尋找自然底數(shù)e的來源

任浩然

摘 要：自然底數(shù)e在數(shù)學中有各種良好的性質，從指數(shù)函數(shù)到對數(shù)函數(shù)，再到兩者的導數(shù)，e都展示著其獨有的性質。那么，自然底數(shù)e究竟是怎么來的呢？e來源于一個數(shù)列的極限。

關鍵詞：自然底數(shù) 極限 獨有的性質

一、一個故事引發(fā)的思考

古代時候有一個吝嗇的財主，在借出一筆一年期的高利貸（借出一個金幣，利息也是一個金幣）時，他進行了以下思考：如果借款是按照半年期付利息的話，在半年后收到利息后，這筆利息又能產(chǎn)生利息。那么相比于原來的一年期付利息能夠在年底收獲更多的金幣，即收獲個金幣。同樣地，如果按照四個月付一次利息，就能收獲個金幣。也就是說，利息支付越頻繁，能夠收獲的金幣就越多。那么，是不是利息支付得足夠頻繁，就能夠收獲無窮多的金幣呢？

二、自然底數(shù)e的定義

根據(jù)古時候財主借金幣的故事，我們用數(shù)學方法來計算一下是不是能夠收獲無窮的金幣。

考察兩個數(shù)列和，其中，。那么，我們明顯能夠發(fā)現(xiàn)的是，對于任意的正整數(shù)n，都有，并且隨著n的增大，會越來越接近于1。

然而當我們來考察這兩個數(shù)列的單調(diào)性的時候，我們能夠神奇地發(fā)現(xiàn)，是一個單調(diào)遞增的數(shù)列，而是一個單調(diào)遞減的數(shù)列，接下來，我們將給出證明。

由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，并且當n逐漸增大，我們能發(fā)現(xiàn)和會無限接近，也就是說這兩個序列會有相同的極限，這個極限就被定義為自然底數(shù)，用字母e表示。

e是數(shù)學中最重要的常數(shù)之一，它是一個無理數(shù)，e=2.718281828459045…。

三、自然底數(shù)e的性質

e作為特殊的數(shù)學存在，有著其特殊的性質，尤其是在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)方面。眾所周知，的導數(shù)為，也就是說的導數(shù)就是它本身，那么這是為什么呢？

指數(shù)函數(shù)有一個特性：。那么，對于函數(shù)來說，假設c是常數(shù)，就有，即有。那么我們就能得到，對于特定的點，，令，就能得到。如果我們令，也即，那么就有，將用代換，那么我們就能夠得到。由于是一個常數(shù)，因此在這里我們能發(fā)現(xiàn)的是指數(shù)函數(shù)的導數(shù)就是它本身乘上一個常數(shù)，下面我們就需要來說明e就是那個特殊的能夠使得的值。

我們反過來考慮這個問題，已知的是，然后我們需要來尋找這個具有特殊性質的。我們運用最原始的導數(shù)的定義得到的是：

又因為，所以我們能得到：，于是我們就有：，如果我們令，并對進行反解，那么我們就能得到，因此我們證明了的導數(shù)就是它本身。

同樣地，在對數(shù)函數(shù)方面，也有很好的性質，即有。那這又是為什么呢？

根據(jù)導數(shù)的基本定義，我們能得到推導：

于是，我們就將高中所學到的與自然底數(shù)有關的特殊性質都進行了本質上的推導。

結語

自然底數(shù)e是一個很神奇的數(shù)，有許多良好的性質。從一個特殊的極限起源，到各種特殊性質在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中的應用，無不展示著其獨特的數(shù)學魅力。這就是數(shù)學的魅力所在！

參考文獻

[1]伍勝健.《數(shù)學分析》（第一冊）. 北京大學出版社，2009：53-55.

[2]何云英. 解讀自然對數(shù)的底數(shù)e[J]. 數(shù)學通訊：教師閱讀， 2010（5）：64-64.endprint