實變量復值函數(shù)的連續(xù)性

□陳歡

（陜西國際商貿學院基礎部陜西咸陽712046）

實變量復值函數(shù)的連續(xù)性

□陳歡

（陜西國際商貿學院基礎部陜西咸陽712046）

本文研究了復值函數(shù)的分析性質,給出復值函數(shù)的極限與有界性定義。提出了復值函數(shù)連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)、區(qū)間連續(xù)的概念。給出了復值復合函數(shù)的概念。

復值函數(shù)；復合復值函數(shù)；復值函數(shù)連續(xù)；有界性

將實值函數(shù)進行傅里葉變換得到復值函數(shù)。傅里葉變換在信號處理，圖像處理以及微分方程求解中有廣泛的應用，復值函數(shù)的研究并不像實值函數(shù)那么深入。對復值函數(shù)研究是必要而有意義的。本文提出了復值函數(shù)連續(xù)的概念，討論復值函數(shù)的連續(xù)性，給出了復值函數(shù)在求解中的應用例子。

1 復值函數(shù)的概念

根據(jù)實值函數(shù)的概念，引入復值函數(shù)的概念與復合復值函數(shù)如下：

定義1.1[3]設y=φ(t)和y=ψ(t)是區(qū)間[α,b]上的實函數(shù)，是虛數(shù)單位，如果對于區(qū)間[α,b]中的每一個實數(shù)t，有唯一復數(shù)z(t)=φ(t)+iψ(t)與它對應，則稱在區(qū)間[α,b]上給定了一個復值函數(shù)，記作z=z(t)，t∈[α,b].

定義1.2（復合復值函數(shù)）設有一個復值函數(shù)w=f(u)與實函數(shù)u=φ(t)

記E*={t|φ(t)∈D}∩E。若E*不為空，則對每一個t∈E*，可通過實值函數(shù)u=φ(t)對應D內唯一的一個值u，而u又是通過復值函數(shù)f(u)對應唯一的一個值w。這就確定了一個定義在E*上的復值函數(shù)，它以t為自變量，w為因變量，記作

稱為復值函數(shù)f(u)和實值函數(shù)φ(t)的復合函數(shù)，并稱f(u)為外函數(shù)，φ(t)為內函數(shù)，u為中間變量。復值函數(shù)f(u)和實值函數(shù)φ(t)的復合運算也可記為f°φ。

定義1.3設z(t)=φ(t)+iψ(t)是定義在區(qū)間[α,b]上的復值函數(shù)，若φ(t)和ψ(t)均是[α,b]上的有界函數(shù)，那么稱z=z(t)是[α,b]上的有界復值函數(shù)。

還可以按照下面的方法刻畫它的有界性：設z=z(t)是定義在區(qū)間[α,b]上的復值函數(shù)，若存在正數(shù)M,使得對每一個t∈[α,b]有

則稱z=z(t)是α≤t≤b上的有界復值函數(shù)。

2 復值函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)性不僅是實值函數(shù)的重要性質，也是復值函數(shù)的一個重要性質。本節(jié)給出復值函數(shù)極限，連續(xù)的定義，討論它們的性質。

定義2.1（復值函數(shù)極限的ε-δ定義）設復值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]上一點t0的某個去心鄰域U0(t0;δ')內有定義，A為一個確定的復數(shù)。若對任給的ε＞0，存在正數(shù)δ(＜δ')，使得當0＜|t-t0|＜δ時，有

則稱復值函數(shù)z=z(t)當t趨于t0時以A為極限，記作

利用實函數(shù)極限給出復值函數(shù)極限的一條性質。

性質2.1[3]復值函數(shù)在t趨于t0時有極限的充分必要條件是它的實部與虛部在t趨于t0時有極限。

定義2.2[3]設復值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]的某個鄰域U(t0)上有定義，若

則稱z=z(t)在點t0連續(xù)。

性質2.2復值函數(shù)在t0點連續(xù)等價于它的實部與虛部在t0點連續(xù)。

證?由復值函數(shù)z(t)=φ(t)+iψ(t)在t0點連續(xù)知

?由實函數(shù)φ(t)，ψ(t)在點t0連續(xù)知

定義2.3（在區(qū)間上連續(xù)）如果復值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間(α,b)上的每一點都連續(xù)，且在α點右連續(xù)，在b點左連續(xù)，那么就稱復值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]上連續(xù)。

例證明z(t)=t+it2在[-1,1]上連續(xù)。

證任取t0∈(-1,1)，因為，所以z(t)在(-1,1)上每一點都連續(xù)。又因為，所以z(t)在(-1,1)上連續(xù)。

定理2.1若復值函數(shù)z=z(t)在t0點連續(xù)，則它在t0的鄰域內局部有界。

定理2.2若復值函數(shù)z=z(t)在[α,b]連續(xù)，則它在[α,b]內有界。

結束語

本文關于復值函數(shù)的連續(xù)性首先引入復值函數(shù)的概念，給出復值函數(shù)的連續(xù)與極限的概定義，連續(xù)性也是復值函數(shù)的一個重要性質。本文還給出了復值函數(shù)的左右連續(xù)、在某一點連續(xù)、區(qū)間連續(xù)等多個概念，具有重要的應用價值。

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析.第四版.上下冊.北京：高等教育出版社，2010.

[2]蘇變萍，陳東立.復變函數(shù)與積分變換.第二版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.第三版.北京：高等教育出版社，2006.

Properties of complex-valued functions with real variables

CHEN Huan

(Dept.of Fundamentals,Shaanxi Institute of International Trade&Cmmerce,Xianyang,712046)

This paper studies the analysis proper ties of complex valued functions,and puts forward the concept of complex valued functions continuous,lef t continuous,right continuous and intervals continuous.The properties of complex valued function are given.The appl ication of complex valued function in the solution is given.

complex value functions;Complex complex valued function;Continuous value function;Property of complex function

1004-7026（2017）20-0130-02

O211.5

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.20.102

陜西國際商貿學院校級項目（SMXY201642）。

陳歡（1989-），女，陜西漢中人，碩士，助教,從事小波分析的研究。