緩坡方程的非線性改進及其驗證分析

江森匯+舒勰俊+侯堋

摘 要：弱非線性緩坡方程和弱非線性彌散關(guān)系不足以描述現(xiàn)有海洋波浪的非線性現(xiàn)象。在總結(jié)概述前人關(guān)于緩坡方程波浪數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，從Laplace方程出發(fā)，利用攝動展開方法推導(dǎo)出一強非線性緩坡方程，以此為控制方程，采用有限差分方法，并利用橢圓淺灘地形對強非線性緩坡方程進行了分析和探討。結(jié)果表明，在橢圓淺灘前沿及兩側(cè)，計算精度比Maa（2002）的模式結(jié)果有所提高，與實驗結(jié)果吻合較好，體現(xiàn)了非線性的作用。

關(guān)鍵詞：緩坡方程 非線性 波浪變形

1.前言

Berkhoff最早根據(jù)勢波理論采用小參數(shù)展開法，從Laplace方程出發(fā)導(dǎo)出了緩坡方程，稱為傳統(tǒng)緩坡方程，已被廣泛應(yīng)用于近岸海域的波浪場計算。目前，很多研究人員在考慮各種動力機制的情況下簡化和改進了緩坡方程，并給出了一批拓展型緩坡方程。緩坡方程的改進大致可分為三類：一是對傳統(tǒng)緩坡方程本身進行改進，如轉(zhuǎn)化為拋物型緩坡方程或雙曲型緩坡方程、考慮底摩阻作用、陡變地形作用、波浪破碎作用、波流相互作用等；二是對方程所采用的彌散關(guān)系進行改進，如Kirby、李瑞杰等都提出了各自的非線性彌散關(guān)系，使緩坡方程數(shù)學(xué)模型的計算結(jié)果大大改善；三是對求解緩坡方程的數(shù)值方法進行改進，如利用有限元法（FE）、共軛梯度算法（CG）、廣義共軛梯度法（GCG）、高斯消去法（GE）等求解緩坡方程。

然而，以上的三類改進都是對緩坡方程的弱非線性作用進行改進。波浪由外海傳播至近海時，由于受到水深、地形、建筑物等影響，非線性作用加強，弱非線性緩坡方程和弱非線性彌散關(guān)系不足以描述現(xiàn)有海洋波浪的非線性現(xiàn)象。本文在總結(jié)概述前人關(guān)于緩坡方程波浪數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出一非線性緩坡方程，以此為控制方程，采用有限差分方法，并利用橢圓淺灘地形對改進后的緩坡方程進行了分析和探討。

2.非線性緩坡方程的理論推導(dǎo)

從Laplace方程出發(fā)，利用攝動展開方法，在方程中乘以滿足底部邊界條件的水深因子，再由底部到水面沿水深積分，將三維問題簡化為二維問題，推導(dǎo)得到強非線性緩坡方程，即本文的控制方程。下面簡要說明推導(dǎo)過程，詳細的推導(dǎo)過程見文獻[13]。

考慮三維波浪場，假定流體不可壓、無粘、運動無旋，其控制方程及邊界條件分別如下所示：

拉普拉斯（Laplace）方程

在數(shù)值模擬過程中，采用具有二階精度的五點式中心差分將控制方程和邊界條件進行離散，再利用控制方程與邊界條件的有限差分格式建立帶狀矩陣方程，并采用具有節(jié)約型帶狀矩陣解法功能的高斯消去法（GEP法）在PC機上直接求解橢圓型緩坡方程。

3.數(shù)值模擬驗證及分析

為了觀察推導(dǎo)出的非線性緩坡方程的適用性和計算結(jié)果的精度，采用Berkhoff的橢圓地形進行驗證。通過數(shù)值試驗，將改進后計算結(jié)果與Maa模式計算值及實驗數(shù)據(jù)進行比較，探討改進后模型的模擬精度。

Berkhoff橢圓具體水下地形和實測斷面布置如圖1所示。計算條件情況與原始實驗相同，入射波高H0為0.0464m，入射波周期T為1.0s，入射方向為沿+x方向；x、y方向步長分別取為0.05m和0.1m；其它三邊邊界采用完全吸收邊界。

圖2分別給出了斷面1～8的相對波高（H/H0）實驗值、Maa等模式的計算值和改進模型計算值的比較圖。從圖2可以看出，斷面1～5對C1值的改變的敏感程度不高，只是在局部位置存在波動，基本與Maa等模式重合；而斷面6～8的計算值隨C1值變化影響較大，尤其是在橢圓淺灘前沿及兩側(cè)處，C1值變大，出現(xiàn)振蕩，呈現(xiàn)強非線性效應(yīng)，擬合趨勢優(yōu)于Maa等模式，計算值更接近實驗值。斷面6～8在15m后面的區(qū)域，無論Maa等模式還是改進模型的計算值均有較大的偏差，其原因可能是由于模型未考慮底摩阻和波浪破碎的影響，而使得計算值較實測值偏大。盡管在個別斷面上存在一定誤差，還有變差的趨勢，但整體上模型的計算結(jié)果的計算精度相比Maa等模式有所提高，與實驗結(jié)果吻合較好，體現(xiàn)了強非線性的作用。

4.結(jié)語

針對緩坡方程弱非線性的局限性，利用攝動展開方法推導(dǎo)出一強非線性緩坡方程，并采用橢圓淺灘地形驗證其計算精度。將模擬結(jié)果和Maa等模式計算結(jié)果及實驗數(shù)據(jù)進行比較，結(jié)果表明，在橢圓淺灘前沿及兩側(cè)，計算結(jié)果出現(xiàn)振蕩，與實驗結(jié)果吻合較好，計算精度相比Maa等模式有所提高，呈現(xiàn)出非線性效應(yīng)。在推導(dǎo)出的非線性緩坡方程中存在待定系數(shù)C1，假定C1值為常系數(shù)，通過選取不同的C1值得到的模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的比選，分析C1值對非線性性能的影響，確定最佳C1值。隨著C1值的增大，非線性加強，可能導(dǎo)致計算結(jié)果失真，以后將進一步討論其與波高、波長和水深等因素的函數(shù)關(guān)系及其物理意義。

參考文獻：

[1]Berkhoff J C W. Computation o f c o m b i n e d r e f r a c t i o n -diffraction[A].In Proc. 13th Int.Conf.on Coastal Engineering[C]. ASCE，1972，471-490.endprint