試論高中解析幾何中圓錐曲線解題思維的培養

邢子揚

摘 要 圓錐曲線是高中解析幾何重要內容，也是高考中的重難點。在這一章節的學習中，我們深刻體會到代數與幾何、方程與曲線之間相互轉換的巧妙，感受到數形結合思想的魅力。同時圓錐曲線中又蘊含著豐富的數學思想方法，這就使得在學習過程中遇到了許多困難，成為解決圓錐曲線問題的障礙。為此，這就要尋求行之有效的教學策略來幫助克服圓錐曲線的學習困難。

關鍵詞 圓錐曲線 高中解析幾何 方程與曲線 代數與幾何 數形結合

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

圓錐曲線作為高中課程中解析幾何的重要內容之一，蘊含著豐富的數學思想，其中包括數與形相結合的數學思想、類比和比較的數學思想、運動變換的數學思想、分類討論的數學思想、函數與方程的數學思想、轉化與化歸的數學思想、猜想構造的數學思想，等等。尤其是數與形結合的思想，在求解與分析解析幾何問題過程中起到了非常重要的作用。

1數形結合思想

數形結合思想指的是將抽象的數學概念及代數問題與直觀的圖形表達方式結合起來，一方面能夠借助圖形的性質將復雜的代數問題變得直觀化與形象化，在學習圓錐曲線章節內容時，研究直線的斜率范圍、代數式的最值問題等等，都可以通過圖像法，將代數問題一目了然的表示出來，另一方面可以利用數的推理論證來分析圖形所具有的性質，如判斷直線和曲線之間的位置關系等，從圓錐曲線的概念講解、幾何性質分析以及綜合應用中，無處不滲透著數形結合思想，不僅能讓高中生更加清晰、完整的了解曲線的概念及性質，而且有利于突破高中生的固定數學思維模式。

2函數與方程思想

函數與方程是兩個完全不同的概念，但兩者之間又有著密切的關系，一個函數如果存在著解析表達式，那么就可以將該函數看做是一個二元方程，且方程中兩個變量之間存在著對應的關系。函數的思想方法是指，在某些數學問題中的一些元素之間在變化的過程中，存在著相互制約和相互影響的關系，而我們在求解問題過程中，充分的去挖掘這些元素之間的數量關系，并且構建函數關系式，進而將對數學問題的分析轉換到分析函數數量關系的問題上來。而方程的思想方法是指，在某些數學問題的一些元素之間存在等量關系，并且利用這種關系來構造方程，然后再利用方程的性質來分析數學問題。函數與方程思想為圓錐曲線的學習提供了新的思路與方法，如討論直線與曲線位置關系、討論函數的極值問題時，可以轉化成求解方程根的問題來判斷。

3化歸與轉化思想

化歸與轉化思想指的是，將需要求解的數學問題，通過認真觀察、對比分析、邏輯推理、知識聯想等一系列思維的活動過程，將陌生的問題轉化為高中生比較熟悉的問題，將比較困難的問題轉化為高中生比較容易解決的問題，將比較繁瑣的問題轉化為比較簡單的問題，這樣將未知的問題轉化為一些已知問題的一種數學思想方法?；瘹w與轉換利用的等價轉化的思想，利用方程同根、等量替換、充要條件等知識對問題進行等價的轉化，這樣才能保證最后求解出的答案仍然是原題的結果?；瘹w與轉化在圓錐曲線的學習過程中具有不可估量地位。

4分類討論思想

分類討論思想指的是，當對所給問題中的研究對象不能進行統一分析時，就需要把研究對象按照某個標準進行分類，然后對每個類別分別進行研究討論，最后將每個類別的研究結果進行綜合，從而得出問題答案的一種數學思想方法。能夠科學、不重復的對研究對象進行分類，是正確求解問題的重要前提。通過分類討論，可以有效的克服對問題思考的片面性，可以使復雜的問題變得更加清晰化，簡單化。在圓錐曲線的學習過程中，分類討論的思想運用非常廣泛。如討論曲線方程的參數變化范圍、根的存在性、函數最值等問題都可能因為變量的定義域不同而導致討論結果的不同，這時就需要對其進行分類討論，綜合結果。

5 應用分析

（1）題目1：高中生將橢圓曲線的中心視為坐標軸的原點，并且分別以兩條對角線為x軸和y軸，構建直角坐標系。然后將正方形的中點坐標帶入到橢圓曲線的方程中進行運算后得到離心率。

（2）題目2： 以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，求該橢圓的離心率。準確運用橢圓曲線定義作答，如圖所示。

透過事物的表面現象看本質，透過所給出的數學問題能夠分析出其包涵的深刻數學思想內涵，這樣才能對數學概念的理解更為深刻和透徹，才能進入更深層次的思考及探索，從而才能實現培養思維深刻性的目的。例如：對于雙曲線定義的理解，平面內與兩定點F1，F2的距離之差的絕對值是常數的點的軌跡則稱為雙曲線，應該引導如果距離之差的絕對值等于常數時，其點的軌跡還能組成雙曲線嗎？經過幾何畫板的動手實驗發現，此時點的軌跡分別是以定點F1，F2為起點的兩條單向射線，而不是雙曲線？進一步思考，如果距離之差的絕對值等于常數時呢？其實驗結果卻發現此時點的軌跡不存在。如果該常數為零的情況呢？經實驗發現，點的軌跡是一條線段的中垂線，通過對定義中已知條件的引申與拓展，就能對該定義中的關鍵點有了更加深刻的領會和把握，這樣就促進思維深刻性的培養。

參考文獻

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