市中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克一級(jí)教研員，武漢大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生畢業(yè)，武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校教師，從教多年來(lái)，關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)的改革和學(xué)生的思維訓(xùn)練，致力于中學(xué)高效課堂、中學(xué)生數(shù)學(xué)心里健康、中考數(shù)學(xué)、中學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)的研究endprint