基于數學活動的抽象策略探析

趙瑞生

摘要：“抽象”是數學的本質特征之一，它既是數學教學中常見的思維活動，也是數學活動中最基本的思維方法。針對具體的學習內容，引導學生在體驗中抽象、在操作中抽象、在比較中抽象、在探究中抽象、在“創新”中抽象等，長期訓練，不僅有利于學生掌握數學知識、學會抽象的方法，還將有助于數學素養的提升。

關鍵詞：數學活動抽象創新策略

“數學教學不能停留在直觀和操作的水平，必須發展到‘形式化階段，在抽象的層次上思維?！盵1]數學中的抽象指的是“抽取事物在量的關系和空間形式等方面的本質屬性。”[2]“抽象”是數學的本質特征之一，它既是數學教學中常見的思維活動，也是數學活動中最基本的思維方法。不僅“數學知識”的形成依賴于抽象，從歷史的角度來看，數學的發展也是人類不斷抽象的結果。在小學數學教學中，結合具體的內容，設計體驗、操作、比較、探究、“創新”等活動，引導學生經歷抽象過程，不僅能獲取抽象的數學知識，還將學會如何抽象以及感悟數學抽象的基本特征，促進數學素養的發展。

一、在體驗中抽象

體驗是指學生在親身經歷的活動中獲得的數學理解、情感體驗以及生成新意義的過程。長期以來，我們的數學教學比較多地停留在知識教學的層面，數學知識只是作為一個符號留在學生的記憶深處，而沒有引起學生強烈的情感體驗和內在感受。走進教室的學生不是一張白紙，他們在生活中已經積累了一些關于數學的知識和初始經驗。盡管這些“初始經驗”可能“模糊、膚淺、零散、混亂”，甚至可能還沒有明確的數學意義，但卻是學生進行數學思考不可或缺的基礎。設計數學體驗活動，可以嘗試從學生的“初始經驗”入手。因為學生對熟悉的內容會感到親切，接下來的學習就會覺得有趣并樂于接受挑戰。

如教學“分數的初步認識”（把一個蛋糕平均分為2份，每份是它的二分之一）時，可以先讓學生用圓片代替蛋糕折一折、畫一畫，接著讓學生演示。演示中，會出現兩份一樣大或者一份大一份小的情況。再讓學生解釋為什么這樣操作，你認為哪種折法是對的在比較、辨別中，學生理解了“平均分成2份”的意思是分成的兩份要一樣大。這兩份分別叫作“一等份”“一等份”，合起來就是“兩等份”，其中的一等份占兩等份的二分之一。這就是把一個蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一的數學含義。

小學生由于受到年齡特征和知識水平的限制，往往不能參加“純抽象”的數學活動，通常要借助有趣和有數學味的已有經驗，借助“直觀”進行“抽象”。本例中，學生經驗中相等的“半個”“大半個”“小半個”是在生活中積累起來的。通過“折一折”，認識活動本身與學生的原始經驗發生了關聯，在好奇心、求知欲的參與下，經驗被激活，學生基于自己的理解表達出了心中的二分之一。在“辯一辯”環節，學生的情感與思維更是介入了對這個知識的理解，有同學會發現自己的錯誤并及時改正，主動吸納別人的方法?；顒拥慕Y果，除了收獲對所學知識產生的情感體驗外，還生成了對二分之一的理解。錯誤的原始經驗得到改造，成為同化新知的基礎。學生在新的基礎上，逐步理解了諸如三分之一、四分之一、五分之一等的含義，此時抽象“分子”“分母”的意義，初步認識分數。

二、在操作中抽象

“兒童的智慧集中在指尖上?！睂W生在操作時，手指間的觸覺產生的刺激能迅速傳遞給大腦，引起大腦的興奮，從而產生思考的愿望。操作后，要求學生離開具體的實物，腦中把剛才的操作過程回憶出來，根據操作中獲得的具體經驗和形成的表象，進行分析、綜合、比較等思維活動，并及時抽象，獲取數學知識。

如學習“長方形的面積計算”時，我首先安排操作：用幾個1平方厘米的正方形擺出3個不同的長方形，并填寫下表。

然后引導學生思考這幾個問題：長方形的長和寬與什么有關系小正方形的個數與什么有關系小正方形的個數與長方形的面積有什么關系

接著，安排第二次操作：用1平方厘米的正方形量出下面長方形（長5cm、寬3cm）的面積并交流拼擺的方法。依次交流：全部擺滿，每行擺5個，擺了3行，擺了15個小正方形，面積是15cm2。不擺滿，第一行擺5個，擺3行，面積是15cm2。不用擺，直接在腦子里想擺的過程：長5cm，一行可以擺5個；寬3cm，擺3行；面積是15cm2。比較三種方法，可以得出：不用親自去擺，只要在腦子里想擺的過程，就可以推算出長方形的面積。

最后，讓學生推算長方形的面積。如長12分米，寬8分米；長8米，寬6米。交流推算過程?？梢赃@樣想：根據長是（），知道每行擺（）個；根據寬是（），知道擺了（）行；面積單位的個數有（）個，長方形的面積是（）。在此基礎上，總結長方形的面積計算方法。

抽象是“過程的內化、壓縮到對象化的轉變過程”。“過程的內化”是一個操作過程。本例中，通過第一次操作，發現三組關系：長方形的長和寬與每行擺的個數、擺的行數的關系；小正方形個數與長和寬的關系；長方形的面積與長和寬的關系?！皦嚎s”是把熟悉的操作過程轉化為一種心理操作，可以離開實物進行。通過第二次操作，發現可以“在腦子里想擺的過程”：知道長是幾，就知道每行擺幾個；知道寬是幾，就知道可以擺幾行，求面積單位的個數可以借用“長寬”算出來?！皩ο蠡眲t是徹底擺脫具體實物的限制，發現了數學現象背后隱藏的規律（在此即長方形的面積計算公式），從整體上把過程的實質抽取出來。

三、在比較中抽象

有比較才有鑒別。比較是區別對象的相同和相異時常用的方法。運用比較的方法不能僅僅局限在同類對象或某一對象的不同側面，不同類對象之間也可以進行比較。教學中，教師創設富有挑戰性和探索性的問題或情境，引導學生進行比較，既可以促進學生深度理解和掌握知識，還能促進學生思維品質的發展。endprint

學生通過自主探索得到的方法是個體的“創造”，這樣的學習成果既包含個體對數學的理解，更體現了可貴的探索因子，但個體的成果還需在比較中優化。第一次比較，各種算法在交流中顯現各自的特點。第二次比較，會發現各種算法的長處與不足，會發自內在地覺得“通分”方便，自覺進行算法優化。有了這樣的體驗過程，在計算中就會主動使用“通分”的方法。第三次比較，會發現各種加減法計算的本質相同——都是“相同單位的數相加減”。此時的例題教學已經從單一的異分母分數計算深入到探索已學過的所有加減法之間的內在聯系，在掌握新知的同時更加著力于培養學生思維的深刻性。

四、在探究中抽象

“猜想—驗證是探究教學的核心成分?！碧骄坑袥]有方向以及能否持續進行，關鍵在于能不能提出假設（猜想）。如果能提出解決問題的假設，探究就會進行下去，否則，探究就無從進行或陷入盲目的“嘗錯”活動。因為有了假設，就會形成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態，就能激發學生的認知沖動和創造性思維，學生就會針對假設搜集資料、尋找證據，開展驗證假設的活動，對各種假設做出合理解釋，直至找到問題的答案。

如教學“3的倍數的特征”。由于已經學了2和5的倍數特征，受思維定勢的影響，學生自然認為3的倍數的特征也和個位上的數字有關。因此，做出類比猜想：“個位上是0、3、6、9的數是3的倍數”。舉例驗證，發現猜想是錯誤的，同時也可以得出結論：不能僅憑個位上的數字來判斷一個數是不是3的倍數。那又該從什么角度思考呢學生產生了新的認知沖突。此時，可以安排如下的教學過程：（1）猜想：出示百數表，按順序找出3的倍數并圈出來。自己觀察，大膽猜想3的倍數有什么特征。（2）交流：組內交流、小組匯報，得出結論：各個數位上數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數。（3）驗證：百以內3的倍數有這樣的特征，百以上的數呢引導學生想出驗證的方法，在小組內對猜想進行驗證。（4）辨析：不是3的倍數的數會不會也有這樣的特征（5）總結：各個數位上數字之和是3的倍數，這個數一定是3的倍數。經歷上述過程，學生不僅學到了數學知識，還在不知不覺中學習了科學的探究方法，獲得類比可能無效、碰壁后需要改變策略等的寶貴經驗。

“2和5的倍數”的特征和“3的倍數”的特征真的沒有聯系嗎為什么判斷“2和5的倍數”只要看個位而判斷“3的倍數”卻需要看各數位上數字之和呢因為一個整十、整百、整千數一定是2和5的倍數，如一個三位數472，可以寫成：1004+107+2，1004+107一定是2和5的倍數，所以只要看個位上的數字。472=1004+107+2=994+97+（4+7+2），994+97一定是3的倍數，而（4+7+2）就是各數位上數字之和。如果一個三位數用100a+10b+c表示（想想為什么），你會推理嗎如果是四位數呢

根據“2和5的倍數”的特征類推出“3的倍數”的特征，原本容易產生負遷移，卻因深究其內在本質而聯系起來，這樣探究的價值在于引導學生透過表面看到知識的內在規律，經過這樣的感染與訓練，將促進學生認識數學的理性特征。

五、在“創新”中抽象

“創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終”。學生與生俱來就有探究的興趣和愿望，因而結合具體的學習內容，引導學生創新符合學生個體內在的發展需要。數學學科特有的直觀與抽象、邏輯的嚴密、廣泛的運用，為學生發揮潛能、進行創新提供了廣闊的空間。因此，數學教學要喚醒學生固有的天性，以教學創新帶動師生關系、學習方式等方面的實質性變革，引導學生經歷“再創造”的過程，真正獲得富有生命活力的數學知識，將知識的獲得過程和生命的提升過程協調起來，讓每一個學生的自由個性獲得可持續性發展。

如教學“兩位數乘一位數”，首先呈現情境：湖面上飛過3隊大雁，每隊12只。一共有多少只學生列出算式123后，讓學生先用小棒擺一擺，再說說可以怎樣算。因為小棒操作直觀形象，突出了計算原理，所以學生會有如下的算法。方法1：12+12+12=36；方法2：3個2是6，3個10是30，合起來是36；方法3：23=6，103=30，6+30=36。這三種不同的想法之間是相互聯系的，為接下來理解豎式計算的過程做好了鋪墊和準備。

接著，要求學生把這樣的想法寫成豎式。學生通常會這樣寫：

學生解釋每個豎式的意義后，提出新的要求：計算是有一定速度要求的，寫三個豎式很麻煩，能不能把它們合并在一個豎式里

解釋豎式2每一步的意義，著重討論“+”能不能省去不寫。因為寫“+”表示求和，“+”省去不寫，大家也明白算的是加法，所以“+”可以省去。

進一步指出：“0”也可以省去不寫。因為第二步算103=30，可以看成1（個十）3=3（個十），所以“0”省去不寫。但是，“3”必須寫在十位上。這樣就把“兩位數乘一位數”變成了兩次“一位數乘一位數”，一次是23，另一次是1（個十）3，方便計算。

在此基礎上，觀察簡便豎式，抽象概括計算方法。先用一位數乘兩位數的個位，積的末尾寫在個位上；再用一位數乘兩位數的十位，積的末尾寫在十位上。按照這個步驟演算就能得到計算的結果。經歷這樣的學習過程，學生不僅理解了兩位數乘一位數計算法則的推導過程，還經歷了一次從已知到未知，從特殊歸納出一般的抽象體驗。

獲取數學知識需要抽象，學會抽象的方法更要融入到具體的數學知識的學習過程中，經過長期訓練，學生將逐步獲得“抽象”這一數學學習的法寶，實現數學素養的提升。

參考文獻：

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