考慮不同邊界條件懸臂梁的模態研究

劉建英，王效岳，宮金良

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255049)

考慮不同邊界條件懸臂梁的模態研究

劉建英，王效岳，宮金良

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255049)

為了提高假設模態法建立動力學模型的精確性，研究了將柔性機械臂簡化為更精確的懸臂梁模型的問題。通過分析不同邊界條件對Euler-Bernoulli懸臂梁橫向振動的影響規律，將懸臂梁自由端的剪力邊界條件具體化為集中質量和拉伸彈簧，彎矩邊界條件具體化為扭轉彈簧和轉動慣性元件，得到了各種邊界條件下懸臂梁的模態頻率和模態振型的變化規律。結果表明添加邊界條件的懸臂梁模型可以更好地表示柔性機械臂的模態振動，因此可以提高假設模態法建立的動力學模型的精確性。針對柔性機械臂之間模態振動耦合較強，添加邊界條件無法表示柔性機械臂模態頻率的變化規律，提出了修正當量密度的方法。最后給出了邊界條件和修正當量密度的迭代計算方法，并用ANSYS和ADAMS聯合仿真分析了由驅動關節和自由關節連接的二連桿柔性機械臂模型對應的模態振動，驗證了計算方法的正確性。

柔性機械臂；懸臂梁模型；邊界條件；模態振動

因柔性機械臂有負載大，質量輕，耗能低等特點，以及柔性欠驅動機械臂具有豐富的動力學行為[1-2]，近幾年受到越來越多關注。在建立柔性機械臂動力學模型時需要對其進行離散化。由于機械臂的離散方法直接決定了動力學方程精度，因此如何對柔性機械臂離散是多柔體動力學領域的重點和難點之一，目前較有效的方法有假設模態法[3-4]、有限元法[5]和Bezier插值法[6-7]。假設模態法是從振動的固有特性出發，運用模態振動的線性組合描述物體的彈性振動[8-9]。有限元法雖然通用性強，但建立的動力學方程含有較多的廣義變量，會導致巨大的計算量[10]。Bezier插值法作為變形體新的離散方法,對于其處理多體系統動力學及其控制問題尚未找到相關文獻。假設模態法以較少的自由度和方程數目來實現系統的離散，為了便于控制，柔性機械臂多采用此方法建立動力學方程[11]。但在將柔性機械臂簡化時，多數文獻直接將柔性機械臂簡化為簡支梁或者懸臂梁，而未進一步分析簡化原因以及簡化后模型的精確性[12]。

在欠驅動柔性機人中既包含驅動關節也包含自由關節，柔性機械臂的受力情況較復雜，因此其離散模型不能直接使用簡支梁或懸臂梁。文獻[13]根據柔性機械臂末端受彎矩和剪力情況，將柔性機械臂簡化為固定梁、簡支梁或者懸臂梁。然而將梁邊界條件視為兩端簡支或固定，則此模型不能體現由于機械臂的柔性變形導致的末端位置的變化。也就是說這種簡化的假設前提是，柔性機械臂變形前后兩端關節的相對位置不變，所以簡化后的模型不夠精確。文獻[14-15]數據表明，柔性機械臂簡化成懸臂梁更為準確。在使用假設模態法建模時，應具體分析柔性機械臂的模態特性。本文研究了不同邊界條件對懸臂梁模態振動和模態振型變化規律的影響。應用ANSYS和ADAMS聯合仿真對柔性機械臂進行模態分析。根據所得規律，選用合適的邊界條件表示柔性機械臂的模態振動受驅動關節或自由關節的影響。

1 不同邊界條件對懸臂梁模態振動的影響規律

1.1懸臂梁橫向自由振動微分方程

懸臂梁模型見圖1。

根據等截面Euler-Bernoulli梁彎曲理論，梁的無阻尼振動微分方程[16]為

(1)

采用分離變量法求解式(1)，即令

w(x,t)=φ(x)δ(t)

(2)

(3)

式中：δ(t)為時間相關函數，其中常數A,B由梁的初始條件決定；φ(x)為振型函數，其中常數C1，C2，C3，C4，β由梁的邊界條件決定。

將懸臂梁自由端的邊界條件分為兩類：剪力和彎矩。

(1) 剪力邊界條件：末端包含拉伸彈簧和集中質量的邊界條件為

(4)

(2) 彎矩邊界條件：末端包含扭轉彈簧和轉動慣性元件的邊界條件為

(5)

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩；kt為扭轉彈簧剛度；k為拉伸彈簧剛度；I0為轉動慣性元件的轉動慣量；m為梁末端集中質量。

下面將使用具體的梁，研究不同邊界條件對懸臂梁模態振動的影響，梁的相關參數為：梁的長度l=0.25 m；寬度b=0.03 m；厚度h=0.004 m；抗彎截面系數I=1.6×10-10m4；彈性模量E=6.9 GPa；密度ρ=2 800 kg/m3；梁的質量m0=0.084 kg；梁的末端質量m=1.326 5 kg。

1.2剪力邊界條件對梁橫向振動的影響分析

末端集中質量與拉伸彈簧邊界條件分別為

(6)

(7)

編寫求解振動微分方程的MATLAB程序。

圖2是懸臂梁末端添加集中質量后梁的模態頻率的變化曲線。圖3是末端含有不同集中質量的懸臂梁的前三階模態振型。

圖2 末端集中質量對懸臂梁的模態頻率的影響曲線Fig.2 The influence of the concentration mass on the modal frequency of the cantilever beam

由圖2與圖3對照可知，末端集中質量主要影響懸臂梁自由端的振幅。集中質量越大，梁的自由端的振幅越小，梁的振動頻率越低。當集中質量大于梁的質量時，二階及其高階模態振型末端很快接近零，而一階振型的末端則緩慢接近零，所以當集中質量繼續增大時，集中質量只對其一階模態頻率有明顯影響。并且當集中質量無窮大時，一階振型趨近x軸，一階模態頻率趨近于零。

(a)(b)(c)

concentrated mass at the end

圖4是懸臂梁末端添加拉伸彈簧后梁的模態頻率的變化曲線。圖5是含有不同剛度拉伸彈簧的懸臂梁的前三階模態振型。

圖4 拉伸彈簧剛度對懸臂梁的模態頻率影響曲線Fig.4 Modal frequency curve of the cantilever beam with the tensile spring stiffness

(a)(b)(c)

由圖4與圖5對照可知，隨著拉伸彈簧的剛度增大，懸臂梁的模態振型和模態頻率越來越接近邊界條件是固定—簡支梁。理論上，當拉伸彈簧的剛度無窮大時，懸臂梁自由端撓度值為零，不受彎矩，因此懸臂梁的模態振型和模態頻率等同于固定—簡支梁。

1.3彎矩邊界條件對梁橫向振動的影響分析

扭轉彈簧和轉動慣性元件邊界條件分別為

(8)

(9)

圖6是懸臂梁末端添加扭轉彈簧后懸臂梁的模態頻率的變化曲線。圖7是含有不同剛度扭轉彈簧的懸臂梁的前三階模態振型。

圖6 扭轉彈簧剛度對懸臂梁的模態頻率影響曲線Fig.6 Influence of torsional spring stiffness on the modal frequency of a cantilever beam

(a)(b)(c)

由圖6與圖7對照可知，扭轉彈簧可在一定程度上增大懸臂梁自由端的振幅，其模態頻率也隨之增大。扭轉彈簧剛度在一定范圍內對懸臂梁的模態頻率與模態振型影響較大。當扭轉彈簧剛度增加到一定值后，彈簧剛度的增大對懸臂梁的模態振型和模態頻率影響變得非常小。

圖8是懸臂梁末端添加轉動慣性元件后懸臂梁的模態頻率的變化曲線。圖9是含有不同轉動慣量元件的懸臂梁的前三階模態振型。

圖8 轉動慣性元件對懸臂梁的模態頻率影響曲線Fig.8 Modal frequency influence curve of rotating inertial components on a cantilever beam

(a)(b)(c)

由圖8和圖9對照可知，受到轉動慣性元件的影響，懸臂梁的高階模態頻率和模態振型越來越趨近于低階的模態振型和模態頻率。圖9中，當I0為0.001 kg·m2與0相比時，梁的二階振型與一階振型相似，三階振型與二階振型相似。轉動慣性元件對二階及其高階模態頻率影響較大，當轉動慣性元件的轉動慣量增大到一定值后，各階模態頻率的變化趨于平緩。

由以上分析可知，不同邊界條件對懸臂梁的模態振型和模態頻率變化規律的影響相差很大。同樣是剪力邊界條件，集中質量和拉伸彈簧對懸臂梁的模態頻率和模態振型影響完全不同。扭轉彈簧剛度和轉動慣性元件對懸臂梁的模態頻率和模態振型影響也不同。因此，在將柔性機械臂簡化為懸臂梁時，不能簡單地根據機械臂末端受彎矩或剪力的情況把梁末端的邊界條件視化為固定端或簡支端。而是需要仔細分析柔性機械臂的模態頻率和模態振型的變化規律，選擇具有合適邊界條件的懸臂梁模型。

2 柔性機械臂與剛性機械臂連接對應懸臂梁的邊界條件

ADAMS是較常用的多體動力學分析軟件。對于剛柔耦合系統動力的分析，ADAMS應用模態疊加法模擬柔性體的彈性變形[17]，構件的模態數據由ANSYS生成，分析結果可靠性高。本文將應用ANSYS與ADAMS聯合仿真，將柔性機械臂的柔性桿部分在ANSYS中劃分單元，并生成包含模態信息的中間文件。將中間文件導入到ADAMS中，完成柔性機械臂建模后進行模態分析。

把柔性機械臂作為剛柔耦合構件分析。建立ADAMS模型時把連接電機和柔性桿的電機座視為剛體，用長方體表示。把柔性機械臂末端的電機與編碼器視為集中質量添加在柔性桿的末端，用半徑為4 mm的球體代替。則剛體、柔性桿和球體組合表示完整的柔性機械臂。建立好ADAMS模型后，進行無阻尼模態分析。

圖10是柔性機械臂的ADAMS模型。表1是柔性機械臂模型的模態分析與Euler-Bernoulli懸臂梁的理論計算結果。

圖10 單個柔性機械臂的ADAMS模型Fig.10 ADAMS model of a single flexible manipulator

表1 末端包含集中質量柔性梁的模態頻率結果比較Tab.1 Comparison of modal frequency results of concentrated mass flexible beams at the end of the end

由表1數據對比可知，將柔性機械臂簡化為末端集中質量的懸臂梁模型，其計算結果可以保持在較小誤差內，因此說明簡化模型正確并可用。

在ADAMS中，柔性機械臂的末端添加一個剛性機械臂，關節處用轉動副連接。若關節是驅動關節則在關節處添加轉動電機，其關節自由度為零。若是自由關節則不加電機，其自由度為1。表2是驅動關節連接時柔性機械臂模型的模態分析結果。

表2柔性機械臂驅動關節連接剛性機械臂的模態頻率
Tab.2Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorisaddedtodrivethejointtoconnecttherigidarm

模態階數歐拉梁理論值/Hz連接剛性機械臂模型/Hz相對誤差/%一階2.2832.2800.13二階326.511354.7738.66三階899.942969.5727.74四階1764.1891895.4917.44五階2916.2563121.5377.04

表2中，第三列數據是柔性機械臂末端添加了剛性機械臂的模態分析結果。第二列數據是添加了邊界條件后，懸臂梁的前五階模態頻率的理論值。邊界條件的選擇方法是，將表2的第三列和表1的第三列數據比較，分析其變化規律變化，再結合上文中不同邊界條件對懸臂梁模態頻率的影響規律。最終選定柔性機械臂對應懸臂梁的邊界條件為：集中質量和扭轉彈簧。ADAMS模型分析值與理論值的相對誤差說明：此邊界條件在誤差允許范圍內正確，可以表示驅動關節連接時剛性機械臂對柔性機械臂模態頻率的影響。

集中質量和扭轉彈簧剛度的迭代求法為：將連接剛性機械臂模型的前兩階模態頻率值帶入頻率特征方程中，得到兩個方程。方程組有兩個變量，即：集中質量和扭轉彈簧剛度。使用不動點迭代法求解，由于迭代方程不收斂，因此用for循環選合適的初值，最后用理論計算值和分析值的相對誤差作為跳出循環的判斷條件。經MATLAB編程求解，集中質量為41.15 kg，扭轉彈簧剛度為2.3×105 N·m/θ。

若柔性機械臂與剛性機械臂經自由關節連接，其模態分析結果見表3。

表3柔性機械臂自由關節連接剛性機械臂的模態頻率
Tab.3Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorwithfreejointsconnectedwiththerigidmanipulator

模態階數ADAMS模型/Hz連接剛性機械臂模型/Hz相對誤差/%一階6.3776.5833.230二階241.614241.6690.023三階774.315774.4800.021四階1596.2721596.3140.003五階2675.7242675.8380.004

由表3中的相對誤差可知，在自由關節連接條件下，剛性機械臂對柔性機械臂的模態頻率影響很小，可以忽略。因此柔性機械臂可以直接簡化為包含末端集中質量的懸臂梁模型。

3 柔性機械臂與柔性機械臂連接對應懸臂梁的邊界條件

在ADAMS中，柔性機械臂末端添加一個柔性機械臂，關節處用轉動副連接。關節處若添加電機則為驅動關節，若不添加電機則為自由關節。分析驅動關節連接對柔性機械臂的影響。表4是驅動關節連接時柔性機械臂模型的模態分析結果。

表4柔性機械臂驅動關節連接柔性機械臂的模態頻率
Tab.4Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorisaddedtodrivethejointtoconnecttheflexiblearm

模態階數歐拉梁理論值/Hz連接柔性機械臂模型/Hz相對誤差/%一階2.2202.2210.045二階170.403170.4110.0047三階551.191618.41512.20四階1151.3651305.90313.42五階1968.7982177.66310.61

表4中，第三列數據是柔性機械臂末端添加了柔性機械臂的模態分析結果。比較表4的第三列和表1的第三列數據，經分析和計算，沒有適合的邊界條件能表達這種規律。因此也體現出，驅動關節連接時柔性機械臂之間的振動耦合現象較明顯。基于當量密度對梁的模態頻率影響規律，見圖11。本文提出添加末端集中質量和修正當量密度的表示方法。表4的第二列數據是修正了梁的當量密和添加末端集中質量后，懸臂梁的前五階模態頻率理論值。ADAMS模型分析值與理論值的相對誤差說明：末端集中質量和修正當量密度的表示方法雖然存在一定誤差，但可以有效的將誤差保持在一定范圍內，而且此方法對研究柔性機械臂之間的振動耦合有意義。

圖11 當量密度對懸臂梁的模態頻率影響曲線Fig.11 The influence of equivalent density on the modal frequency of the cantilever beam

集中質量和當量密度的迭代求法為：

將連接柔性機械臂模型的前兩階模態頻率值帶入頻率特征方程中，得到兩個方程。方程組有兩個變量，即集中質量和當量密度。使用不動點迭代法求解，迭代方程收斂。編寫MATLAB求解程序，經3次迭代后求得集中質量為11.043 kg，梁的當量密度為4 891.99 kg/m3。

若柔性機械臂與柔性機械臂為自由關節連接，模態分析結果見表5。

表5柔性機械臂自由關節連接柔性機械臂的模態頻率
Tab.5Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorwithfreejointsconnectedwiththeflexiblemanipulator

模態階數ADAMS模型/Hz連接柔性機械臂模型/Hz相對誤差/%一階6.3776.3051.291二階241.614241.6090.002三階774.315774.3110.005四階1596.2721596.2680.0003五階2675.7242675.7190.0002

由表5中的相對誤差可知，自由關節連接條件下，柔性機械臂對柔性機械臂的模態頻率影響很小，可以忽略。因此柔性機械臂可以直接簡化為包含末端集中質量的懸臂梁模型。

4 結 論

不同邊界條件對懸臂梁的模態振型和模態頻率變化規律的影響相差很大。因此，將柔性機械臂簡化為懸臂梁時，不能簡單地根據機械臂末端受彎矩或剪力把梁末端的邊界條件簡化為固定端或簡支端。分析了兩個實例：① 剛性機械臂對柔性機械臂的模態影響，若是驅動關節連接時，可用包含集中質量加扭轉彈簧邊界條件的懸臂梁表示，若是自由關節連接，則可忽略剛性機械臂對柔性機械臂的模態影響；② 柔性機械臂對柔性機械臂的模態影響，若是驅動關節連接，提出了用包含集中質量和修正當量密度的懸臂梁表示若是自由關節連接，柔性機械臂對柔性機械臂的模態影響同樣可忽略。

仿真結果表明，添加了合適邊界條件的懸臂梁模型，能很好的表示柔性機械臂運動過程中的柔性效應。通過研究邊界條件對懸臂梁的模態影響，不僅能提高假設模態法建模的精度，而且進一步有利于提出對欠驅動柔性機械臂的有效的控制方法，以及對柔性機械臂的減震的主動控制方法。

[1] 何廣平, 陸震, 王鳳翔,等. 柔性欠驅動機械臂的內共振現象及應用[J]. 北京航空航天大學學報, 2005, 31(8):913-916.

HE Guangping, LU Zhen, WANG Fengxiang, et al. Internal resonance property of flexible under-actuated manipulators[J]. Journal of Beihang University, 2005, 31(8):913-916.

[2] 唐國潮, 金國光, 劉遠. 柔性機械臂動力學建模及特性研究[J]. 機械科學與技術, 2009, 28(8):1031-1034.

TANG Guochao, JIN Guoguang, LIU Yuan. Dynamic modeling and performance analysis of a flexile arm[J]. Mechanical Science and Technology, 2009, 28(8):1031-1034.

[3] 方建士, 章定國. 旋轉懸臂梁的剛柔耦合動力學建模與頻率分析[J]. 計算力學學報, 2012, 29(3):333-339.

FANG Jianshi, ZHANG Dingguo. Rigid-flexible coupling dynamic modeling and frequency analysis of a rotating cantilever beam[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2012, 29(3):333-339.

[4] 王斌銳, 方水光, 金英連. 綜合關節和桿件柔性的機械臂剛柔耦合建模與仿真[J]. 農業機械學報, 2012, 43(2): 211-215.

WANG Binrui, FANG Shuiguang, JIN Yinglian. Dynamics and simulation of rigid-flexible coupling robot arm with flexible joint and link[J]. Chinese Journal of Agricultural Machinery, 2012, 43(2): 211-215.

[5] 崔玲麗, 張建宇, 高立新, 等. 柔性機械臂系統動力學建模的研究[J]. 系統仿真學報, 2007, 19(6):1205-1208.

CUI Lingli, ZHANG Jianyu, GAO Lixin, et al, Research on Dynamic Modeling of Flexible Manipulator System[J]. Journal of System Simulation, 2007, 19(6):1205-1208.

[6] 范紀華, 章定國. 旋轉柔性懸臂梁動力學的Bezier插值離散方法研究[J]. 物理學報, 2014, 63(15):154501.

FAN Jihua，ZHANG Dingguo. Bezier interpolation method for the dynamics of rotating flexible cantilever beam[J]. Journal of Physics, 2014, 63(15):154501.

[7] 范紀華, 章定國. 旋轉懸臂梁動力學的B樣條插值方法[J]. 機械工程學報, 2012, 48(23):59-64.

FAN Jihua, ZHANG Dingguo. B-spline interpolation method for the dynamics of rotating cantilever beam[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(23):59-64.

[8] 王磊, 陳柳, 何玉林,等. 基于假設模態法的風力機動力學分析[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(11):122-126.

WANG Lei, CHEN Liu, HE Yulin, et al. Dynamic analysis of a wind turbine base on assumed mode method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(11):122-126.

[9] 陳思佳. 剛-柔耦合問題與空間多桿柔性機械臂的動力學建模理論研究[D]. 南京：南京理工大學理學院, 2012: 34-46.

[10] HE X S. Dynamic modeling of flexible beam with considering shear deformation in non-inertial reference frame[J]. Acta Physica Sinica, 2011, 60(4):271-277.

[11] 曹青松, 黎林, 張敏. 壓電型柔性機械臂動力學建模研究[J]. 煤礦機械, 2010, 31(4):48-51.

CAO Qingsong, LI Lin, ZHANG Min. Research on dynamic modeling of piezoelectric flexible manipulator[J]. Coal Mine Machinery, 2010, 31(4):48-51.

[12] 田穎. 輪式懸架移動柔性機械手動力學建模分析與仿真[D]. 天津：河北工業大學機械工程學院, 2014: 13-22.

[13] 陳煒, 余躍慶, 張緒平,等. 欠驅動柔性機器人動力學建模及仿真[J]. 中國機械工程, 2006, 17(9):931-936.

CHEN Wei, YU Yueqing, ZHANG Xuping, et al. Dynamic modeling and simulation of underactuated flexible robot[J]. China Mechanical Engineering, 2006, 17(9):931-936.

[14] ZHU Y, QIU J, TANI J. Simultaneous optimization of a flexible robot arm[J]. Jsme International Journal, 2000, 43(1):32-37.

[15] SPECTOR V A, FLASHNER H. Modeling and design implications of noncollocated control in flexible systems[J]. Journal of Dynamic Systems Measurement & Control, 1990, 112(2):186-193.

[16] RAO S S. Mechanical Vibrations[M]. 李欣業，張明路，譯. 4版. 北京: 清華大學出版社, 2009:439-449.

[17] 張永德, 汪洋濤, 王沫楠, 等. 基于ANSYS與ADAMS的柔性體聯合仿真[J]. 系統仿真學報, 2008, 20(17):4501-4504.

ZHANG Yongde, WANG Yangtao, WANG Monan, et al. Co-simulation of flexible body based on ANSYS and ADAMS[J]. Journal of System Simulation, 2008, 20(17):4501-4504.

Modalanalysisofcantileverbeamswithdifferentboundaryconditions

LIU Jianying, WANG Xiaoyue, GONG Jinliang

(College of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

In order to improve the accuracy of the dynamic model of a flexible manipulator, deduced by the assumed mode method, the manipulator was simplified as a cantilever beam. By analyzing the influences of different boundary conditions on the lateral vibration of the Euler-Bernoulli cantilever beam, the shear boundary condition at the cantilever free end was specified as a specific mass and a tensile spring, and the bending moment boundary conditions were specified as specific torsion springs and rotational inertia components. The modal frequencies and vibration modes of the cantilever beam under various boundary conditions were calculated. The results show that the cantilever beam model attached with the specified boundary conditions can better describe the vibration of the flexible manipulator, and improve the accuracy of the dynamic model deduced by the assumed modal method. Considering the strong coupling between the modes of the flexible manipulator the method of equivalent density correction was further put forward. Finally, the iterative calculation method for taking into account the specified boundary conditions and the modified equivalent density was proposed. The ANSYS and Adams were used combinedly to simulate and analyse the vibration modes of a flexible manipulater with two links connected by driving joints and free joints, and the correctness of the calculation method was thus verified by the results.

flexible manipulator; cantilever beam model; boundary condition; modal vibration

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.033

國家自然科學基金(61303006)；山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金項目(BS2012ZZ009)

2016-04-01 修改稿收到日期：2016-08-10

劉建英 男，碩士生，1990年2月生

王效岳 男，博士，教授，1961年3月生