談談常微分方程解的存在唯一性定理的教學

羅勇

摘 要：本文以高等學校常微分方程解的存在唯一性定理的教學為例，闡述高等學校數學教育，提高教學效率和效果的可能的途徑和應該注意的問題。本文的觀點主要基于作者親身的教學經驗和總結，同時力圖使本文的教學觀點和建議具有一般性和廣泛的意義。

關鍵詞：高校數學教育；常微分方程基本定理；教學方法

在各高校的許多本科專業，如數學，物理，計算機，經濟與管理，工科等在大二或大三的時候都會開設常微分方程這門課程。筆者從事經濟與管理學院金融專業的常微分方程的教學工作已有兩年，今年已經是第三次主講這門課程了。因為對這門課程積累了較多的教學經驗，難免心中有一些感悟，不發不快。今天就來簡單講講這門課程其中的一個章節：常微分方程解的存在唯一性的教學的一些經驗體會，算是對自己教學經驗的小結，希望能夠啟發自己和讀者。

筆者比較了現在國內幾本主要的常微分方程教材，比如復旦大學出版社出版，張曉梅教授等人主編的《常微分方程》； 高等教育出版社出版，東北師范大學微分方程教研室主編的《常微分方程》以及高等教育出版社出版，北京大學丁同仁教授等人編寫的經典教材《常微分方程教程》之后發現，不同的教材在編寫常微分方程解的存在唯一性定理的時候，選材是大同小異的，幾乎都以Picard存在唯一性定理為主，兼顧著介紹一下Euler的解的存在性定理。但是由于不同的教材假想的受眾不太一樣，各個教材還是會有一些差異。

常微分方程在高校的所有數學課程中，總的來說是一門比較簡單的基礎專業課，但是它又為應用高等數學和線性代數來解決很多實際問題，提供了一個很重要的例子。因此筆者認為它具有很獨特的地位。尤其是在解的存在唯一性定理的講解中，提供了一個全方位鍛煉大學生數學思維能力的機會。筆者接下來就來展開說明為什么是這樣。

Picard存在唯一性定理是說，如果方程的右端函數f（x，y）在以（x_0，y_0）點為中心，長a寬b的矩形區域上連續，并且關于y變量在該區域上滿足Lipschitz連續性條件，那么常微分方程的初值問題存在唯一的解，其中解的存在區間在a和b除f在矩形區域上的最大值的商中取小。定理的證明非常漂亮，先是把方程轉化為和它等價的積分方程，然后對積分方程做Picard迭代，定義出來一個函數序列，再證明這個函數序列在定理的區間上一致收斂到積分方程的解，從而證明了微分方程解的存在性。唯一性的證明可以用一種在存在性的證明中反復用到的迭代估計的方法，也可以通過證明Bellman引理得到，兩個證明都是非常簡潔漂亮的。其中用Bellman引理的證明更復雜一些，但是由于Bellman引理的重要性，這個證明方法也是值得詳細介紹的。

要提到的是，除了用Picard迭代的方法證明解的存在性之外，還可以用壓縮映射不動點定理來進行證明。不動點定理的證明方法可謂是高屋建瓴，其論證非常簡短，其美妙難以形容。但是在建立不動點定理的過程中需要引進較為抽象的距離和完備性的概念，需要學生進行一些適應。我覺得這個證明方法可以介紹性的給學生講解，但是對于數學系的學生，這個證明是完全可以理解的，應該進行詳細的講解。

從事數學研究的時候，我們會知道，一個定理的得出，其假設是非常重要的。不同的假設得到不同的結論。假設的強度也影響到結論的強度。在大學數學教育中，數學定理與其假設的這種關系，我們往往強調的不夠，使得學生的數學素養有一定程度的缺陷。想要加強這種教育，在講解常微分方程解的存在唯一性定理的時候，就是一個極好的機會。因為我們知道Picard解的存在唯一性定理中，解的唯一性實際上就很依賴于f（x，y）關于變量y是Lipschitz連續的這個假設。因為Euler存在性定理告訴我們，要得到微分方程解的存在性，假設f（x，y）是連續的就夠了，但是Euler解一般來說不是唯一的。在數學研究中，如何在盡可能弱的假設下得到同樣的結論也是核心的努力方向之一，我們也應該在大學數學教育中強調這一點。比如在常微分方程解的存在唯一性定理中，我們就可以問為了仍然得到解的存在唯一性，f（x，y）的假設是否可以減弱。這方面的嘗試在丁同仁教授等人的教材中就有，我們在教學的過程中亦應該把它作為一個重要的方面進行強調。

以上就是筆者近年來從事常微分方程這門課程的教學之后，在比較了若干主要教材，結合現場教學體驗之后對常微分方程解的存在唯一性定理的教學應該注意和強調的一些方面，進行的一個小結。教育方法和教學效果的提高，是一個宏大的課題，需要進行長時間的積累，總結和提高。希望筆者若干年后，能對這個課題發表新的感想，以供方家指正，不勝感激！

參考文獻：

[1]張曉梅，張振宇，遲東璇.常微分方程[J]，復旦大學出版社.

[2]東北師范大學微分方程教研室主編，常微分方程第二版[M].高等教育出版社.

[3]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社.endprint