緩坡方程的非線性改進(jìn)及其驗(yàn)證分析

江森匯+舒勰俊+侯堋

摘 要：弱非線性緩坡方程和弱非線性彌散關(guān)系不足以描述現(xiàn)有海洋波浪的非線性現(xiàn)象。在總結(jié)概述前人關(guān)于緩坡方程波浪數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，從Laplace方程出發(fā)，利用攝動(dòng)展開方法推導(dǎo)出一強(qiáng)非線性緩坡方程，以此為控制方程，采用有限差分方法，并利用橢圓淺灘地形對(duì)強(qiáng)非線性緩坡方程進(jìn)行了分析和探討。結(jié)果表明，在橢圓淺灘前沿及兩側(cè)，計(jì)算精度比Maa（2002）的模式結(jié)果有所提高，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，體現(xiàn)了非線性的作用。

關(guān)鍵詞：緩坡方程 非線性 波浪變形

1.前言

Berkhoff最早根據(jù)勢波理論采用小參數(shù)展開法，從Laplace方程出發(fā)導(dǎo)出了緩坡方程，稱為傳統(tǒng)緩坡方程，已被廣泛應(yīng)用于近岸海域的波浪場計(jì)算。目前，很多研究人員在考慮各種動(dòng)力機(jī)制的情況下簡化和改進(jìn)了緩坡方程，并給出了一批拓展型緩坡方程。緩坡方程的改進(jìn)大致可分為三類：一是對(duì)傳統(tǒng)緩坡方程本身進(jìn)行改進(jìn)，如轉(zhuǎn)化為拋物型緩坡方程或雙曲型緩坡方程、考慮底摩阻作用、陡變地形作用、波浪破碎作用、波流相互作用等；二是對(duì)方程所采用的彌散關(guān)系進(jìn)行改進(jìn)，如Kirby、李瑞杰等都提出了各自的非線性彌散關(guān)系，使緩坡方程數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果大大改善；三是對(duì)求解緩坡方程的數(shù)值方法進(jìn)行改進(jìn)，如利用有限元法（FE）、共軛梯度算法（CG）、廣義共軛梯度法（GCG）、高斯消去法（GE）等求解緩坡方程。

然而，以上的三類改進(jìn)都是對(duì)緩坡方程的弱非線性作用進(jìn)行改進(jìn)。波浪由外海傳播至近海時(shí)，由于受到水深、地形、建筑物等影響，非線性作用加強(qiáng)，弱非線性緩坡方程和弱非線性彌散關(guān)系不足以描述現(xiàn)有海洋波浪的非線性現(xiàn)象。本文在總結(jié)概述前人關(guān)于緩坡方程波浪數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出一非線性緩坡方程，以此為控制方程，采用有限差分方法，并利用橢圓淺灘地形對(duì)改進(jìn)后的緩坡方程進(jìn)行了分析和探討。

2.非線性緩坡方程的理論推導(dǎo)

從Laplace方程出發(fā)，利用攝動(dòng)展開方法，在方程中乘以滿足底部邊界條件的水深因子，再由底部到水面沿水深積分，將三維問題簡化為二維問題，推導(dǎo)得到強(qiáng)非線性緩坡方程，即本文的控制方程。下面簡要說明推導(dǎo)過程，詳細(xì)的推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[13]。

考慮三維波浪場，假定流體不可壓、無粘、運(yùn)動(dòng)無旋，其控制方程及邊界條件分別如下所示：

拉普拉斯（Laplace）方程

在數(shù)值模擬過程中，采用具有二階精度的五點(diǎn)式中心差分將控制方程和邊界條件進(jìn)行離散，再利用控制方程與邊界條件的有限差分格式建立帶狀矩陣方程，并采用具有節(jié)約型帶狀矩陣解法功能的高斯消去法（GEP法）在PC機(jī)上直接求解橢圓型緩坡方程。

3.數(shù)值模擬驗(yàn)證及分析

為了觀察推導(dǎo)出的非線性緩坡方程的適用性和計(jì)算結(jié)果的精度，采用Berkhoff的橢圓地形進(jìn)行驗(yàn)證。通過數(shù)值試驗(yàn)，將改進(jìn)后計(jì)算結(jié)果與Maa模式計(jì)算值及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，探討改進(jìn)后模型的模擬精度。

Berkhoff橢圓具體水下地形和實(shí)測斷面布置如圖1所示。計(jì)算條件情況與原始實(shí)驗(yàn)相同，入射波高H0為0.0464m，入射波周期T為1.0s，入射方向?yàn)檠?x方向；x、y方向步長分別取為0.05m和0.1m；其它三邊邊界采用完全吸收邊界。

圖2分別給出了斷面1～8的相對(duì)波高（H/H0）實(shí)驗(yàn)值、Maa等模式的計(jì)算值和改進(jìn)模型計(jì)算值的比較圖。從圖2可以看出，斷面1～5對(duì)C1值的改變的敏感程度不高，只是在局部位置存在波動(dòng)，基本與Maa等模式重合；而斷面6～8的計(jì)算值隨C1值變化影響較大，尤其是在橢圓淺灘前沿及兩側(cè)處，C1值變大，出現(xiàn)振蕩，呈現(xiàn)強(qiáng)非線性效應(yīng)，擬合趨勢優(yōu)于Maa等模式，計(jì)算值更接近實(shí)驗(yàn)值。斷面6～8在15m后面的區(qū)域，無論Maa等模式還是改進(jìn)模型的計(jì)算值均有較大的偏差，其原因可能是由于模型未考慮底摩阻和波浪破碎的影響，而使得計(jì)算值較實(shí)測值偏大。盡管在個(gè)別斷面上存在一定誤差，還有變差的趨勢，但整體上模型的計(jì)算結(jié)果的計(jì)算精度相比Maa等模式有所提高，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，體現(xiàn)了強(qiáng)非線性的作用。

4.結(jié)語

針對(duì)緩坡方程弱非線性的局限性，利用攝動(dòng)展開方法推導(dǎo)出一強(qiáng)非線性緩坡方程，并采用橢圓淺灘地形驗(yàn)證其計(jì)算精度。將模擬結(jié)果和Maa等模式計(jì)算結(jié)果及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果表明，在橢圓淺灘前沿及兩側(cè)，計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)振蕩，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，計(jì)算精度相比Maa等模式有所提高，呈現(xiàn)出非線性效應(yīng)。在推導(dǎo)出的非線性緩坡方程中存在待定系數(shù)C1，假定C1值為常系數(shù)，通過選取不同的C1值得到的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比選，分析C1值對(duì)非線性性能的影響，確定最佳C1值。隨著C1值的增大，非線性加強(qiáng)，可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真，以后將進(jìn)一步討論其與波高、波長和水深等因素的函數(shù)關(guān)系及其物理意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]Berkhoff J C W. Computation o f c o m b i n e d r e f r a c t i o n -diffraction[A].In Proc. 13th Int.Conf.on Coastal Engineering[C]. ASCE，1972，471-490.endprint