復合式低頻隔振器的理論建模及其性能分析

吳 庭，王林翔

(浙江大學 流體動力及機電系統國家重點實驗室，杭州 310027)

復合式低頻隔振器的理論建模及其性能分析

吳 庭1，王林翔2

(浙江大學 流體動力及機電系統國家重點實驗室，杭州 310027)

抑制低頻振動是當前振動領域的一個熱點問題，將慣容器與液壓蓄能器結合在一起，同時利用形狀記憶合金彈簧的超彈性，設計了一種將慣容器和擬零剛度隔振結合的復合式超低頻隔振器。說明了超低頻隔振的原理，分析了隔振器的力傳遞比，研究了慣容器慣容值以及彈簧剛度對系統諧振頻率的影響。計算結果表明，所設計的超低頻隔振器的諧振頻率可以降低至1 Hz以內。

擬零剛度；慣容器；超彈性；超低頻隔振

對低頻振動激勵的隔離和抑制，一直是難以解決的問題，因為通常采用的常規被動隔振，無法適應低頻隔振的要求[1]。普通的橡膠隔振器，對激勵頻率在5～6 Hz的振動有較好的隔振效果。而對于2 Hz以下的振動，則多采用空氣彈簧，它是利用氣體壓縮的非線性恢復力和阻尼力來緩沖沖擊和振動[2]。空氣彈簧隔振器的剛度和阻尼可進行調節與控制。然而主動振動控制的缺點就是成本較高，且需要時刻保證外加電源或氣源[3]。

被動振動控制由于其結構簡單，經濟性好，可靠性高，不附加能量仍然具有較寬廣的適用性[4]。如何對現有的被動隔振裝置進行改進而使其具有低頻甚至超低頻隔振的特性，是許多學者的關注與研究的熱點。 為解決低頻隔振，一類方法是利用正負剛度并聯使系統獲得動態零剛度。Carrella等[5]利用四根傾斜彈簧和一根豎直彈簧構成了正負剛度并聯的機構，理論和實驗驗證了其具有零剛度的特性。2011年，Le等[6]將這一正負剛度聯合機構設計到了汽車座椅的支撐結構中去，有效地提高了系統的隔振效率。劉興天等[7]設計了類似的正負剛度并聯的機構，其中負剛度特性由屈曲歐拉梁產生。2008年，Mizuno等[8]曾提出過利用相互吸引的永磁鐵來給系統提供負剛度，在此基礎上，Carrella等[9]設計了將這一負剛度機構與提供正剛度的機械彈簧聯合使用的機構。

第二類方法是增加被動隔振系統的慣性值，2002年，Smith[10]提出了慣容器的概念，可以為被動隔振系統提供高于自身質量幾十倍的視在質量，從而有效地降低系統的固有頻率，達到低頻隔振的效果?，F有的慣容器有多種形式，包括齒輪齒條式，滾珠絲杠式,液壓式慣容器[11-13]。慣容器會產生一個與兩個端點相對加速度成正比的力，這一比例系數又稱為慣容器的慣容值。國內Xu等[14-16]嘗試將其應用在汽車懸架上，從而提高汽車懸架的減振特性。

本文提出了一種將慣容器與擬零剛度特性結合的復合式低頻隔振器，并且利用了形狀記憶合金彈簧(SMA(Shape Memory Alloy) spring)的超彈性[17]。對復合式低頻隔振器的動力學性能進行了建模，分析了隔振器的隔振效果，并分析了系統結構參數對于系統諧振頻率的影響。為低頻隔振器的設計提供了理論支持。

1 復合式低頻隔振器的工作原理

本文所提出的復合式低頻隔振器結構簡圖如圖1所示。該復合式低頻隔振器由上部慣容器和底部的液壓緩沖與支撐裝置構成。液壓緩沖部分的頂壁有一部分是由彈性膜與其他部分相連的，SMA彈簧通過這一活動部分與內部油壓平衡。

靜止狀態下，由于液壓油的初始油壓P0作用于活塞桿底部而支撐物體，使得系統具有給定的靜態剛度。慣容器中置有上下兩個很軟的對中彈簧。當振源產生低頻振動時，由于與振源相連的慣容器會會產生一個較大的視在質量，同時系統的振動通過活塞桿傳入下方的液壓緩沖與支撐裝置中，形成了系統的動態低剛度。兩者相結合使系統獲得很低的固有頻率，從而達到低頻隔振的目的。

圖1 復合式低頻隔振器結構簡圖Fig.1 Structural diagram of hybrid isolator

圖1中：活塞桿的面積為A1；活動薄膜的作用面積為A2。

2 復合式低頻隔振器的動態模型

如圖1所示，假設振動位移為x，慣容器中設有對中彈簧，總剛度為k1，慣容器的慣容值為b，液壓油預置壓力為P0。記振動質量為m。當振源無振動時，系統處于靜止狀態，整個機構保持靜態平衡，可得

P0A1=mg

(1a)

P0A2=f(y0)

(1b)

式中，f(y0)為SMA彈簧的預壓力。可以通過調整螺釘來調節彈簧的預壓力。

當外界輸入振動F0eiωt時，機構狀態發生變化，整體保持動態平衡，系統中的慣容器在系統的動態過程中會產生與上下油口速度差成正比的力，這一比例系數即為慣容值b，系統的動態平衡方程為

(2)

式中：ΔP為液壓油體積變化引起的壓力變化值；b為慣容器的慣容值；ε為系統的阻尼系數。

設SMA彈簧位移變化為y，慣容器中的活塞桿向下運動時，深入油液的長度變化為x，所對應的油液體積變化為ΔV1=A1x，形狀記憶合金彈簧壓縮量變化對應的油液體積變化為ΔV2=A2y，總的體積變化為ΔV=A1x-A2y。

ΔP與ΔV的關系可由液壓基礎知識得[18]

(3)

ΔP=C(A1x-A2y)

(4)

記SMA彈簧的動態剛度為κ，彈簧力的變化與油液壓力的變化平衡，也可以記為動態剛度和位移y的乘積

ΔF=A2ΔP=κy

(5)

將式(4)代入式(5)，可以得到x和y的關系，如下式所示

(6)

將式(6)代入式(5)，即可得到壓力ΔP變化x的關系式，如式(7)所示

(7)

將式(7)代入式(2)，即可得到系統的動力學方程

(8)

將式(8)進行無量綱化處理后得

(9)

3 系統的固有頻率分析

由振動理論可知，系統的固有頻率與外界的輸入無關，為了分析系統的固有頻率，得到系統的間諧運動的微分方程

(10)

式中：ξ為系統的阻尼比；ωn為系統的固有頻率，其值為

(11)

由線性振動理論可知，線性振動系統的固有頻率為

(12)

對比兩者不難發現，系統的等效質量和等效剛度不再是原有的m和k，而變成了m′和k′，分別為

m′ =m+b;

(13)

為了獲得很低的系統固有頻率，增加系統的等效質量和獲得擬零剛度就成了兩個最主要的方法。由式(13)看出，慣容器的存在增加了系統的等效質量。同時通過設計，使得等效剛度接近于零，這樣就可以達到最終的低頻隔振的效果。

式(13)中，κ為SMA彈簧的動態剛度，不同于普通的機械彈簧，由于SMA彈簧中超彈性的存在，彈簧的力-位移曲線不再是線性曲線，而是呈現非線性的滯回曲線，本文選用文獻[19]中的SMA彈簧，力-位移曲線如圖2所示。

圖2 SMA彈簧的力-位移曲線Fig.2 Force-displacement curve of SMA spring

根據SMA彈簧的力-位移關系，為了讓SMA彈簧工作在超彈性區域，可以通過調整螺釘調整SMA彈簧的壓縮量使其工作在A點附近，此時SMA彈簧的動態剛度最小，κ=10 N/mm。

A1，A2的選取和初始條件有關。A1的選取與隔振目標的重量及初始壓力有關，由式(1a)選定A1的面積。通過調節油壓可以為不同振源質量的物體提供系統靜態剛度。根據圖2,將SMA彈簧的預壓力設為50 N。根據式(1b)，同時可以確定薄膜的面積A2。

由于系統中提供靜態剛度的不再是彈簧，因此對中彈簧的剛度系數可以設為小值。此處對中彈簧的作用是當系統處于振動平衡狀態時，將活塞恢復至原位。只需克服活塞運動的靜摩擦力即可。

本文中設定振源質量為50 kg,選定活塞桿的面積A1=50 mm2,初始油壓調至1 MPa。當振源質量有改變時，可以通過調節油壓來支撐不同的振源質量。SMA彈簧工作在超彈性區間,調整其輸出力為50 N，選定薄膜面積A2=300 mm2。系統結構參數如表1所示。

表1 復合式隔振器的初始參數Tab.1 Initial parameter of hybrid isolator

選定系統的慣容值為100 kg。

將慣容器與擬零剛度結合在一起，從增加系統視在質量與降低系統等效剛度兩個方面降低系統的固有頻率。 隔振系統的性能，可以通過傳遞到基礎的力和輸入力之比與輸入頻率之間的關系，即求得系統的傳遞函數。傳遞到基礎的力為

(14)

式中，F(s)和FT(s)分別為輸入力和傳遞力的拉式變換，通過聯立式(8)，式(14)，可以得到系統的傳遞函數

(15)

從幅頻曲線可以看出，系統的諧振頻率已經降到0.04 Hz，慣容器和擬零剛度原理的結合增加了系統的隔振頻寬，可以實現真正的低頻隔振，提高隔振性能，如圖3所示。

圖3 系統傳遞函數的幅頻曲線Fig.3 Amplitude-frequency curve of system transfer function

4 系統結構參數對響應頻率的影響

4.1k1，b值

從系統的動力學方程可以看出，對中彈簧的剛度k1與系統的等效動態剛度有關，k1越小，系統的等效剛度就越小，進而就會降低系統的固有頻率。由于整個系統處于漂浮狀態，對中彈簧的作用就是要讓活塞回到平衡位置，因此在保證彈簧的恢復力大于活塞的摩擦力的情況下，k1值越小，系統的諧振頻率就越低，隔振效果就越好。

同理，增加系統的慣容值可以增加系統的視在質量，從而降低系統的諧振頻率增加系統的隔振頻寬，達到良好的低頻隔振效果。常見的慣容器的慣容值都可以達到自身質量的幾十倍甚至數百倍，但無限制的提高慣容值必定會帶來對慣容器外加負載的要求，因此選擇適當的慣容器就已經可以達到超低頻隔振的效果，無需單一的追求極大的慣容值。

4.2不同A1/A2值的影響

由式(13)的第二項可以看出設計參數中A1/A2的值對系統的等效剛度有著很大的影響，由于A1的選定與隔振物體重量和油壓的壓力范圍有關系，下面選定不同的A2值，作出系統的伯德圖，分析A1/A2的值對系統諧振頻率的影響。

圖4 不同A1/A2下系統的伯德圖Fig.4 Bode diagrams of different ratios of A1/A2

由圖4可以看出，增加活動薄膜的面積A2，即使得A1/A2的比值越小，系統的等效動態剛度就越小，從而可以獲得更寬的隔振頻寬，提高隔振性能。這一點很容易從物理上解釋，因為這一比值越小，說明由于系統振動引起的液壓緩沖裝置中的體積變化和壓力變化越小，從而使得等效的動態剛度越小。

5 結 論

本文提出了一種將慣容器與擬零剛度原理相結合起的復合式低頻隔振器，可以隔離低頻甚至超低頻的振動。通過分析，得到了系統的動力學方程，分析了系統的固有頻率的影響因素，結果表明慣容器和擬零剛度原理的結合可以有效降低系統的諧振頻率，從而獲得超低頻的隔振性能。

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Designandperformanceanalysisofacompositelow-frequencyvibrationisolator

WU Ting1, WANG Linxiang2

(1. The State Key Lab for Fluid Power Transmission and Control, Zhejiang University, Hangzhou 310027，China)

In current papers, a hybrid vibration isolator was proposed by combining the quasi-zero-stiffness isolator with an inerter. The inerter is employed to increase the effective mass of the isolator while the quasi-zero-stiffness part is to decrease the dynamic stiffness of the restoring elements. A superelastic shape memory alloy spring was integrated into the device. The low-frequency vibration isolation mechanism was specified. The force transmission ratio was analyzed and simulated. It is shown by simulation that the proposed vibration isolator could have a resonant frequency lower than 1 Hz. The influences of parameters on the system responses were discussed.

quasi-zero-stiffness; inerter; superelasticity; low-frequency vibration

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.035

國家自然科學基金資助項目(51575478;61571007)

2016-04-26 修改稿收到日期：2016-08-08

吳庭 男，碩士生，1992年10月生

王林翔 男，博士，教授，1971年1月生