簡析向量與其他數(shù)學知識的交叉運用

譚海峰

1引言

向量是數(shù)學量具有方向性的概念，此外向量本身含有坐標，正是由于向量的這兩個特點，如果將向量和其他數(shù)學知識交叉運用，會使解題過程大為簡化。本文選取了高中數(shù)學三個常見的知識點：平面幾何、函數(shù)、數(shù)列，分別闡述了向量這一“工具”與這三個知識點的結(jié)合和運用，為建立高中生“向量思維”提供了一定的參考。

2向量和平面幾何的結(jié)合

幾何圖形是向量的來源，將向量和平面進行交叉運用可以很方便的求解出許多問題。例如在△OAB中，坐標原點設(shè)為O，A點的坐標為（1，cosθ），B點的坐標為（sinθ，1），θ在（0，π/2]之間取值，對△OAB的面積求最大值。

設(shè)三角形OA和OB的夾角為α，向量[OA]的坐標為（1，cosθ），向量[OB]的坐標為（sinθ，1），△OAB的面積如式（1）所示：

[S?OAB=12OA?OBsinα=12OA?OB1-cos2α=12OA2?OB2-（OA?OB）2] （1）

將向量的坐標代入式（1）中可以得到△OAB面積的表達式，如式（2）所示：

[S?OAB=121+cos2θ（sin2θ+1）-（sinθ+cosθ）2=12sinθcosθ-1=12（1-12sin2θ）] （2）

由于θ的取值范圍為（0，π/2]，2θ取值范圍為（0，π]，因此sin2θ的取值范圍為[0，1]。當θ為π/2時，sin2θ等于0，此時△OAB的面積最大，為1/2。

向量與平面幾何的結(jié)合點在向量中數(shù)量積概念，利用這個向量知識點可以更方便的對平面幾何進行求解。

3向量和數(shù)列的結(jié)合

向量本身是帶有坐標的，將向量看作序列，此時就會與數(shù)列的相關(guān)知識結(jié)合。以下用具體實例進行說明。假設(shè)存在某一系列的向量[an]，這些向量都是非零的。其中[a1]的坐標為（x1，y1），[an]的坐標為（xn，yn），其中橫坐標和縱坐標滿足如式（3）所示的關(guān)系：

[xn=12（xn-1-yn-1）yn=12（xn-1+yn-1）] （3）

式（3）中n≥2，根據(jù)式（3），[an+1]可以表示為式4：

[an+1=12（xn-yn）2+（xn+yn）2=122x2n+y2n=22an] （4）

由式（4）可得[an+1]/[an]=[22]，也就是說[an]實際上是一個等比數(shù)列。

向量與數(shù)列的結(jié)合點在于如何將向量的相關(guān)知識和概念進行轉(zhuǎn)化，最終形成具有某一特性的數(shù)列，之后根據(jù)數(shù)列的定義進行求解。

4向量與函數(shù)的結(jié)合

向量在函數(shù)中的應用主要是利用式（5）所示的不等式對函數(shù)的最值進行求解：

[a-b≤a±b≤a+b] （5）

設(shè)存在一個函數(shù)，如式（6）所示，對該函數(shù)的最小值進行求解：

[y=x2-2x+5+x2+1] （6）

首先設(shè)向量[a]和向量[b]，這兩個向量的坐標分別為（1-x，2）和（x，1），函數(shù)和兩個向量的關(guān)系為y=[a]+[b]，根據(jù)式（5）所示，y滿足式（7）所示的不等式：

[y=a+b≥a±b=（1-x+x）2+（2+1）2=10] （7）

也就是說函數(shù)y的最小值為[10]，式（7）成立的條件是兩個向量必須是相同方向的，且兩個向量在同一條直線上，也就是說x滿足式（8）所示關(guān)系：

[（1-x）×1-x×2=0] （8）

此時x=1/3，即x=1/3時函數(shù)y取最小值[10]。

從上述分析中可以看出向量與函數(shù)的結(jié)合點在于構(gòu)造合適的向量，用構(gòu)造的向量表示函數(shù)。

5結(jié)論

綜上所述，向量在許多數(shù)學知識都存在交叉運用，這種價差運用的基礎(chǔ)其實就是向量的概念。在解題中如果能夠活學活用向量思維，可以將復雜的證明或求解過程簡單化，大大提高解題的速度。endprint