超彈性形狀記憶合金阻尼器的減振特性研究

張振華，繩 飄, 王欽亭，吳志強

(1.河南理工大學 力學系，河南 焦作 454000；2.天津大學 力學系，天津 300072)

超彈性形狀記憶合金阻尼器的減振特性研究

張振華1，繩 飄1, 王欽亭1，吳志強2

(1.河南理工大學 力學系，河南 焦作 454000；2.天津大學 力學系，天津 300072)

研究了環境變量(溫度和外激勵幅值)對超彈性形狀記憶合金阻尼器減振特性的影響。用多線性本構模型來表示SMA偽彈性，建立了SMA振動系統的動力學模型。通過平均法求解了方程主共振的幅頻響應解，并用數值方法驗證其計算的準確性。通過定義SMA振動系統與對應線性系統的共振幅值比、共振頻率比來表示SMA阻尼器的減振和調頻效果，并研究了環境變量與其的定量關系。研究結果表明：溫度升高對SMA減振和調頻是不利的；而外激勵幅值在一定的范圍內取值時，SMA阻尼器具有良好的減振和調頻效果。此研究結果可為SMA阻尼器使用環境條件的選擇提供參考。

形狀記憶合金;偽彈性;溫度;減振

形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，SMA)的偽彈性是SMA在奧氏體相下由應力誘發馬氏體相變的一種物理和力學行為。偽彈性SMA能夠在卸載后自主回復變形，其最大可回復應變能達到8%，并且會產生應力-應變的滯后關系，能夠起到大變形回復和阻尼的作用。此外SMA具有較好的抗疲勞和抗腐蝕能力，能夠適應不同的工程環境。正因為偽彈性SMA這些優秀的品質，其被作為阻尼和自定心元件廣泛地應用于工程結構的振動控制。

Graesser等[1]開始研究偽彈性SMA在結構振動控制的應用。此后，學者們利用SMA構造各種減、隔振裝置來對框架建筑[3-6]、橋梁[7-8]和機械結構[9]等進行振動控制研究，結果均表明SMA作為阻尼和自定心元件能夠有效降低結構動力學響應。

溫度與SMA的相變和阻尼特征密切相關，因此有必要研究溫度等參數對SMA阻尼器的結構振動控制效果的影響。而目前利用SMA偽彈性進行被動減隔振的研究中，考慮溫度影響的研究還比較少。Huang等試驗研究了在溫度11 °C～120 °C范圍內SMA振子動力學響應特征，研究結果表明溫度增加使SMA的阻尼作用降低。Ozbulut等[10-11]用神經模糊數學的方法建立了考慮溫度SMA偽彈性模型，進而用數值方法研究了溫度對NiTi-SMA-摩擦支座減振作用的影響，研究表明在溫度為0 °C、20 °C和40 °C時，該隔振器均能起到有效地降低結構地震反應，但是隔振效率隨溫度增高而降低。上述試驗和數值研究的結果是離散，溫度對SMA阻尼器減振效果的具體規律需要進一步的理論分析。

本研究采用分段線性模型描述SMA的偽彈性，利用平均法求解SMA振子的幅頻響應方程，并通過定義SMA振子與其派生線性系統的共振峰值比和頻率比來定量研究溫度和外激勵對SMA減振特性的影響規律，為SMA阻尼器適用溫度和激勵環境的選擇提供依據。

1 SMA雙線性本構模型

SMA的Tanaka-Liang-Brinson(TLB)系列模型[12-14]是目前應用的最為廣泛的系列模型之一。TLB系列本構模型形式簡單，而且避開自由能等參數測量的困難，因此被廣泛應用在含SMA結構的分析中。但是該類模型中的非線性相變熱力學方程給求解問題帶來了困難。隨著研究的深入和工程應用的需要，有學者在TLB系列模型的基礎上提出了分段線性化偽彈性本構模型[15-16]，該類模型避開了非線性熱力學方程求解的困難，極大地提高了非線性的效率，線性顯式本構關系在數值計算中不受計算子步大小的影響，能夠很好的收斂，因此越來受到人們的重視，對SMA阻尼器的動力學研究及工程設計有比較重要的意義。

本文采用文獻[16]中的分段線性模型來表示SMA的偽彈性，其應力-應變關系如圖1所示。

(a) εmax>εMf

(b) εMs<εmax≤εMf圖1 SMA多線性模型Fig.1 The SMA multilinear model

圖1(a)表示SMA的卸載發生在相變完成后的應力-應變曲線，而圖1(b) SMA的卸載發生在相變過程中的應力-應變曲線。

SMA的應力-應變關系可用式(1)表示

σs=kiε+σi0, (i=1,2,3,4)

(1)

式中：k1=EA;k2=(σMf-σMs)/(εMf-εMs);k3=

根據文獻[16]，式(1)中的相變應力、應變和溫度之間存在如式(2)所示的關系

σMs=CM(T-Ms)，εMs=σMs/EA，

σMf=CM(T-Mf)，εMf=εL+σMf/EM，

σAs=CA(T-As)，εAs=εL+σAs/EM，

σAf=CA(T-Af)，εAf=σAf/EA

(2)

式中：Ms和Mf分別為SMA馬氏體相變開始和結束溫度；As和Af分別為SMA奧氏體相變開始和結束溫度；CA和CM為SMA相變材料常數；T為SMA的溫度。本文中SMA的參數如表1所示。

表1 SMA參數列表Tab.1 List of parameters of SMA

滯洄阻尼是SMA的特征之一，圖2是當εmax=εMf時，偽彈性SMA的等效阻尼比隨溫度的變化規律。結果表明當溫度從0 ℃增加到50 ℃時，SMA等效阻尼比減少了75%，說明溫度的升高會顯著減弱SMA的阻尼能力。

圖2 SMA的等效阻尼比與溫度關系Fig.2 Relationship between equivalent damping ratio of SMA and temperature

2 動力學方程及求解

2.1動力學方程

SMA振動系統如圖3所示，其中F(X)是形狀記憶合金引起的回復力，因為在本研究中SMA是絲材，不承受壓力，所以F(X)具體表達式為

(3)

式中,A為SMA的橫截面積，且取SMA和彈簧的原長度為L。

圖3 動力系統Fig.3 The dynamic system

容易建立該系統的動力學模型如式(4)

(4)

式中，M,K,C分別為振動系統中的質量、剛度、結構阻尼系數。

(5)

從ξ定義可知，ξ越大表明SMA提供的回復力在系統中所占比例越大，在本文中取ξ=2×10-6，此時SMA元件奧氏體彈性階段剛度是線性彈簧元件的1/10。此外取阻尼系數η=0.01。

2.2平均法求解

平均法是攝動法的一種，可以被用來求解弱非線性動力學方程。下面用平均法求解動力學方程式(5)，并用數值計算對求解結果進行驗證。

設系統主共振響應解為

x=ycos(γt+θ)

(6)

式中:y為振幅;θ為相角;兩者均是時間的緩變函數。令φ=γt+θ，用平均法對式(5)求解可得

(7a)

(7b)

其中,

對By，Bθ實際計算時，根據偽彈性SMA不同加卸載變形階段，將積分區間進行劃分，積分的具體結果見附錄。

(8)

因為By和Bθ是y的分段函數，因此所得到的幅頻響應方程也是分段的。如果給出所有的參數，就可以根據式(8)畫出系統的幅頻響應圖。如圖4所示，是本系統典型的幅頻響應曲線，圖中上下兩條點劃線分別表示y=εMs和y=εMf，此兩條線將幅頻響應曲線分成三段，自下而上分別為第一段、第二段和第三段。此三段分別對應著形狀記憶合金的奧氏體下的線性段、馬氏體相變段和相變完成段，第一段為線性段，第二段呈現軟特性，第三段呈現硬特性。圖中的圓點是數值計算的結果，和平均法計算的結果非常接近，證明本文中平均法得到的幅頻方程是準確的。

圖4 典型的幅頻響應曲線和數值結果的比較Fig.4 The classical amplitude-frequency response curves and their numerical results

3 幅頻響應分析

3.1溫度和外激勵幅值對幅頻響應特性的影響

為了更直觀的了解溫度和外激力幅值對幅頻響應特征的影響，圖5和圖6分別給出了不同外激勵幅值和不同溫度下的幅頻響應曲線。圖5表明，外激勵幅值較低時，系統呈現明顯的軟特性，隨著外激勵幅值增大，系統的軟特性減弱，當幅頻響應極值超過馬氏體相變結束應變后，系統由軟特性向硬特性過渡；在圖6中給出了2個特定外激勵幅值下不同環境溫度中的幅頻響應曲線。在圖6(a)的曲線驗證了環境溫度對曲線軟特性的影響，同時也表明，當幅頻響應的峰值處在第二段時，幅頻響應的峰值隨著環境溫度增加而增加；從圖6(b)幅頻響應的峰值達到第三段，溫度對其極值仍有一定影響；從圖6(a)和圖6(b)上總體上看，溫度和外激勵對幅頻響應曲線的峰值和滯后性質有著一定的影響，為了更加明確溫度和外激勵幅值對系統減振和調頻的作用，將在4.2中通過定義SMA系統和對應線性系統的幅頻響應共振峰值比和共振頻率比，找出溫度和外激勵幅值對SMA減振性能的具體影響規律。

圖5 外激勵幅值對幅頻響應性質的影響(T=0 °C)Fig.5 Influence of external excitation amplitude on characteristics of amplitude-frequency responses (T=0 °C)

3.2減振與調頻效果分析

在SMA馬氏體相變開始前，系統處于線性階段，此時SMA沒有滯后效應；當SMA馬氏體相變開始后(y>εMs)，SMA的滯后效應才起作用。本節就討論振動幅值y>εMs時，SMA對系統的減振和調頻作用。

幅頻響應式(8)對γ求導，得幅頻響應的極值點(γm,ym)應滿足的條件為

γm=1+Bθ(ym)

(9a)

f2=[ηym-2By(ym)]2

(9b)

式(9a)為幅頻響應的骨架曲線，和激勵幅值無關。

將式(5)中由SMA產生的回復力σ用SMA奧氏體狀態下的彈性階段的本構方程代替，得到線性化的動力系統如下

(10)

(11)

(a) f=1×10-3

(b) f=2×10-3圖6 溫度對幅頻響應性質的影響Fig.6 The influence of temperature on characteristics of the amplitude-frequency response curves

(12a)

(12b)

根據式(12)可以做峰值比Y和頻率比Γ隨外激勵幅值的變化曲線，如圖7所示，該圖給出不同溫度下外激勵頻率對峰值比和頻率比的影響。

從圖7中可以清楚看出，在同一條曲線上存在著一個非光滑點，此非光滑點是由于式(12)的分段性質造成的。在非光滑點之前，SMA的振動幅值未能達到馬氏體相變結束時的應變εMf；非光滑點以后，SMA振動幅值已經超過εMf。總體上來看，外激勵的幅值和SMA的溫度對峰值比和頻率比都有較為明顯的影響。共振峰值比和共振頻率均隨外激勵幅值的增加先減小后增大，但共振峰值比在SMA馬氏體相變完成前達到了極小值(0.46-0.65)，而共振頻率比是在SMA馬氏體相變完成時取得極小值。隨著溫度的增加，共振峰值比和頻率比均有不同程度的增加，當溫度從0 ℃增加到50 ℃時，共振峰值比的極小值增加了39%，而共振頻率比的極小值增加了0.3%。故溫度對SMA的減振作用影響顯著，這是因為SMA的阻尼效應隨溫度增加而減弱。而Huang等通過SMA振子的自由振動試驗表明了SMA的阻尼減振作用會隨溫度升高而減弱，溫度從11 °C 增加至80 °C時，SMA的阻尼比減少85%。

(a) 共振峰值比

(b) 共振頻率比圖7 SMA的減振和調頻作用Fig.7 The damping and frequency tuning effects of SMA

4 結 論

研究了含SMA阻尼器振動系統的動力學響應和溫度、外激勵幅值之間的關系。具體研究結果如下：

(1) 溫度對SMA的阻尼性能有比較大的影響，當SMA的最大應變取馬氏相變結束應變時，SMA的等效阻尼比在溫度從0 ℃增加到50 ℃時減小75%。

(2) 隨外激勵幅值增加，SMA的減振效果先增加后降低，且在SMA應變極值處于馬氏體相變中段時其減振效果最好，此時含SMA系統的共振峰值可低至其派生線性系統的46%；隨溫度的增加SMA的減振作用顯著減弱，當溫度從0 ℃增加到50 ℃時，含SMA系統與其線性派生系統共振峰值比的極小值增加39%。

(3) 根據本研究中的定量式(12)，可確定使SMA阻尼器具有理想減振效果的溫度和外激勵幅值，為SMA阻尼器的工程應用提供指導。

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附錄：

在式(7)中By1，By2，By3，Bθ1，Bθ2，Bθ3的表達式為

By1=0

2σ30(ε1-y)-2σ20(y-εMs)]

2σ30(εAs-εMf)-2σ20(εMf-εMs)]

Bθ1=ξk1/2

Vibrationreductioncharacteristicsofasuperelasticshapememoryalloydamper

ZHANG Zhenhua1, SHENG Piao1, WANG Qinting1, WU Zhiqiang2

(1. Department of Mechanics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China;2. Department of Mechanics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

In order to choose the reasonable application environment of a shape memory alloy (SMA) damper, the influences of environment parameters such as temperature and amplitude of excitation on the vibration reduction characteristics of the shape memory alloy damper were investigated. The dynamic equation of a vibration system was established where a bilinear model was adopted for the damper to describe the superealsticity of SMA, and then the equation was transformed into the dimensionless one. Subsequently, the primary resonance amplitude-frequency response of the dynamic system was acquired by the average method, and its accuracy was confirmed by the numerical method. Finally, the concepts of resonance amplitude ratio and resonance frequency ratio between the system with SMA damper and the corresponding linearized system were defined to express respectively the effects of vibration reduction and frequency tuning of the SMA damper, and the relationships between the environment parameters and the effects were studied. The results indicate that the vibration reduction effect will be weakened as the temperature increases, and the SMA damper will work well in a certain range of excitation amplitude. The results give a guide to choose the application environment for the SMA damper.

shape memory alloy; superelasticity; temperature; vibration reduction

TU352.1+2; TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.026

國家自然科學基金資助項目(51308195)；河南省科技廳科技攻關項目(132102210252)

2016-10-17 修改稿收到日期：2016-12-26

張振華 男，博士,副教授，1981年5月生