淺談高中三角函數學習的主要困難和原因分析

周奕彤

三角函數是基本初等函數之一，在高中數學中占有重要地位。本文將結合筆者自身的學習經驗，對高中三角函數學習的難點和原因進行分析，主要采取結合例題說明的方法，探討三角函數中的難點問題和易錯問題，從而在學習過程中突出重點，提高對三角函數難點問題的處理能力。

一、前言

三角函數是高中數學教學中的重點內容，與之相關的知識點比較多，并且所涉及到的公式也比較多。基于這樣的背景，要求我們在解題過程中，需要靈活運用相關概念和基本公式，構建數學模型，將問題轉化為我們能夠求解的形式，最終解出正確答案。但是在實際學習過程中，部分高中生由于對知識點掌握的不夠扎實，再加上缺乏練習，在三角函數習題方面存在著很多疑惑。針對這種情況，筆者覺得有必要對三角函數的學習難點及其原因進行深入分析，從而找到改善三角函數學習狀況的有效途徑。

二、高中三角函數的學習難點

（一）三角函數轉換問題

F（x）=Asin（ωx+φ）+b形式的表達式是一種比較復雜的三角函數題目，一般考察的是我們對三角函數基本性質的掌握程度。此外，解答相關題目需要對三角函數表達式進行化簡，通過整理找出相關性質，進而解出答案。在此過程中，通常要利用降冪擴角公式對三角函數表達式進行簡化，通過恒等變換，將其化解為f（x）=Asin（ωx+φ）+b的形式。

例題1 已知函數f（x）=4cosxsin（x+π/6）-1，求：①f（x）的最小正周期；②f（x）在[-π/6，π/4]上的最小值。

在求解此類題目時，首先要進行三角函數變換，題目中的f（x）=4cosxsin（x+π/6）-1可以通過恒等變換得到f（x）=2sin（2x+π/6），轉換后可以較為容易的得出f（x）的最小正周期為π。求解f（x）在[-π/6，π/4]上的最小值，當2x+π/6=π/2時取得最小值，即x=-π/6，f（x）min=-1。

（二）三角函數與二次函數的復合問題

三角函數和二次函數相關知識的融合在高中三角函數學習中也非常常見，盡管知識內容存在一定的互通性，但學習時卻是分步進行的，因此差異顯著。具體而言，二者的融合往往是將三角函數作為內涵數，而將二次函數作為外函數復合，或者將二次函數作為內涵數，將三角函數作為外函數再復合，以換元的方法構造復合函數，該方法涉及到“降冪擴角”，部分高中生對相關知識的掌握不夠牢固，必然帶來學習上的問題。比如題目：f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最小值和最大值。解析該題目，首先要對已知條件進行簡化，使其變為一個三角函數，再進行還原，以復合函數的解析方式完成解題。

（三）三角形相關問題

三角形相關問題是三角函數中最常見、最基本的問題，但由于三角形問題可能存在多個三角的復合或者三角形與圓形、梯形的復合，其復雜程度也會隨之提升，而不同三角形的性質也有差異。高中生在學習時，思路不夠開闊、知識掌握不牢，都會產生學習困難，如基本的三角形內切圓，三角形某一條邊上的高隨著切點的變化移動也會不斷改變，求其最大值、最小值和變化規律等問題。以上幾方面習題涉及到函數、集合、最值等知識，要求高中生牢固掌握基本概念和運算方式，一定程度上講，這也給知識點的學習、掌握帶來了影響。

三、高中三角函數難點問題及錯解的原因分析

（一）基礎知識點掌握不牢靠

基礎知識點掌握不牢靠是高中生進行三角函數學習、解題時出現困難和錯誤的主要原因之一。三角函數的解題帶有非常明顯的規律性，即一切圖形的變化均遵循基本的函數規律，計算方式也是相同的，也即通常所說的“萬變不離其宗”，比如基本的和差角公式，基礎公式為：cos（a+b）=cosacosb-sinasinb；cos（a-b）=cosacosb+sinasinb，兩個公式中，a為角A的對邊，b為角B的對邊，C則是斜邊，無論三角形怎么變化，所選角度有何種不同，計算都可以根據該公式進行。如果對相關知識掌握不牢，解題、學習時也就難以尋找到切入點和方式，自然就會產生困難、出現錯誤。

（二）題目涉及知識點多

高中三角函數知識點相對固定，但在題目中，各類知識卻是融合在一起的，教科書中的例題、基本的習題往往不具備這些特點，這意味著高中生如果不能有效掌握前后所學知識，學習、解題時也會出現困難。如前文所說的三角函數和二次函數的融合問題，題目為：f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最小值和最大值。該題目需通過“降冪擴角”解答，又涉及到復合函數、取值的區間，如果對題目稍加改動，還可能涉及到函數單調性，眾多知識點中，任意一個掌握不牢固題目就可能無法解答。這也是高中生能夠完成單一知識題目解析、無法進行多個知識點融合類題目解答的問題所在。

（三）變量關系難以確定

三角函數和其他函數相同，都會涉及到各類變量，如前文提到的三角形內切圓，三角形某一條邊的高取值會隨著切點的變化而變化，該題目中涉及到的兩個基礎變量為三角形某一條邊的高和切點，高的取值大小隨著切點的變化而變化，這是兩個變量的基本關系。在解題時，如果沒有把握這一要點，將高的取值與不相關的變量聯系到一起，所獲得的計算結果很大可能就是錯誤的。我們在進行學習、解題時，應注意對變量關系的把控。

（四）缺少整體性思維

對常見的高中三角函數題目進行分析，會發現一個基本規律，即各類題目往往融合了多個知識，這要求高中生在學習和解題過程中要具備基本的整體性思維，先分析題目涉及到的知識內容，再針對各項知識分別進行思考，尋找切入點。如某一題目涉及到高中知識的同時，還涉及到初中勾股定理等內容，就要求高中生站在整體的角度上先對題目進行拆分，之后具體進行解題。

四、結束語

綜上所述，三角函數學習是高中數學學習的重要組成部分，對其中的難點知識和易錯題目進行分析，可以幫助我們提高警惕，加深認識，牢固掌握相關的知識點，并在解題過程中采用恰當的方法，提高解題準確率。此外，我們應逐漸形成轉化思維和整體性思維，善于找到三角函數類型題的突破口，采用簡潔的方法得出正確答案。endprint