例談由遞推式求數列通項公式的常用方法

曹文韜

一、定義法

在通項公式的求解中，直接通過等差數列或者等比數列的定義來獲取結果的方法被稱為是定義法，此種方法可以在具有明顯數列類型的題目當中應用。如從數列的第二項開始，其后每一項減去其前一項所得到的數值全部相同，或者從第二項開始，其后每一項與其前一項的比例值相同，則可以利用定義法的方式進行通項公式的計算。

例1 已知等差數列[an]符合a3=7，a5+a7=26，并且sn為前n項和，求數列[an]的通項公式。

解：假設數列[an]的公差為d，由于a3=7，a5+a7=26，所以可以列入如下公式[a1+2d=72a1+10d=26]，通過化解能夠得出[a1=3d=2]，因此，最終的an=3+2（n-1）=2n+1。

二、公式法

如果已知數列前n項中的an與Sn之間的聯系，最終要想求得[an]數列通項an，則可以利用an=S1，（n=1），an=Sn-Sn-1（n≥2）進行求解。

例2 已知Sn代表數列[an]中的前n項和，并且滿足[sn=2an-1]，求數列[an]的通項公式。

解：當n=1時，a1與S1相等，帶入到公式中能夠得出[s1=2a1-1]，求得a1=1；當n≥2時，[an=sn-sn-1]，帶入到公式中為：[2an-1-2an-1-1=2an-2an-1]最終經過化簡能夠得出[anan-1=2]，因此，數列[an]的第一項為a1=1，從第二項開始以后為等比數列，且公比為2，所以為[an=2n-1]。在利用公式法進行解題時，應遵循an=S1，（n=1），an=Sn-Sn-1（n≥2）原則，根據題目的具體情況，通常情況下應對n進行分類求解，但如果能夠合并時一定要進行整合計算。

三、遞推式求數列通項公式

在利用遞推方法求取數列的通項公式時，主要可以采用公式間的變換方式解決，通常將已知數列向等差或者等比數列方面轉換，但是也不排除利用特殊轉換方法與特殊數列進行求解的可能。例如經常用到的遞推公式：[an+1=an+f（n）]。

例3 已知數列[an]中的幾項數值分別為[a1=12，an+1=an+1n2+n]，對數列[an]的通項公式進行求值。

解：根據題目中的所給條件能夠得出[an+1-an=1n-1n+1]，并且n的值為1到（n-1），將n的數值逐一帶入到上述公式當中，再進行累加之后能夠得到公式：[an-a1+a3-a2+…an-an-1=1-12+12-13+…（1n-1-1n）]，所以最終能夠得出[an=12]，將其帶入后能夠得出[an=32-1n]。在利用此種方式求通項公式時，可以將原本的公式轉變為[an+1=an+f（n）]的方式，再利用累加的方式求得[an]的數值。

此外，遞推式求數列通項公式的方法還有[an+2=pan+1+qan]的類型，這種類型的數列可以適用于以下題目的求解當中。

例4 已知數列[an]中a1的值為2，a2的值為5，并且[an+2-3an+1+2an=0]，求該式中數列[an]的通項公式。

解：通過該題中的已知條件，將a1與a2的數值分別帶入到已知的公式當中，能夠得出a1a2=5-2=3，因此，該式中后一項與前一項之間的公比為2，等比數列的首相數值為3，所以，后一項與前一項之間差值的表達公式為：[an+1-an=3?2n-1]。

在此結果的基礎上利用逐差法能夠得出：[an+1=an+1-an+an-an-1+…a2-a1+a1]將數值帶入后能夠得出[3?2n-1]，最終能夠得出[an=3×2n-1-1]。通過利用分解系數，可以將數列[an]轉變為特殊數列[an-an-1]的樣式進行求解。同時，通過對系數p的分解，能夠得到上述等比數列，假設[an+2-kan+1=h（an+1-kan）]，將其帶入到公式當中，能夠得出h和k的數值。

四、結束語

在做數列方面練習題時，應采用變換性思維方式，從多個角度進行分析，并且在課堂中認真聽取教師所講解的解題方法，對求數列通項公式的幾種常用方法熟練掌握，進而能夠在實際解題過程中，熟練應用。endprint