貝葉斯公式及其應用

曾皓泉

摘 要：貝葉斯公式是《概率統計》課程中非常重要的一部分，主要是對誘發結果的最可能原因進行概率推理，內容雖然簡單，但是在自然科學實際生活領域中卻應用廣泛。本文首先將介紹下貝葉斯公式及其涉及到的相關理論，然后將舉例分析其在醫學診斷，交通使用，誠信上的實際應用。

關鍵詞：貝葉斯公式 概率推理 廣泛

一、貝葉斯公式

定義1：設與是樣本空間中的兩事件，若P（B）>0，則稱

為“在發生下條件概率”，簡稱條件概率。

定理1：設B1，B2…Bn是基本空間的一個分割，即B1，B2…Bn互不相容，且UniBi=Ω，如果P（Bi）>0，i=1，2，…n，則對中任一事件，有上式稱為全概率公式。

定理2：設B1，B2…Bn是基本空間Ω的一個分割，即B1，B2…Bn互不相容，且UniBi=Ω，如果，則：

推導：

由條件概率的定義可得：

對上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式即得定理。

上式稱為貝葉斯公式。

二、貝葉斯公式的應用

（1）在交通上的應用

例1.老王每天去上班分別可以采用坐公交，坐地鐵，自己開車去，由于交通堵塞，采取三種方式遲到的概率分別是20%，10%，30%，一般情況下老王采用三種交通工具概率分別是60%，30%，10%。一天老王上班遲到了，問老王是自己開車上班的概率。

解答：

記：表示為“老王上班遲到”；B1表示“坐公交去上班”，B2表示為“坐地鐵”，B3表示為“自己開車”。

則由題意可得B1，B2，B3構成一個分割。且

于是由貝葉斯公式可得到老王自己開車去上班的概率為：

（2）在醫學診斷上的應用

例2.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今從男女比例為20：180的人群中隨機地挑選一個人，發現恰好是色盲患者，問此人是男性的概率大還是女性的概率大。

解答：

記A表示為色盲患者；記B1表示問男性，B2表示為女性；則由題意可得男性，女性構成一個分割，且：

于是由貝葉斯公式可得：

該色盲患者是男性的概率是：

該色盲患者是女性的概率是：

由于0.69>0.31，從而可得該色盲患者是男性的概率比較大。

（3）在誠信上的應用

例3.某學校辦公室甲，乙，丙一直公用一臺臺式電腦，由于三個人課題任務重，電腦一直處于被使用的狀態，據統計三個人平時用電腦的時間長度比率為5：3：2，由于甲，乙，丙的電腦水平不一樣，三個人用壞電腦的概率分別是0.3，0.4，0.5。現在電腦壞了，三個人都說不是自己弄壞的，問誰最有可能在撒謊。

解答：

記A表示為“電腦壞了的狀態”；

記B1表示為“電腦正處于被甲使用”，B2表示為“電腦正處于被乙使用”，B3表示為“電腦正處于被丙使用”。

則由題意可得事件B1，B2，B3，構成一個分割，且：

則由貝葉斯公式可得：

甲弄壞電腦的概率為：

乙弄壞電腦的概率為：

丙弄壞電腦的概率為：

由于0.41最大，從而可得甲最有可能在撒謊。

結語

由上可知貝葉斯公式確實很有用且用途很廣，本文只簡單舉了3個例子，想多了解者可下載些別的論文進行學習。

參考文獻

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]楊靜， 陳冬， 程小紅. 貝葉斯公式的幾個應用[J]. 大學數學， 2011， 27（2）：166-169.

[3]李國華. 貝葉斯公式的應用[J]. 牡丹江大學學報， 2011（7）：95-96.

[4]王麗. 淺析貝葉斯公式及其在概率推理中的應用[J]. 科技創新導報， 2010（24）：136-136.endprint