均勻帶電矩形線圈的電勢和電場計算

張 馳

(吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 吉林 長春 130012)

均勻帶電矩形線圈的電勢和電場計算

張 馳*

(吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 吉林 長春 130012)

利用點電荷的電勢和電勢疊加原理,得到了均勻帶電矩形線圈空間電勢分布的表達式；再根據(jù)場強與電勢梯度的關(guān)系,推導(dǎo)出均勻帶電矩形線圈空間電場分布的表達式.

均勻帶電矩形線圈 電勢 電場

有限帶電體的電勢分布和場強分布是電磁學(xué)中的重要內(nèi)容.文獻[1]用一段均勻帶電細棒的場強和場強疊加原理研究了均勻帶電正方形線圈的空間電場分布.本文利用點電荷的電勢和電勢疊加原理[2],得到了均勻帶電矩形線圈的空間電勢分布,再根據(jù)場強與電勢梯度的關(guān)系[2],推導(dǎo)出均勻帶電矩形線圈的空間電場分布.方法簡單,結(jié)果明確,希望本文可以幫助同學(xué)們更好地理解和掌握點電荷的電勢、電勢疊加原理和場強與電勢梯度的關(guān)系.

1 電勢分布

如圖1所示,有一帶電荷量為Q的均勻帶電矩形線圈,電荷線密度為λ,AB邊長為2a,BC邊長為2b.建立如圖1所示的三維直角坐標(biāo)系Oxyz,矩形的中心點為坐標(biāo)原點,Ox軸平行于AB邊,Oy軸平行于CB邊.取無窮遠處為零電勢參考點，則均勻帶電的AB邊在任意場點P(x,y,z)產(chǎn)生的電勢為

利用積分公式

得

(1)

同理可得

UBC=

(2)

UCD=

(3)

UDA=

(4)

圖1 均勻帶電線圈的電勢分布

所以,將式(1)～(4)代入下式中就可得到均勻帶電矩形線圈在任意場點P(x,y,z)產(chǎn)生的電勢,即

UP=UAB+UBC+UCD+UDA

(5)

假設(shè)a=b,x=0,y=0,且有z?a(b),利用

忽略高階無窮小,由式(1)可知

再利用

并忽略高階無窮小,可得

所以

此結(jié)果與點電荷的電勢公式一致.

2 電場分布

根據(jù)場強與電勢梯度的關(guān)系,可得到均勻帶電矩形線圈在任意場點P(x,y,z)產(chǎn)生的場強為

EP=-UP=

(6)

其中

由式(1)～(4)可得

(7)

(8)

(9)

(當(dāng)|x|>a時取“+”,當(dāng)|x|≤a時取“-”)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(當(dāng)|y|>b時取“+” ,當(dāng)|y|≤b時取“-”)

(15)

(16)

(17)

(18)

將式(7)～(18)代入式(6)就可以得到均勻帶電矩形線圈在任意場點P(x,y,z)產(chǎn)生的場強EP.

當(dāng)x=0,y=0,且z遠大于a和b時,有

Ex=0Ey=0

同理,當(dāng)z=0,y=0,且x遠大于a和b時,有

Ez=0Ey=0

當(dāng)x=0,z=0,且y遠大于a和b時,有

Ex=0Ez=0

這些結(jié)果與點電荷的場強公式一致,說明均勻帶電的矩形線圈相對于無窮遠處的P點來說,可以看做一個點電荷.

3 結(jié)論

綜上所述,本文對均勻帶電矩形線圈的空間電勢分布和空間電場分布進行了求解.利用點電荷的電勢公式和電勢疊加原理，得到了均勻帶電矩形線圈空間電勢分布的表達式；再根據(jù)場強與電勢梯度的關(guān)系,推導(dǎo)出均勻帶電矩形線圈空間電場分布的表達式.當(dāng)場點P到線圈的距離遠大于線圈本身的尺寸時，P點的電勢和場強分別趨近于點電荷的電勢和場強.希望本文的計算過程和結(jié)果有助于同學(xué)們更好地理解和掌握點電荷的電勢、電勢疊加原理以及場強與電勢梯度的關(guān)系.

1 樊雅平,黃生學(xué).均勻帶電正方形線圈的空間電場分布.河池學(xué)院學(xué)報,2009,29(5):29～32

2 費恩曼,萊頓,桑茲.費恩曼物理學(xué)講義(第2卷).上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2013.44～47

CalculatingtheElectricPotentialandElectricFieldofUniformlyChargedRectangularCoil

Zhang Chi

(College of Electronic Science and Engineering,Jilin University,Changchun,Jilin 130012)

Electric potential distribution of a uniformly rectangular charged coil is obtained by using the electric potential formula of point charge and the electric potential superposition principle.Then,electric field distribution of a uniformly rectangular charged coil is also derived by using the relationship between electric field intensity and electric potential gradient.

uniformly rectangular charged coil ; electric potential; electric field

2017-04-04)

張馳(1997- )，男，在讀本科生.