千篇一律與千變?nèi)f化

劉璐

著名建筑學(xué)家梁思成曾做過一篇文章《千篇一律與千變?nèi)f化》——音樂、繪畫、建筑之間的通感。文章闡明建筑和音樂、繪畫一樣既有千篇一律，又有千變?nèi)f化。著名數(shù)學(xué)家在他的文章《數(shù)學(xué)與文化》中提到?jīng)]有任何一門科學(xué)能像數(shù)學(xué)那樣澤被天下，它是人類現(xiàn)代文化的核心和基石，給數(shù)學(xué)賦予了極高的學(xué)術(shù)地位。這對(duì)于從事數(shù)學(xué)工作的我來說無疑是極大的激勵(lì)。數(shù)學(xué)不也和音樂繪畫建筑一樣既有重復(fù)，又有變化，既不顯得單調(diào)枯燥，又不會(huì)陷于散漫零亂嗎？新教材中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的編排無不體現(xiàn)出它既具有千篇一律的規(guī)律，又呈現(xiàn)千變?nèi)f化的性質(zhì)。所謂千篇一律即一千篇文章都一個(gè)樣。指文章公式化。也比喻辦事按一個(gè)格式，非常機(jī)械。出自南朝梁·鐘嶸《詩(shī)品》卷中：“張公雖復(fù)千篇，猶一體耳。”宋·蘇軾《答王庠書》：“今程試文字，千人一律，考官亦厭之。”這個(gè)詞在語法意義上是含有貶義的。而我在此使用的千篇一律則是為了說明數(shù)學(xué)知識(shí)所具有的規(guī)律性，便于我們?nèi)パ芯亢驼莆铡Ｔ儆星ё內(nèi)f化即形容變化極多。出自《列子·周穆王》：“乘虛不墜，觸實(shí)不硋，千變?nèi)f化，不可窮極。”《史記·賈誼列傳》：“千變?nèi)f化兮，未始有極。”對(duì)于具有強(qiáng)烈規(guī)律性的數(shù)學(xué)知識(shí)，亦如萬花筒的花瓣一樣會(huì)變化出各種不同的美麗圖案，數(shù)學(xué)知識(shí)的千變?nèi)f化是為了讓我們能舉一反三，是為了鍛煉我們的邏輯思維和分析問題解決問題的能力。所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不枯燥乏味，它的規(guī)律與變化，讓我們?cè)谝稽c(diǎn)一滴感受數(shù)學(xué)之美的同時(shí)，發(fā)展和鍛煉了我們的能力。以下是高一數(shù)學(xué)教材中一些具體的實(shí)例，讓它們來說說數(shù)學(xué)中的藝術(shù)之美。

一、高一教材中三角函數(shù)部分的正余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)

（1）正余弦函數(shù)圖像

圖像是千篇一律的曲線，它的跌宕起伏、波濤洶涌猶如鋼琴鍵盤上那一個(gè)個(gè)跳動(dòng)的音符，可它們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中卻都有著各自千變?nèi)f化的屬于自己的位置，正如不同的音律組合總可以帶給人們不一樣的藝術(shù)感受。

（2）性質(zhì)特征更是體現(xiàn)了它們的千篇一律與各自的千變?nèi)f化

相同的定義域：R

相同的值域：[-1，1]

相同的最小正周期：

唯美曲折的線條無論是旋轉(zhuǎn)還是對(duì)折都具有良好的對(duì)稱性，可他們卻擁有不同的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心。

三角函數(shù)無論從圖像還是性質(zhì)都無處不體現(xiàn)著它的規(guī)律性與變化性。掌握好三角函數(shù)并運(yùn)用到實(shí)踐中去，我們可以體會(huì)圖形變換帶給我們的美感，更可以感受到變形應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)帶給我們的愉悅。

二、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)圖像是平面直角坐標(biāo)系中簡(jiǎn)單的一條曲線，猶如懸于天際的一道彩虹，通過對(duì)稱變化，雖然曲線還是那條曲線，函數(shù)卻由指數(shù)函數(shù)變成了對(duì)數(shù)函數(shù)。

即使同為指數(shù)函數(shù)，同過點(diǎn)（0，1），底數(shù)a的變化，瞬間讓這道懸于天際的彩虹有了動(dòng)感。

指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的重復(fù)與變化，讓圖像變得生動(dòng)活潑。它和諧又統(tǒng)一，讓學(xué)生喜歡上這樣的圖案，更輕松的做到數(shù)形結(jié)合，很好的掌握了它們的圖像與性質(zhì)。

三、數(shù)列

如果說三角和指數(shù)對(duì)數(shù)體現(xiàn)了函數(shù)在圖形和性質(zhì)上的規(guī)律與變化，那么高一教材中數(shù)列部分則充分體現(xiàn)了數(shù)的千篇一律與千變?nèi)f化。

數(shù)列具有如此的規(guī)律性，數(shù)列各項(xiàng)出現(xiàn)的變幻莫測(cè)極大的挑起了學(xué)生的興趣，激發(fā)他們?nèi)ヌ骄俊３宋疑厦嫣岬降睦奂印B乘的推導(dǎo)方法，在這一部分還有錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消這一類方法變化頗有幾分巧奪天工的味道，我都和學(xué)生一起細(xì)細(xì)品味。

其實(shí)重復(fù)與變化的統(tǒng)一在數(shù)學(xué)上起著極其重要的作用。重復(fù)是和諧統(tǒng)一，全局完整，便于學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律，但不會(huì)千篇一律，單調(diào)枯燥，因?yàn)樽兓前倩R放，豐富多彩的。作為人類現(xiàn)代文化核心的數(shù)學(xué)，學(xué)生更要做到舉一反三，遷移變化。所以有著藝術(shù)之美的數(shù)學(xué)，攜著它的千篇一律和千變?nèi)f化，植入學(xué)生的思維，提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力。