“設而不求”

陳金華

摘要：設而不求是數(shù)學解題中的一種很有用的手段，采用設而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運算，從而達到準確、快速、簡捷的解題效果。本文將對設而不求的常見類型加以歸納，以供借鑒與參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學解題；設而不求；舉例

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）20-051-1

一、整體代入，設而不求

在解決某些涉及若干個量的求值問題時，要有目標意識，通過虛設的策略，整體轉(zhuǎn)化的思想，繞開復雜的運算過程，可使問題迅速得到解決。

例1已知等比數(shù)列{an}中，Sm=16，S2m=64，求S3m。

解：設公比為q，由于S2m≠2Sm，故q≠1，

于是a1（1-qm）1-q=16①a1（1-q2m）1-q=64②，

②÷①得1+qm=4，則qm=3，

所以S3m=a1（1-q3m）1-q

=a1（1-qm）1-q（1+qm+q2m）

=16×（1+3+32）

=208。

二、轉(zhuǎn)化圖形，設而不求

有些代數(shù)問題，通過挖掘題目中隱含的幾何背景，設而不求，可轉(zhuǎn)化成幾何問題求解。

例2設a、b均為正數(shù)，且a+b=1，求證2a+1+2b+1≤22。

證明：設u=2a+1，v=2b+1（u>1，v>1），u+v=m，

則u、v同時滿足u+v=mu2+v2=4，

其中u+v=m表示直線，

m為此直線在v軸上的截距，

u2+v2=4是以原點為圓心，2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一部分圓弧（如圖），顯然直線與圓弧相切時，所對應的截距m的值最大。

由圖易得mmax=22，

即2a+1+2b+1≤22。

三、適當引參，設而不求

恰當合理地引入?yún)?shù)，可使解題目標更加明確，已知和欲求之間的聯(lián)系得以明朗化，使問題能夠得到解決。

例3已知對任何滿足（x-1）2+y2=1的實數(shù)x、y，如果x+y+k≥0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。

解：設x=1+cosθy=sinθ（θ∈R），則

g（θ）=x+y+k

=sinθ+cosθ+1+k

=2sin（θ+π4）+1+k

≥-2+1+k，

令-2+1+k≥0，得k≥2-1。

四、巧設坐標，設而不求

在解析幾何問題中，對于有關(guān)點的坐標采用設而不求的策略，能促使問題定向，簡便化歸，起到以簡馭繁的解題效果。

例4設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，求證：直線AC經(jīng)過原點O。

證明：設點A（2pt21，2pt1）、B（2pt22，2pt2），則點C（-p2，2pt2），

因為AB過焦點F，

所以2pt1·2pt2=-p2，

得t1t2=-14。

又直線OC的斜率kOC=2pt2-p2=-4t2=1t1，

直線OA的斜率kOA=2pt1-02pt21-0=1t1，則kOC=kOA，

故A、O、C三點共線，即直線AC經(jīng)過原點O。

五、活用性質(zhì)，設而不求

解題過程中，不斷變換觀察角度，類比方法、聯(lián)想內(nèi)容，明確最終目標，經(jīng)過巧妙構(gòu)造，活用性質(zhì)，可直達目標。

例5求證1n+1+1n+2+…+12n>1324（n≥2，n∈N*）

證明：設xn=1n+1+1n+2+…+12n-1324，

則xn+1=1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12n+2-1324，

由xn+1-xn=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2>0可知：數(shù)列{xn}為單調(diào)遞增數(shù)列。

又x2=13+14-1324>0，

則xn>0（n≥2，n∈N*），

即1n+1+1n+2+…+12n>1324（n≥2，n∈N*）。

六、恒等變形，設而不求

某些看似十分復雜的運算，經(jīng)過巧妙轉(zhuǎn)換，恒等變形，使運算對象發(fā)生轉(zhuǎn)移，起到意想不到的效果。

例6求cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17的值。

解：設M=cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17，

N=sinπ17sin2π17sin3π17…sin8π17，

則MN=sinπ17cosπ17·sin2π17cos2π17·…·sin8π17cos8π17

=128sin2π17sin4π17…sin16π17

=128sinπ17sin2π17…sin8π17

=128·N，

而N≠0，故M=128=1256。

以上例題中，方法多樣，其中例1可以用構(gòu)造法，例2設參法，例3幾何法，例5逼近法，例6補項法，速度和準確度比“設而不求”更方便。但是，“設而不求”的處理，可以打開學生的一道心扉，從而轉(zhuǎn)變他們的思維和計算方式，為后面的數(shù)學學習增添無窮的動力和樂趣。endprint