用GeoGebra呈現理想氣體狀態方程的三維圖景*

盛寶驥

(南京師范大學附屬中學 江蘇 南京 210003)

用GeoGebra呈現理想氣體狀態方程的三維圖景*

盛寶驥

(南京師范大學附屬中學 江蘇 南京 210003)

通過GeoGebra軟件繪制了理想氣體狀態方程的三維立體圖，并在三維圖中分析了教學中常見的等溫線、等壓線、等容線，為理想氣體狀態方程提供了另一種教學視角.

GeoGebra 理想氣體狀態方程圖像 雙曲拋物面

1 課后反思

人教版教科書高中《物理·選修3-3》第八章“氣體”[1]有較多圖像的理解與應用，例如在p-V圖中比較不同溫度的等溫線，同時在p-V圖、V-T圖、p-T圖中表示一定質量氣體經歷的等壓、等溫、等容的循環過程.筆者發現無論是哪一幅圖，都是二維平面圖，而理想氣體狀態方程有3個狀態參量，能不能用三維圖像呈現p,V,T之間的關系呢？下文是筆者圍繞這個教學反思進行的思考與嘗試.

2 逐步成型

2.1繪圖軟件的選擇

Mathematica,Matlab和Maple是目前主流的科學計算軟件，均可以繪制方程的三維圖像，但是考慮到這3款軟件專業性較強，絕大部分中學教師和學生不具備相應編程基礎，門檻高難度大,通過與數學教師的交流，筆者最終選擇了GeoGebra這款軟件，該軟件不僅操作簡單，在PC端和MAC端均有正版免費下載軟件，更適合在中學教師和學生中推廣應用.

2.2方程的選擇

(1)

圖1 三維坐標與狀態參量的對應關系

2.3形成三維曲面

打開GeoGebra，在【視圖】中選擇【3D繪圖區】，將式(1)輸入到軟件下方的文本框中，理想氣體狀態方程的三維空間曲面就繪制出來了，如圖2所示.

圖2 理想氣體狀態方程的三維空間曲面

幾何的面是由點組成的,曲面上每一個點的三維坐標對應氣體的溫度、壓強、體積，一個點對應一個氣體狀態.曲面包含了一定質量氣體遵循理想氣體狀態方程所有可能的狀態.軟件操作者可以點擊右鍵拖動或旋轉圖像，這樣就可以從不同角度觀察立體圖像，如圖3所示.

(a)

(b)

在軟件的代數區自動顯示了所繪函數的名稱——雙曲拋物面，雙曲拋物面由于形似馬鞍，又稱馬鞍面(圖4).

圖4 雙曲拋物面與馬鞍面

3 聯系與拓展應用

3.1對比二維平面圖

雖然理想氣體狀態方程的三維圖像給人眼前一亮的感覺，但是教學中學生熟悉的等溫線、等壓線卻看不見了，必須將這些熟悉的線找出來.

圖5 200 K等溫線

通過選擇從熱力學溫度軸(即y軸)視角觀察，就可以清楚地看到我們熟悉的200 K的等溫線，用相同的方法，筆者繪制了300 K的等溫線，與教學中溫度高的等溫線在外側的結論是一致的(圖6).

圖6 200 K,300 K等溫線對比

筆者用相似的辦法進一步繪制了等壓線和等容線(圖7)，圖像呈現出的規律與教學中的相關結論也是一致的.

圖7 不同體積等容線對比

3.2循環變化的立體圖

【原題】已知一定質量的理想氣體狀態發生變化，由狀態1→狀態2→狀態3→狀態1，完成了一個循環，用V-T坐標系把這一循環過程表示為如圖8所示．如果改用p-V坐標系或p-T坐標系表示這一循環，下列哪些圖是正確的?( )

圖8 原題題圖

答案：B,C.

這樣一個循環過程能不能在三維坐標系中呈現呢？首先筆者對3個狀態的溫度、體積、壓強賦予具體數值,如表1所示.

表1 3個狀態參量的倍率關系

然后筆者將物理方程轉換為數學函數關系，分別用交點A,B,C表示3個氣體狀態，這樣這個循環過程的三維圖像就呈現出來了,如圖9所示.

圖9 循環變化的三維圖像

這個循環過程的圖像是由一段雙曲線和兩段直線所組成的立體圖，調整觀察視角從x軸(溫度軸)角度觀察立體圖，與p-V的關系是一致的，從另外兩個軸觀察，與p-T，V-T的關系也是一致的，如圖10所示.

圖10 不同視角下的循環變化圖像

4 總結與感悟

筆者通過對課后反思的深度思考，結合GeoGebra軟件，建立數學模型，將理想氣體狀態方程原本的空間圖像呈現了出來，并且與傳統二維平面圖形進行對比驗證，還拓展到氣體狀態的循環變化.

對于今后的教學而言，教師也可以先呈現三維圖像，然后代入特點條件，逐步演繹出等溫線、等壓線和等容線.教師也可以選擇在單元復習的時候利用以上教學資源，提供一個不同的視角看熟悉的問題.這樣的優點是可以將原來繁雜的二維圖像歸納匯總到同一個三維圖像中，起到畫龍點睛的效果，也更符合人教版教材中知識點的編排順序.

1 人民教育出版社，課程教材研究所,物理課程教材開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 物理·選修3-3.北京：人民教育出版社,2010.23～25

2 Morphett A, Gunn S, Maillardet R. Developing interactiveapplets with GeoGebra: processes, technolo-gies. Proceedings of Elephant Delta ′15[C]. Port Elizabeth, 2015

PresentingtheThree-dimensionalPictureoftheStateEquationofIdealGasUsingGeoGebra

Sheng Baoji

(High School Affiliated To Nanjing Normal University，Nanjing, Jiangsu 210003)

In this paper, the three-dimensional image of the ideal gas state equation is drawn by GeoGebra, and the isotherm、iscxhare and isobars are analyzed in the three-dimensional graph, which provides another teaching perspective for the ideal gas equation.

GeoGebra; ideal gas state equation image; hyperbolic paraboloid

2017-07-27)

**南京市教育規劃課題第九期個人課題,項目編號：“十三五”個(9)字第OK2900號

盛寶驥(1980- )，男，中教高級，主要從事高中物理教學和物理實驗研究.