太陽影子定位技術的數學原理及其應用

盧 鵬 ，張興元 ，徐昌貴

（1.西南交通大學峨眉校區基礎課部，四川峨眉614202；2.西南交通大學數學學院，四川成都610031）

太陽影子定位技術的數學原理及其應用

盧 鵬1，2，張興元1，2，徐昌貴1，2

（1.西南交通大學峨眉校區基礎課部，四川峨眉614202；2.西南交通大學數學學院，四川成都610031）

利用已有的天文學公式，推導建立了太陽影長與經度、緯度、日期、高度的數學模型.通過在不同時刻測量太陽影子端點處的多組坐標數據，運用最小二乘法原理反解模型，得到了直桿所在位置，以及測量日期.并用給定數據進行檢驗，得到了模型的正確性與可行性.

影長；高度角；經度；緯度；最小二乘法

如何確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數據分析的重要方面，太陽影子定位技術就是通過分析視頻中物體的影子變化，確定視頻拍攝地點和日期的一種方法.現根據某固定直桿（高度未知）在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據（坐標系未知），建立數學模型確定直桿所處的地點和日期.并將模型應用于影子頂點坐標數據.

1 問題分析

物體影子長度變化的參數分別有平太陽時、時角、赤緯角、太陽高度角、當地經度、當地緯度、日期、物體高度等，通過天文學知識將其進行整理，并建立影子長度數學模型.以物體（本文用直桿）為坐標原點建立平面直角坐標系，測量不同時刻時影子端點處的坐標，通過反解模型求出直桿所在位置與日期.

2 影子定位模型的建立

2.1 參數方程模型的建立

2.1 .1 北京時間與當時實際時間，即平太陽時存在偏差，所以需要對數據進行處理，把給出時間化為平太陽時.根據地球自轉一周365°，時長24 h，即地球角速度為15°/h，推得平太陽時計算公式［1］為：

其中：r-當地經度，rb-東經120°，tb-北京時間.

2.1 .2 時角是以正午12點為0°開始算，每一小時為15°，上午為負下午為正，因此時角的計算公式為：

2.1 .3 赤緯角是地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角.赤緯角不同，表示地球在運行軌道上的位置不同，影響日照范圍，即影響影長，其近似計算公式為：

其中：n為日期序號，取值范圍為［1,365］的整數；例如：2月8日，則n=39.

2.1 .4 太陽高度角指某地太陽光線與通過該地與地心相連的地表切線的夾角，如圖1所示.當太陽高度角為90°時，此時太陽輻射強度最大；當太陽斜射地面時，太陽輻射強度就小［2-3］.其近似計算公式為：

其中：φ為當地緯度.

2.1.5 太陽方位角即太陽所在的方位，指太陽光線在地平面上的投影與當地經線的夾角，可近似地看作是豎立在地面上的直線在陽光下的陰影與正南方的夾角，如圖1所示.其近似計算公式為：

2.2 坐標轉換模型的建立

本文中以直桿坐標為原點，建立了測量直桿影子坐標的直角坐標系［4］，但不能確定正北方向就為y軸正向，為了解決這個問題進行坐標變化，可以等到原坐標系與新坐標系（正北方向為y軸正向，如圖2所示）之間的關系：

圖1 高度角與方位角示意圖

其中：x0，y0表示直桿影子坐標系；x，y表示y軸為正北方向的坐標系.

2.3 影子定位模型的建立

地球是半徑約為6 731 km的近似球體，表面曲度小，在一定范圍內可近似看做平面，由圖3可得到影子在地平面上長度L、直桿長h和太陽高度角η間的關系：

由以上公式合并化簡帶入，可得影長與經度、緯度、日期、高度的最終函數表達式：

圖2 坐標轉換示意圖

圖3 太陽高度角與直桿的關系

其中：常數rb=120°，tb北京時間；變量經度r，緯度φ，日期n，高度h.

3 模型的求解

現有兩組數據，如表1所示，需要求解非線性方程組得出桿所在的位置與日期.因為坐標系的旋轉不會影響影子長度變化，即，從而可采用以目標函數為的優化模型進行求解，即用非線性最小二乘法擬合［5-7］求出模型中的未知變量，如：經度、緯度、日期和高度.

計算 MATLAB 程序［9］如下：

定義fun函數（下述代碼另存為工作目錄下的fun.m文件）：

function f=fun(k,t)

Lb=120;ga=23.45*sin(2*pi*(284+k(4))/365);

f=k(1)*cotd(abs(asind(sind(k(2))*sind(ga)+cosd(k(2))*cosd(ga)*cosd(k(3)-Lb-12*15+15*t))));

主程序：

T= [761/60 764/60 767/60 770/60 773/60 776/60 779/60 782/60 785/60 788/60 791/60 794/60 797/60 800/60 803/60 806/60 809/60 812/60 815/60 818/60 821/60;

-1.235 2-1.208 1-1.181 3-1.154 6-1.128 1-1.101 8-1.075 6-1.049 6-1.023 7-0.998-0.972 4-0.947-0.921 7-0.896 5-0.871 4-0.846 4-0.821 5-0.796 7-0.771 9-0.747 3-0.722 7;

0.1 73 0.189 0.204 8 0.220 3 0.235 6 0.250 5 0.265 3 0.279 8 0.294 0.308 0.321 8 0.335 4 0.348 8 0.361 9 0.374 8 0.387 6 0.400 1 0.412 4 0.424 6 0.436 6 0.448 4]';

t=T(:,1);x=T(:,2);y=T(:,3);

L=sqrt(x.^2+y.^2);

k0=[3 50 100 300];

[k,fval]=lsqcurvefit('fun',k0,t,L)

程序結果：

k=2.000 8 39.892 6 79.743 8 200.344 9；

fval=1.682 8e-008.

4 模型的分析與驗證

從上述結果可以看出，采用非線性擬合求出的參數誤差非常小，準確性高；此方法可以作為未知日期情況下，求解影子位置的模型.但迭代初值的選取會影響最終的結果，所以答案不是唯一的，一般情況下有幾個位置及日期的選擇方案，表2給出了具體的檢驗數據，用本文提供的模型和算法進行驗證.

將上述數據帶入Matlab軟件中計算可得三組結果，如表3所示.

從表3可以看出，每次結果經度緯度誤差不大，但是日期變化劇烈，所以模型對于定位還是有不錯的效果，但是定日效果一般，如果對日期有特別的要求，必須對模型進行改進，方能使用.

5 模型的評價

表1 時間與坐標測量值

表2 檢驗數據

5.1 模型的優點

利用成熟的天文學公式建立的模型結構精簡，計算快捷，定位效果尚佳.求解時并未采用坐標直接進行最小二乘擬合，關鍵在于坐標系建立方向未知，強行使用必然多了一個求解參數，勢必增加了求解的難度，從而運用影子長度擬合計算避開了關于坐標系方向未知的影響.在實際應用時，不需要建立坐標系，只需測量出幾組不同時間的影子長度，就可以根據模型得出此位置和日期，非常方便.

表3 迭代初值(高度,緯度,經度,日期)及結果

5.2 模型的缺點

因為模型中關于高度角是近似公式，擬和函數存在著一定的偏差，導致結果與實際情況存在一定的誤差.計算時采用的是非線性擬合求出了局部最優解（依賴于初值），更好的是得出全局最優解.

5.3 模型的進一步改進

當直桿長度未知時，可利用相鄰兩個時間點的影子長度相除即可消去直桿長度.這樣在進行求解時，方程的個數沒有少，而參數少一，則能更快，更精確地得到最后的結果，也能提高此模型的定日效果.求解模型時還可以采用變步長搜索法，即先用較大的步長進行粗略搜索，在其中幾組最優解附近減小步長進行精確搜索.重復這一過程，直到達到事先設定的精度為止，這樣大大的減少了搜索時間，提高了搜索的效率.如果數據量比較多時，還可以留下幾組數據用來對模型進行檢測.

本文利用已有的天文學公式，推導建立了關于影長與經度、緯度、日期、高度的數學模型，通過建立坐標系，測量多個時刻的太陽影子坐標，運用最小二乘法原理，反解模型得到物體所在位置及日期.通過給定數據檢驗，說明了模型的正確性和可行性.

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［9］欒穎.MATLAB R2013a基礎與可視化編程[M].北京：清華出版社，2014.

The Mathematical Principles and Applications of Sun Shadow Positioning Technology

LU Peng1,2,ZHANG Xing-yuan1,2,XU Chang-gui1,2
（1.Emei Campus,Southwest Jiaotong University,Emei 614202,Sichuan,China;2.College of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,Sichuan,China）

In this paper,the existing astronomical formulas derived to establish a long shadow with latitude,longitude,date,highly mathematical model.By measuring the sun shadow of the endpoint at different times multiple sets of coordinate data,the principle of least square method of inverse solution model,we got the straight bar for the location,as well as the measurement date.And with the given data to test,we got the correctness and feasibility of the model.

shade length；elevation angle；longitude；latitude；least square method

O29

A

1007-5348（2017）09-0015-04

2017-06-21

中央高校基本科研業務費專項資金（2682014BR039）.

盧鵬（1983-），男，四川自貢人，西南交通大學基礎課部講師，碩士；研究方向：數學建模與粗糙集.

（責任編輯：邵曉軍）