關于胡克定律中勁度系數的分析

劉清揚

1引言

影響彈簧勁度系數的因素有很多，本文選取了彈簧原長、橫截面直徑和材質這三個因素探討了彈簧勁度系數的變化，并通過分析驗證了實驗結果的可靠性。

2實驗方案

彈簧的勁度系數計算公式如式（1）所示：

[F=kx] （1）

式（1）中k為彈簧的勁度系數（N/m），x為彈簧的形變量（m），F為彈簧的彈力（N），式（1）所示的等式即為胡克定律。

采用的彈簧為圓柱形，對變量進行逐一控制，每組實驗采用相同的砝碼，以焦利氏秤測量彈簧的勁度系數。各組實驗的參數如表1所示：

對比A1、A2的實驗結果可以得出彈簧長度對勁度系數的影響；對比B1、B2的實驗結果可以得出彈簧直徑對勁度系數的影響，需要說明的是，彈簧是由各種材質的絲線密繞而成的，這里所說的彈簧直徑是指整個彈簧的直徑，與彈簧絲的直徑不同；對比C1、C2的實驗結果可以得出彈簧材質對勁度系數的影響。

3結果分析

表1所示為勁度系數的實驗結果，A1和A2的實驗結果，A1和A2組實驗中采用的彈簧都是鋼絲制成的，彈簧的直徑都相同，但A1彈簧的長度約為A2彈簧的一半，經過測試后A1的勁度系數是A2的兩倍。B1組的彈簧直徑明顯小于B2組，但測試得到的勁度系數卻要大于B2組，當彈簧材質和原始長度相同時，彈簧的直徑越大，其勁度系數反而越小。當彈簧原長和直徑都相同時，不同材質的彈簧其勁度系數不同，如C1和C2組獲得的勁度系數，C1組所用的彈簧是用鋼絲制成的，C2組的彈簧是用銅絲制成的，從實驗結果來看，鋼絲制成的彈簧的勁度系數要大于銅絲。

通過上述實驗結果可以看出彈簧的勁度系數與彈簧的形狀和材質由密切的關系，形狀因素是指彈簧的外形、尺寸（包括原長、半徑以及彈簧絲的半徑）等，材質因素則是指制作彈簧的原材料，原料的眾多力學參數如彈性和剪切模量等都會對彈簧的勁度系數產生影響。對于常見的彈簧來說，往往是由各種材料的細絲密繞而成，彈簧的直徑往往遠大于細絲的直徑，綜合考慮各種因素后，這種彈簧的勁度系數可以表示為式（2）：

[k=Gr4/32nR3] （2）

式（2）中用于制作彈簧的材質的剪切模量用G表示，彈簧細絲的半徑用r表示，彈簧的橫截面半徑用R表示，彈簧匝數（有效匝數）用n表示。從式（2）中可以獲得與實驗結果一致的規律，即當其他變量固定時，彈簧的直徑越大，勁度系數越小，這與B1和B2組得到的結果一致；C1和C2組中使用的彈簧分別由鋼絲和銅絲制成，我們知道鋼絲的剪切模量要大于銅絲，因此根據式（2），前者的彈性模量要大于后者，與實驗結果吻合。

彈簧的原始長度L和彈簧匝數n有關，L與n滿足式（3）所示的關系：

[L=2rn] （3）

將式（3）代入式（2），得到如式（4）所示的關系式：

[k=Gr5/16LR3] （4）

從式（4）中可以看出彈簧的勁度系數k反比于彈簧原長L，即彈簧原長越短勁度系數越大，與A1和A2組的實驗數據吻合。

4結論

綜上所述，胡克定律中彈簧的勁度系數與彈簧的原長、彈簧橫截面直徑和彈簧材料有關，彈簧原長越短，橫截面直徑越小，制作彈簧的材料剪切模量越大，彈簧的勁度系數越大。endprint