例談函數與方程思想在解三角形中的滲透

于光香

摘要：函數與方程思想是中學數學重要思想方法之一，三角形是數學中最基本的圖形。在研究三角形的邊長和角度之間的數量關系中，需要運用函數與方程思想。本文從三個角度闡述函數與方程思想在解三角形這章中的滲透。

關鍵詞：解三角形；函數思想；方程思想

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）20-027-2

三角形是數學中最基本的圖形，解三角形這章的教學目標是指通過對任意三角形邊角關系的研究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題、和解決問題；方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程組與不等式組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

本章的知識內容體現了多種多樣的數學思想方法，本文著重談函數與方程的思想在解三角形中的應用。

一、整體把握，一覽眾山小

在數學教學中，教師通過教學滲透，讓學生能夠站在數學思想的高度去看待數學知識和找到解決問題的入口。在解三角形中，主干知識就是兩個定理，分別是正弦定理：asinA=bsinB=csinC和余弦定理a2=b2+c2-2bccosA。我們在得出定理后，重點要從方程的角度幫助學生理解定理的應用。這兩個定理中涉及到三個邊和三個角共六個量，只要知道其中三個獨立的量就能求出其余三個量，再推廣到一般情況：如果一個三角形已知三個條件，這個三角形就是確定三角形，其他量就能通過正弦定理、余弦定理和其他公式求出。如果題目中方程的個數少于變量的個數，解題的方向就是“消元”即減少變量的個數。如果變量最終減少到一個，這時我們就動用函數的思想，設未知量，尋求目標量與未知量之間的關系，即建立未知量和目標量之間的方程關系，然后用未知量表示目標量，問題就轉化為研究函數關系，運用函數思想來解決問題。

二、扎實訓練，處處有風景

在數學教學中，通過指導學生，讓學生切實能學到扎實的知識和基本技能，不能讓學生做數學題時沒有方向，也不能眼高手低。

例1：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，acosB=5，bsinA=12，求a。

分析：此題中顯現條件有兩個，未知量是四個，求a的確定值。解題的方向應該是“消元”，由4個變量減少到2個，用方程組繼續消元得到a。

解：由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得asinB=bsinA，又因為bsinA=12，所以asinB=12①，

由已知acosB=5②，

①2+②2得，a=13。

例2：在△ABC中，若a+2c=2b，sinB=2sinC，求cosA。

分析：此題中，未知量的個數達到了5個，因為目標量是cosA，是個比值，所以我們只需要知道a、b、c之間的關系即可求得。由正弦定理把角轉化為邊，變量減少到3個，方程有兩個，于是就能用其中一個量表示另外兩個量，從而余弦值水到渠成。

解：由正弦定理得sinBsinC=bc，于是b=2c①，

把①式代入到a+2c=2b，得a=2c②，

把①、②代入到cosA=b2+c2-a22bc，得出cosA=24。

在數學教學實踐中，學生遇到的困難比我們想的還要多。在例1中，學生會把sinB和cosB看成兩個變量，沒有理解sinB和cosB是角B的兩種表示方式。在例2中，學生遇到兩個方程三個變量時，找不到化簡的方向，“消元”的思想和方法都欠缺。例3中，學生化簡到c=a，得出三角形是等腰三角形，對解三角形了解不徹底。例4和例5是兩道綜合題，學生對如何選擇變量，如何找變量與目標量之間的路徑都有待于教師指導并實踐。在教學中，我們不僅要手把手教學生如何去想，如何去做，更要在課堂上留時間讓學生去想，去做，去表達。對學生解決問題過程中出現的任何細節問題，教師都不能一帶而過。我們要通過扎實的訓練，讓學生在做題時題題有收獲，處處有風景。

三、一題多解，條條大路通羅馬

在數學教學中，往寬處行，就是通過一題多解，拓寬學生的解題思路，給自己解題留有足夠的空間。

例3：在△ABC中，若b=2，c=1，B=45°，求a。

分析：這道題學生最容易想到的是用正弦定理，得出sinC，再得出角A，用余弦定理得出邊a。其實這道題最佳方法是用方程思想，用余弦定理直接就能求出a。

解法1：由正弦定理，得出sinC=12，C=30°或150°，

因為A+B<180°，所以C=30°，從而A=105°，

再由正弦定理，得出a=6+22。

解法2：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得a2-2a-1=0，

解得a=6+22或a=2-62（舍）。

例4：在△ABC中，若cosA=45，cosC=513，a=1，求b。

分析：題目中已知角A、C和邊a，解決問題的途徑1為：由正弦定理求出邊c，再由正弦定理求出b；途徑2為：由A+B+C=π，求出角B，再由正弦定理求出邊b。

解法1：因為cosA=45，cosC=513，角A、C是三角形內角，

所以sinA=35，sinC=1213，

由正弦定理，得出c=2013，

再由正弦定理，得出b=2113。

解法2：因為cosA=45，cosC=513，A+B+C=π，

得到sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=6365，

由正弦定理，得出b=2113。

在教學中，一題多解不僅能鞏固所學的知識，拓寬學生的思路，更能在解題過程中讓學生能夠增強自信。路寬，提供可選的余地大，學生才能放心大膽得去想。路寬，意味著有退路，有余地，學生才能有信心去攻克難題。endprint