經歷學習過程 體現數學理解

張秋爽

【內容摘要】：概念的學習和兒童的數學理解一樣，都是一個由淺入深、循序漸進的過程，數學理解的層次包括經驗性理解、體驗性理解、形式化（概念）理解和文化感悟理解。所以我們要給學生提供多樣化的學習環境，設計有價值的數學活動，滿足學生個性化的需求，讓學生經歷操作過程，經歷思考過程，經歷概括過程，經歷應用過程，體現對數學的真正理解。

【關鍵詞】：數學理解學習過程操作思考概括應用

近日，有幸聽了趙東老師執教的《圓錐的認識》和吳正憲老師執教的《圓錐的體積》。這兩節課是人教版數學六年級下冊第一單元的內容。“圓錐”在生活中有著豐富的現實原型：兒童喜歡吃的冰激凌、小時候玩的沙子堆、經典的建筑金字塔等。學生能觀察到形象的現實原型，從而激發探究的興趣，逐步理解和掌握圓錐的特征和圓錐的體積計算方法。對于這樣的概念教學，我們怎樣才就能讓學生獲得對數學的理解呢下面讓我們走進兩位老師的課堂，尋找答案。

一、讓學生經歷操作過程，體現數學理解

讓學生經歷操作過程：給學生準備多樣化素材，讓他們參與其中，經過動手操作感悟形象化操作與抽象的概念之間的內在聯系，從小事情、小發現中積累數學活動經驗，建立自己的數學現實，形成相應的表象。這里的操作還包括從運動的角度展現知識的形成過程。

在幾何圖形的教學中，我們經常說：點動成線，線動成面，面動成體。什么樣的平面圖形，旋轉一周掃過的空間是圓錐呢老師讓學生先想象再回答。

生1：我覺得長方形沿著長或者寬旋轉一周后形成圓柱；不可能形成圓錐，沒有尖。正方形也是如此。

生2：梯形和平行四邊形不論沿著哪條邊旋轉都不可能形成圓錐，所以我覺得是直角三角形。

生3：我也覺得只有直角三角形旋轉一周，形成圓錐的可能性最大。作為軸的直角邊就是圓錐的高，旋轉一周后，另外一條直角邊就是底面圓的半徑。

師：真的是這樣嗎請大家閉眼想象，一個直角三角形，以其一條直角邊為軸旋轉一周，掃過的空間形成一個圓錐體。請大家觀察課件演示，印證一下自己的想象。

接下來引發學生進一步思考：旋轉后形成的圓錐與原來的直角三角形有哪些聯系用運動的觀點認識圖形，體現知識間的內在聯系，在觀察、想象、推理和表達中，發展學生的空間觀念。

在學習《圓錐的認識》時，教師讓學生課前親手制作了圓錐體模型或把一個圓錐模型分解，學生對圓錐有了解，統一了認識：“圓錐有一個頂點，它的底面是一個圓；側面是曲面，由一個扇形圍成；圓錐底面周長與圓的周長、扇形的弧長必須相等；圓錐的頂點是扇形圓心角的頂點。”這樣做充分利用了學生制作圓錐體的經驗，讓學生在充分體驗的基礎上獲取對圓錐各部分名稱的認識。除此之外，教師再次讓學生制作一個圓錐體模型，材料是一個扇形和四個大小不等的圓形紙片，你覺得應該選扇形和哪個圓來組合呢

學生觀察了圖片，圖1、圖2的周長比扇形的弧長短，我們能想象：圍出來的圖形上邊大，下邊小；圖4的周長比扇形的弧長長，圍出來的圖形上邊小，下邊大；只有圖3的周長和扇形的弧長相等，圍出來的圖形正合適。

接下來討論判斷依據，小組合作利用學具進行驗證。最后進行總結：判斷扇形與圓能否正好組成圓錐，關鍵是看扇形的弧長是否與圓的周長相等。這種活動設計的價值在于：

把圓錐體及其展開圖進行比較，充分認識圓錐的特點，體現二維空間和三維空間的轉化；并讓學生經歷“觀察--想象--說理--動手驗證--總結”的過程，進一步強化組成圓錐的扇形，它的弧長與圓的周長相等的關系。

二、讓學生經歷思考過程，體現數學理解

讓學生經歷思考的過程：經驗+反思才能不斷內化，形成自己對概念的認識；加強交流才能形成智慧的碰撞，不斷豐富和完善自己的認知結構，在反思中積累思考的經驗，不斷總結方法性知識，感悟用數學思考問題的方式，體會數學的基本思想：抽象、推理和模型，更重要的是培養學生的空間觀念。

了解了圓錐的組成，知道了各部分名稱，圓錐的高也是一個重要概念。從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫作圓錐的高。為了弄清楚扇形和高之間的關系：在相等的圓中剪出三個大小不同的扇形（如下圖），用這三個扇形圍成圓錐的側面，三個圓錐的高一樣嗎

師：從圖中你看出了什么要解決什么問題

生1：這三個扇形是從同樣大小的圓中剪下來的，三個扇形的半徑相等，我感覺三個圓錐的高也相等。

生2：我覺得三個圓錐的高不相等。

師：這是大家的猜想，小組合作，動手操作驗證一下，說說你的發現。

（過了一會兒，學生有了答案。）

生3：我們小組通過操作，得出扇形的半徑和圓錐的高沒有一一對應的關系。

生4：扇形的半徑并不是圍成的圓錐的高。

生5：我們最初的想法是扇形的面積越大，圍成的圓錐的高也就越大，實際與之相反。

師：你的意思是說：扇形的半徑并不是圓錐的高；在半徑相同的情況下，扇形的面積越大（弧長越長）高越短，面積越小（弧長越短）高越長。

這個活動中，學生的猜想是有“根據”的：半徑相等，高就相等。但通過操作驗證發現自己的猜測與事實不符，使學生產生認知沖突，學生會帶著極大的興趣探究其原因，最終深刻地認識到扇形的半徑與圓錐的高不存在對應關系。此環節學生經歷觀察、猜測、推理、實驗、驗證、交流等數學活動，一方面強化了對高的認識，另一方面也極好地發展了學生的空間觀念，積累了數學活動經驗。endprint

三、讓學生經歷概括過程，體現數學理解

讓學生經歷概括的過程有多種途徑。一是經歷“情境引入—動手操作—抽象概念”的過程；二是遵從“多個例證—變式、反例—抽象概括”的步驟，三是按照“認知沖突—澄清、否定—抽象概括”的順序，四是從“猜想—驗證—抽象概括”的環節等。

學習《圓錐的體積》計算方法時，先讓學生思考圓錐的體積與什么有關猜一猜體積公式是什么操作之后進行反思，與自己之前的猜想為什么不同圓錐的體積為什么和等底等高的圓柱有關在反思中積累思考的經驗。

在學習圓錐的體積時，通常情況下，老師讓學生往等底等高的圓柱里倒水、倒沙子，為什么不往其他的立體圖形里倒呢是呀！書上是這樣說的，教師就順水推舟了，為什么呢在上這節課時，讓學生先思考：以前我們學習平面圖形的面積、立體圖形的體積時都是怎樣推導計算公式的

生1：學習平行四邊形的面積時把它通過割補轉化成長方形，根據等積變形找到它們之間的關系，得出平行四邊形的面積。

生2：學習圓柱的體積時把它轉化成近似的長方體，就推導出了圓柱的體積。

師：其實，以往平面圖形的面積、立體圖形的體積一般情況下是通過轉化為已學圖形的面積、體積來學習新知識的。那么對于圓錐的體積的學習，你認為和以前學習的哪個立體圖形有關系

生3：我覺得圓錐的體積和圓柱的體積有關系，和長方體、正方體沒關系。

生4：我也是這樣認為的，因為它們的底面是相同的圓。

師：那你們猜一猜圓錐的體積應該怎樣計算呢

生5：用底面積高。

生6：不可能是底面積乘高，肯定比這個乘積小。

師：那你感覺是多少呢

生6：我感覺可能是底面積乘高的一半。

生7：我也是這么認為的。因為圓柱是長方形或正方形沿著一條邊旋轉360°得到的；而圓錐是直角三角形其中一條直角邊旋轉360°得到的，直角三角形是長方形的一半，所以體積也應該是一半。

師：好！既然大家都同意，我們就試一試。圓錐和什么樣的圓柱有關系體積之間又有什么關系

老師準備了一些圓柱，有等底不等高的，有等高不等底的，有等底等高的，還有既不等高也不等底的。學生開始嘗試，在倒水過程中，有的圓柱和圓錐之間沒有關系；有的正好能夠倒3次，就能把圓柱倒滿。于是從正好能夠倒3次這個數據，思考什么樣的圓柱和圓錐有這樣的關系

每個小組親自嘗試后，得出結論，知道了為什么要往等底等高的圓柱里倒水，不往長方體的容器中倒水的原因，積累了數學活動經驗和思考問題的經驗。在這個過程中，有以下四個方面的特點：

⑴學生的操作是有需求的是猜想后想獲得正確結果的好奇，此時學生的操作驗證不再是盲目的：操作是基于動作表征，所有的操作是為了概念的形成，為了讓學生逐步形成表象表征和語義表征做基礎，使學生既知其然又知其所以然。

⑵學生理解了轉化的方法：所有的平面圖形的面積都是轉化成已學過的圖形來推導計算方法的，立體圖形的體積也不例外。

⑶結論的形成有邏輯層次，不是直接對應的結論的達成，真正讓學生經歷知識的形成過程，把“原來的等底等高的圓柱和圓錐有關系這一最終的結果”分成三個層次：圓錐的體積和哪種立體圖形的體積有關圓錐的體積和什么樣的圓柱有關圓柱的體積和等底等高的圓錐有怎樣的關系層層遞進，最終聚焦到要解決的問題，這種層層縮小包圍圈，篩選排除的方法是數學常用的方法。

⑷學生在知識遷移的過程中能不斷糾正自己的認知偏差：圓柱是由長方形的長或寬旋轉一周得到的，圓錐是由直角三角形的其中一條直角邊旋轉一周得到的，有一大部分學生猜圓錐應該是和它等底等高的圓柱體積的二分之一。通過操作，使學生糾正自己的認知偏差，體會操作對于結論正確與否的價值性。

這就是帶著學生從頭到尾地思考問題，從問題出發，問題引領需求，問題引領思維，進而解決問題。給學生提供多樣的學習素材，讓他們在不斷嘗試、篩選排除中獲得正確的認知，積累思考經驗，并不是一味追求簡潔和正確的結果。讓學生在過程中體驗思考的快樂，形成解決問題的策略，達到對數學的理解，做到知其然又知其所以然。

四、讓學生經歷應用過程，體現數學理解

讓學生經歷應用的過程：學生對新概念掌握得如何，評價的標準不是學生能記憶相關的概念，而是在新情境中能夠遷移，應用所學知識解決實際問題，積累應用的經驗，感受數學的價值性。

學習了圓錐的特征之后，給學生提供生活中的圓錐。在自然界中有許多人為制造和自然形成的圓錐形物體。如沙子自然下落總會形成一個圓錐體的沙堆，其中還蘊含著深刻的道理呢！

教師準備一罐沙子，使它慢慢地從空隙中自然下落到桌面上，形成一個越來越高的圓錐形沙堆。像這樣沙子顆粒自然下落，不久就會形成一個自然圓錐體，其中錐體的錐角為52度，這個角度就是自然塌落現象的極限角。

在生活中，我們常常會遇到一些自然形成的圓錐體，如糧堆、土丘等，它們的錐角都趨近于52度，因為在自然狀態下錐角52度是最穩定的角，這是錐角52度普遍地存在于自然界的緣故。人們常常利用錐角52度的這一性質制造有52度角的各種物品。

金字塔幾千年穩固地屹立在埃及大地上，從建筑力學上講它有兩個忠實“保鏢”——52度“角”和方錐體的“形”。金字塔面與面之間的角度是51度50分9秒，這與有“自然塌落現象的極限角和穩定角”之稱的52度角相差無幾，而52度角被認為是最穩定的角，這說明金字塔是按照這種“極限角和穩定角”來建造的。

兒童的數學理解是一個由淺入深、循序漸進的過程。數學理解包括經驗性理解、體驗性理解、形式化（概念）理解和文化感悟理解。所以我們要給學生提供多樣化的學習環境，設計有價值的數學活動，滿足學生個性化的需求，只有經歷過程，習得方法，滲透思想，才能加深兒童對數學的理解，從而讓更多的兒童覺得數學有趣、好玩、有用、有價值。endprint