求數列通項公式方法的研究

王旭輝

1數列通項公式的概念

所謂的數列通項公式，就是指數列{an}的第n項與序號n之間的關系公式，其類似于函數問題中的解析式，通過通項公式，便可迅速求得任意一項的具體數值或者前n項的總和等，由此可見，求通項公式是解決數列問題的關鍵所在，因此，只有切實掌握各種數列通項公式方法，才能有效解決各類數列問題。

2數列通項公式的方法

2.1觀察法

觀察法指的是從橫向和縱向兩個角度來觀察目標數列的特征，橫向角度觀察各項之間的關系，縱向角度觀察各項與序號n之間的關系，其后將觀察所得的橫縱向規律進行整合，以此來得到數列的通項公式，總的來說就是對數列規律進行總結，一般適用于選擇或填空題型，流程可概括為觀察→概況→得出結論。

例如 已知數列{an}的前4項依次為11、102、1003以及10004，求an的值。

解：通過觀察可得：11=1+10，102=2+102，1003=3+103，10004=4+104，

由此可得an=n+10n。

2.2公式法

在數列教學中，等差數列和等比數列是最為常見的兩種數列形式，因而其也是解決數列問題的關鍵突破點，因此，學生必須牢牢掌握這兩種數列的相關基礎知識以及兩種數列形式之間的關系。通過將等差數列概念中的減號更改為除號，將通項公式中的加號更換為乘號，倍乘更換為乘方，便可得出等比數列的概念及其通項公式，而這也使得我們可以進行兩種數列形式性質的類比應用。

2.3歸納法

應用歸納法求解數列的通項公式一般分為三個步驟，依次是：第一，按照次序羅列出數列前面的幾項；第二，對數列前面幾項的結構規律進行分析，并對該數列的通項公式進行初步猜想；第三，運用歸納法對猜想進行證明。該種方法的關鍵點在于第二個步驟，即通過觀察和分析數列前幾項的結構規律，進而歸納出整個數列通項公式的結構規律，因此，羅列出來的觀察數列項不宜過少，否則難以進行通項公式的結構猜想。

例如 已知在數列{an}中，假設a1=1，an+1=[anan+1]（n∈N），求該數列的通項公式。

解：依次設n=1，2，3，

由此可得a2=a1/a1+1=1/1+1=1/2，

a3=a2/a2+1=1/2/1/2+1=1/3，

a4=a3/a3+1=1/3/1/3+1=1/4。

又∵a1=1=1/1

∴猜想可得該數列的通項公式為an=1/n（n∈N）。

（證明步驟略）

2.4待定系數法

該種通項公式方法一般適用于求解題型為an+1=pan+q（p，q均為常數）的遞推數列，即可先假設an+1-t=p（an-t），其后再設法求出參數t的值。

例如 已知在數列{an}中，an=2an-1+1（n≥2），其中a1=1，求該數列的通項公式。

解：設（an+x）=2（an-1+x），

由此可得an+1=2（an-1+1），

∴{an+1}為數列首項為a1+1=2，公比為2的等比數列，即an+1=2n，

∴該數列的通項公式為an=2n-1。

3結論

總而言之，通過考查數列通項公式的運用，既可有效了解學生對于數列知識的理解程度，又能進一步促進學生邏輯能力和變通思維的提高。因此，通過研究數列通項公式的方法，歸納總結其中的內在規律，能有效加強學生對于數列問題的解決能力，進而提升學生的發現、分析和解決問題的能力以及邏輯推理能力。endprint