Kagome夾心板的多模態壓電分流振動控制研究

郭空明，徐亞蘭

(西安電子科技大學 機電工程學院 應用力學研究中心，西安 710071)

Kagome夾心板的多模態壓電分流振動控制研究

郭空明，徐亞蘭

(西安電子科技大學 機電工程學院 應用力學研究中心，西安 710071)

針對Kagome夾心板的多模態振動控制問題，提出了一種獨立模態壓電分流振動控制方法。建立了結構與壓電換能器耦合系統的有限元模型，之后詳細闡述了Kagome夾心板的獨立模態壓電分流振動控制策略，并針對自由振動問題提出了一種實用的多分流電路參數優化方法。結果表明，提出的控制方法能顯著提高Kagome夾心板結構的阻尼特性，加快自由振動的衰減，同時各壓電分流電路之間具有很好的獨立性。

Kagome 夾心板；多模態振動控制；壓電分流振動控制；自由振動

在工程應用中，新材料的作用日漸突出。Kagome夾心板[1]作為超輕多孔材料的一種，除了具有此類材料的各種優越性能外，在振動控制方面較之傳統板結構也有明顯的優勢。Kagome夾心板的一個板面被Kagome類型的平面剛架所代替，該結構的特點是面板的面外變形與平面剛架的面內變形具有很強的耦合，若將平面剛架的桿件替換為作動器，作動器施加的面內力可以實現面板的面外變形。因此通過將少部分平面剛架的桿件替換為阻尼器或作動器，可分別實現其被動[2]和主動振動控制[3]，從而避免了在面板表面黏貼約束層阻尼或壓電片，也就不會影響面板的形狀。

對于板殼等結構，振動是無法回避的一個問題。傳統的振動抑制方法大致可以分為動力吸振[4]、阻尼材料耗能減振(被動控制)[5]、主動控制[6]以及半主動控制[7]等。其中，動力吸振需要給原結構附加顯著的質量，也會占用一定的空間。傳統被動耗能控制的效果受制于阻尼材料的特性，可優化的余地不多。主動控制雖然較為靈活，設計余地大，但需要測量、反饋環節，因此存在可靠性問題。半主動控制是在被動耗能控制中引入主動改變參數的環節的一種控制方法，目前此類控制技術如磁流變、電流變等也需要給結構附加相當的質量，因此應用領域具有局限性。

壓電分流阻尼振動控制是一種將機械能轉化為電能再進行耗散的方法。壓電分流電路可以分為諧振分流電路[8]、負電容分流電路[9]，以及半主動范疇的狀態開關分流電路[10]等，其中諧振分流電路運用較廣。其原理和吸振器類似，雖然理論上需要的電感線圈質量也很大，但可以用多種等效電路方法去合成電感，從而避免了大質量的問題。而與傳統使用阻尼材料的耗能減振方法相比，諧振電路又具有良好的可設計性。諧振分流電路的缺點是電路的通頻帶很窄，因此對結構的固有頻率非常敏感。

為了使用諧振分流電路控制振動中的多階模態分量，傳統的方法需要使用復雜的隔流電路[11]、電路網絡[12]等，由于電路中元件眾多，只要其中一個元件失效，所有階模態的控制效果都將受到嚴重影響。而且一旦結構的固有頻率發生改變，重新調諧會非常復雜。針對這個問題，本文提出了一種獨立模態壓電分路阻尼的方法，該方法最大的特點在于每階模態由一條分路獨立控制，各分路之間獨立性強，因此控制可靠性好，即使其中一個分路出現問題，也不會對其它模態的控制效果產生顯著影響。而且與隔流電路等方法相比，使用的電子元件要少得多。

本文針對Kagome夾心板使用獨立模態壓電分路阻尼進行振動控制，并針對自由振動問題提出了一種實用可行的諧振電路參數優化方案。通過仿真結果驗證了該方法的有效性。

1 Kagome夾心板及壓電換能器的有限元模型

1.1懸臂Kagome夾心板的有限元模型

Kagome夾心板(見圖1)由面板(深灰色)，四面體狀的夾心層(灰色)和Kagome平面剛架(黑色)構成。組成剛架的桿件在形狀、尺寸及材料上完全相同。

圖1 Kagome夾心板示意圖Fig.1 Schematic of Kagome sandwich plate

本文研究的Kagome夾心板結構的有限元模型及面板的劃分網格如圖2所示。每根桿件作為一個梁單元。邊界條件為四邊固支。面板和桿件的參數見表1。計算出的前六階模態的固有頻率分別為297 Hz，507 Hz，550 Hz，717 Hz，775 Hz和836 Hz。

(a)夾心板整體圖(b)平面剛架圖

1.2機電耦合系統的有限元模型

為了實施壓電分流振動控制，需要將平面剛架的少量桿件替換為壓電換能器。壓電換能器由壓電堆，球鉸，預壓彈簧、外套等部件構成，其結構如圖3所示，其中球鉸可以防止壓電堆受到彎曲作用。各尺寸分別為：rp=3 mm，Lp=31 mm，L1=L2=7 mm，r1=r2=2 mm。

表1 面板和剛架桿件的材料及尺寸Tab.1 Material parameters and size of face sheet and frame rods

在設計的尺寸下，兩連桿的剛度遠大于壓電堆剛度，因此可以認為壓電換能器的剛度近似等于壓電堆剛度，其短路剛度為Ka=1.5×107N/m。忽略其它部件質量，認為換能器的總質量為兩連桿和壓電堆質量之和，為8 g。因此壓電換能器的質量和拉伸剛度均與原桿件不同，而且不能承受彎曲。可以預見，將桿件替換為換能器將會對結構動力學特性產生影響，但由于本文方法只需替換極少量桿件作為換能器，因此固有頻率和振型的變化可以忽略不計，這一點可以在下文中看出。

圖3 壓電換能器示意圖Fig.3 Sketch of the piezoelectric transducer

在本文提出的方法中，每個壓電換能器連接一個獨立的LR電路。圖4給出了只采用一個壓電換能器時，機電耦合系統的示意圖。采用拉格朗日-麥克斯韋方程建立該系統的動力學方程。原結構的動能T、勢能V、分路中電感的磁能Wm、壓電換能器中的電能We以及耗散函數P分別為

(1)

式中：[M]s為質量矩陣；[K]s為剛度矩陣；{x}為結點位移矢量；q為分路電量；L為分路電感；C為壓電堆等效電容；k為壓電堆機電耦合系數；n為壓電堆所包含壓電片的個數；d33為壓電應變系數；{b}為壓電換能器位置矢量；L為分路電阻；Ka/(1-k2)為壓電堆開路剛度。

圖4 機電耦合系統示意圖Fig.4 Sketch of the electro-mechanical coupled structure

利用拉格朗日-麥克斯韋方程建立系統的動力學方程

(2)

寫成矩陣形式

(3)

其中,

(4)

當使用l個壓電換能器時，式(4)中的各矩陣分別為

[K]=

(5)

2 多模態獨立模態壓電分流控制方案

在獨立模態壓電分流控制中，每階模態由獨立的壓電換能器及其連接的分流電路來控制。為了說明該控制方法中各階模態控制的獨立性，首先要考慮替換桿件為壓電換能器對結構帶來的影響。雖然壓電換能器的特性與原桿件不同，但由于換能器數量等于需要控制的模態數量，而實際應用中往往只需控制少量低階模態，因此該方法只需替換極少量桿件作為換能器，并不會顯著改變原結構的模態。

接下來考慮添加分流電路帶來的影響。分流電路主要對結構的阻尼特性產生影響，這一點可以從下文控制前后固有頻率和阻尼比的變化看出。由于諧振電路的通頻帶很窄，選頻能力強，特定模態對應的分流電路只對該階模態的阻尼產生效果，而幾乎不會影響其它模態的阻尼。

綜合以上兩點可以看出，對于已設計完成的多模態壓電分流控制系統，移除現有的壓電分流電路或者為其它階模態添加新的壓電分流電路，都不會對保持不變的模態的附加阻尼效果產生明顯影響。

為了達到最佳的控制效果，對于給定模態，首先需要為壓電換能器配置最佳的位置，之后需要對分流電路的參數進行調整使其匹配所要控制的模態。

2.1壓電換能器位置優化

若只考慮第i階模態，方程式(2)截斷為

(6)

式中：xi為第i階模態的坐標；ωoi為壓電換能器處于開路狀態時，第i階模態的固有圓頻率；λi為對于第i階模態，機電耦合的強度，可定義為

(7)

式中，{φi}為第i階模態的振型。λi值越大，第i階模態的能量轉換入壓電換能器的能量就越多。可見，對于第i階模態對應的換能器，應使其替換具有最大λi值的桿件。由于本方法中只需替換極少量桿件為換能器，因此替換后結構的振型幾乎不受影響，可以使用原結構的振型計算。實際上，λi值與模態應變能有關。第i階模態的模態應變能為

(8)

因此模態應變能可以作為壓電換能器位置優化的指標。圖5給出了控制前三階模態時的換能器位置配置。

圖5 前三階模態換能器的位置，數字1～3代表了各換能器所控制的模態Fig.5 Locations of modal transducers of modes 1-3, the number 1-3 represents the mode to be controlled by each transducer

由于壓電換能器的質量和剛度與原桿件不同，且不能承受彎曲，需要討論布置換能器對結構動力特性的影響。下面研究將圖5位置的桿件替換為壓電換能器，且換能器處于開路狀態時，結構模態固有頻率和振型的變化。計算可得替換短路狀態的換能器后，結構的前三階固有頻率為：297 Hz，507 Hz和550 Hz。顯然，固有頻率的改變完全可以忽略。換能器處于開路狀態時，結構的模態仍然為實模態，因此可以直接與未布置換能器時的模態振型進行比較。為了量化振型的變化，引入以下振型重合度的概念

(9)

式中：下標i為模態的階數；{φi}為替換換能器前第i階模態的振型；{φic}為替換后第i階模態的振型。χi值可以量化控制前后振型的差異，該值在0～1，取值越接近1，說明模態振型的變化越小。計算可得替換換能器前后，前三階模態的重合度分別為0.999 98，0.999 97，0.999 96。因此可以認為模態振型未發生變化。

2.2壓電分流電路參數優化

與動力吸振器類似，諧振分流電路的核心問題是對參數進行調諧。文獻[13]中研究了小型桁架結構的壓電分流控制，并給出了對于第i階模態的自由振動，最優化的電感L和電阻R值

(10)

式中，ωsi為壓電換能器處于短路狀態時，第i階模態的固有圓頻率。而

(11)

式(11)是壓電換能器在第i階模態中模態應變能的百分比。使用式(10)可以得到前三階模態的電感和電阻值，代入式(5)并數值求解特征值問題，可以得到各階模態(含原結構機械模態和附加的三階“電模態”)的頻率和阻尼比，表2給出了前三階機械模態和前三階電模態的固有頻率和阻尼比，可以看出機械模態的固有頻率與附加分流電路之前變化很小，但機械模態阻尼比很小，原因在于這三階分流電路模態的固有頻率與其對應的機械固有頻率相差較多。

表2 采用式(10)得到的電路參數時的前三階機械模態及前三階電模態Tab.2 The first three mechanical modes and all three electrical modes using shunt parameters obtained by (10)

造成以上結果的原因在于式(10)給出的公式是由單自由度系統推導出的，當結構規模較大時，機械模態部分將會對電模態產生較大影響，使耦合后電模態的固有頻率偏離所期望的調諧值。計算發現，調整電阻值幾乎不會影響頻率特性，因此本文利用各階諧振電路的獨立性，提出了一個簡單可行的優化方法。

首先利用式(10)計算出的電阻和電感值計算出系統所要控制的機械模態和對應的電模態的頻率和阻尼比，之后對每階模態逐一用試探法進行優化，先調整電感值使電模態和對應的機械模態的固有頻率充分接近，再調整電阻值使阻尼比達到最大。為了說明這個方法，下文給出了1～3階模態分流電路的逐一優化過程：

(1) 電感L1優化后，第一階電模態的固有頻率f1=295 Hz。

(2) 電阻R1優化后，f1=292 Hz，第一階機械模態的阻尼比ξ1=0.029。

(3) 電感L2優化后，f1=292 Hz，ξ1=0.029,f2=507 Hz。

(4) 電阻R2優化后，f1=292 Hz,ξ1=0.029,f2=504 Hz,ξ2=0.023。

(5) 電感L3優化后，f1=292 Hz,ξ1=0.029,f2=504 Hz,ξ2=0.023,f3=547 Hz。

(6) 電阻R3優化后，f1=292 Hz,ξ1=0.029,f2=504 Hz,ξ2=0.024,f3=546 Hz,ξ3=0.021。

從以上過程中可以看出電阻的調整不會影響已調諧好的電路模態頻率，而且對任一階模態的分流電路參數進行調整時，對其他模態的影響很小，正因如此，模態分流電路的參數才可以逐一優化，又因為電感和電阻可以分開優化，該優化問題轉化為一系列的一維優化問題，可以采用試探法。

采用該方法優化后的前三階機械模態和前三階電模態的固有頻率和阻尼比列入表3，可以看出前三階分流電路模態的固有頻率與其對應的機械模態固有頻率較為接近，因此阻尼比都非常可觀。另一方面，機械模態的固有頻率與控制前相比幾乎沒有變化。

諧振分流電路通頻帶較窄雖然會使各分流電路之間較為獨立，但也會造成一旦系統頻率發生變化，控制的效果會大大下降。不過，在發現系統動力特性發生變化后，可以采用本節的試探優化法重新進行調諧。

表3 采用文中方法得到的電路參數時的前三階機械模態及前三階電模態Tab.3 The first three mechanical modes and all three electrical modes using shunt parameters obtained by the method in this paper

3 數值分析

假設原結構的阻尼為比例阻尼，即阻尼矩陣滿足

[D]s=α[M]s+β[K]s

(12)

式中：α=23.5；β=3.96×10-6。在圖2的箭頭處施加一個1 000 N的脈沖激勵，并觀察該點豎直方向自由振動的響應情況。圖6給出了原結構以及控制1～3階模態時的響應情況，可以看出控制后響應的衰減明顯加快。

為了獨立考察各階模態振動衰減的情況，對兩種情況下的時間歷程進行短時傅里葉變換，圖7和圖8分別給出了無控制和控制前三階模態時脈沖響應的短時傅里葉變換。可以看出前三階模態的衰減明顯加快(第二階和第三階模態較為接近)，而其它階模態沒有明顯變化。

為了說明各階模態諧振電路的獨立性，在控制1～3階模態的基礎上，再增加一個壓電換能器用于控制第四階模態，保持前三階模態分流電路的參數不變。此時換能器的配置如圖9所示，圖10給出了此時脈沖響應的短時傅里葉變換。可以看出與圖8相比，第四階模態的衰減明顯加快，而其它階模態的衰減特性基本不變。

圖6 無控制和控制1～3階模態時脈沖激勵的響應Fig.6 Response under the impulse excitation of the structure without control and with mode 1-3 controlled

圖7 無控制時脈沖響應的短時傅里葉變換Fig.7 Short-time Fourier transform of impulse response without control

圖8 控制1～3階模態時脈沖響應的短時傅里葉變換Fig.8 Short-time Fourier transform of impulse response with mode 1-3 controlled

圖9 前四階模態換能器的位置，數字1～4代表了各換能器所控制的模態Fig.9 Locations of modal transducers of modes 1-4, the number 1-4 represents the mode to be controlled by each transducer

圖10 控制1～4階模態時脈沖響應的短時傅里葉變換Fig.10 Short-time Fourier transform of impulse response with mode 1-4 controlled

4 結 論

本文提出了一種獨立模態空間壓電分流振動控制的方法，并給出了一種實用的電路參數優化方法，可以實現Kagome夾心板的多模態自由振動控制。算例表明該方法非常有效，而且各階模態的控制相互影響很小。

本文中只研究了自由振動的控制情況，對于強迫振動，控制的目標不再是特征值問題，而是頻響函數。針對強迫振動的分流電路參數優化是今后的研究目標之一。為了將該方法向一般結構推廣，對稱結構重頻和密頻的問題不可回避，而本文的方法尚未考慮該問題。最后，該方法的有效性還需要實驗進行驗證。

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Multi-modepiezoelectricshuntvibrationcontrolofaKagomesandwichpanel

GUO Kongming, XU Yalan

(Research Center of Applied Mechanics，School of Mechano-Electronic Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

Aiming at realizing the multi-mode vibration control on a Kagome sandwich panel, a kind of independent modal piezoelectric shunt vibration control method was proposed. The finite element model of the structure coupled with piezoelectric transducers was established, then the proposed vibration control strategy on the Kagome sandwich panel was described in detail, while a practical multi-shunt circuit parameters optimization method for mitigating the free vibration was also presented. The results show that the control method proposed can significantly improve the damping characteristics of the Kagome sandwich panel structure, and accelerate the attenuation of free vibration. At the same time, the piezoelectric shunt circuits have good independence between each other.

Kagome sandwich panel; multi-mode vibration control; piezoelectric shunt vibration control；free vibration

O328; V214.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.009

國家自然科學基金青年科學基金項目(11502183); 陜西省自然科學基礎研究計劃面上項目(2016JM1021); 博士后基金面上項目(2016M592750)

2016-06-08 修改稿收到日期：2016-07-29

郭空明 男，博士，講師，碩士生導師，1985年生