邁克耳孫-莫雷實驗的預期與實際模擬

潘尹凡 瞿 霞 馮 杰 郭長江

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

邁克耳孫-莫雷實驗的預期與實際模擬

潘尹凡 瞿 霞 馮 杰 郭長江*

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

通過對邁克耳孫-莫雷實驗的預期與實際計算機模擬對比，凸顯經典時空觀的問題.同時補充了普遍僅對中心位置分析計算的遺憾，給出了完整的模擬圖樣，以幫助理解該實驗的思想原理.

邁克耳孫-莫雷實驗 預期模擬 Matlab GUI

1900年4月27日，開爾文男爵在他的演講中道出了物理學歷史中經久不衰的比喻——19世紀籠罩在熱和光動力理論上空的烏云.那兩朵烏云如同是日后物理學書籍中必不可少的一種定式化修辭，一次次重現著狂風暴雨前夜物理學界自滿又不安的空氣[1].其中的一朵烏云是1887年由邁克耳孫與莫雷教授重做的“以太漂移”實驗，即著名的邁克耳孫-莫雷實驗，該實驗動搖了絕對靜止參考系的時空觀，對日后相對論的產生有著不可忽視的作用.

1 對條紋變化分析的不足

目前部分物理書籍在論述邁克耳孫-莫雷實驗時，為得出0.37個條紋移動的預期結果，多采用如下方式得出結論.

如圖1(a)所示,光經分光板后，透射光先“追光”，后經反射“迎光”，整個過程耗時

(1)

其中v為地球相對“以太系”的運行速度，c為光速，L1為透射光到反射鏡M1的距離.對于反射光，如圖1(b)所示，當時認為在以太系中光速為c，故在豎直方向上有分量，應有

(2)

圖1 實驗光路圖

考慮到補償板已插入，兩路光的光程差即為Δδ=c(τ1-τ2).裝置旋轉90°后光路情況交換，故光程差變化為2Δδ，實驗中L1與L2取為11 m，若v大小取30 000 m/s，代入算式，旋轉前后光程變化對應約0.37個波長，故應有0.37個條紋移動[2].

上述方法僅選擇了中心位置進行分析，并未對其他近軸點進行一般分析，如此就可能產生疑問：“也許只有這中心點會有亮度改變，而旋轉90°對中心附近點的亮度分布幾乎沒有影響，導致我們肉眼觀察不到中心點的變化，所以才得出了零結果的結論？”或是：“是否因為旋轉前裝置與以太風恰成45°角，導致旋轉90°后圖樣確實不會有變化？”誠然，從簡單定量角度來看，該方法可最快給出結論，然而在未嚴格給出總體變化規律前，將零維特殊點的變化直接上升到二維難免有失嚴謹.

2 基于當時時空觀的計算

我們可通過鏡像法將整個光路化為兩個點光源在觀察屏上方成干涉圖樣的問題，如圖2所示.

圖2 邁克耳孫-莫雷實驗的細化光路圖

需要注意的是，由于經過了鏡像處理，部分光路等效的v方向會發生改變，同時在裝置旋轉90°時，其變化方向也不相同，具體規律如表1所示(為不至于混亂，暫以兩點光源重合于S″分析).

表1 等效光路理論變化情況

現不妨設L1與v所成夾角為α，此時由圖3可知：光在“以太系”中的走向為K→M1→K2，只需使用余弦定理即可求出KM1的長度，即對應的實際光程.

由圖3得

則其實際光程

(3)

圖3 實際光程理論示意圖

由式(3)，只要知道某等效光線在“地球系”走過的長度L，及L與相對運動速度v所成的夾角α，便可得出在“以太系”下傳播的實際光程.

繼續計算各段的L與α.先來分析各段等效光路在“地球系”的傳播長度L.對觀察屏建立如圖4所示的三維直角坐標系：定E點為坐標原點，x軸正方向與v同向，K→M2方向為z軸正方向.為方便計算，設

h=KEH=S″E=SK+2KM2+KE

(4)

圖4 地球系下近軸光線的理論長度

(5)

則各段長為

(6)

則

(7)

式中h*=K′E,至此各段長度均可表示.繼續分析L與相對運動速度v所成夾角α的情況.如圖5所示，假設等效v沿HC方向(可以證明v恒在xOz平面內)，HJ為地球系下觀察到的光傳播方向，故α=∠CHJ，應用兩次余弦定理便可求出.先對△COJ分析

CJ2=H2tan2θ+a2+b2+2aHtanθ

(8)

在△CHJ中

(9)

圖5 夾角計算

同理，v指向x正半軸時

3 基于Matlab的模擬

理論計算完備后，便可進行模擬，本文使用Matlab2011b版本運算，并為保證運算速度，采樣點選為28+1即257個.當實驗光波長選擇為590 nm,臂長取為11 m與11.001 m,觀察屏半寬度0.8 m,分光板距觀察屏15 m,相對速度v取地球公轉速度30 000 m/s時，預期的不同角度下模擬圖樣應如圖6所示.

圖6 在上述條件下，轉過不同角度時的預期圖樣

可以看出，干涉圖樣應有明顯的變化，變化表現在條紋不斷被“吞入”.外圍的條紋逐漸向中心靠攏，越外圈的條紋移動程度越不明顯.有了該變化規律，才能說用中心點來計算預期變化是可行的，同時上述一系列的疑問自然也就解開了.

4 結論補充

上文雖已給出了邁克耳孫-莫雷實驗的預期模擬，但在實際中還存在著幾個值得注意的問題，接下來從3個問題切入，并結合模擬來逐一分析.

(1)表述問題.在上文中已得出了理論上變化的規律，應是條紋“吞吐”的變化，而目前部分文章中表述為條紋的“移動”，移動是一個很模糊的描述，是需要避免的誤區.

(2)臂長問題.在通過公式得出條紋變化條數時，我們常將L1與L2直接取為11 m,并得出0.37個條紋的結論.該步驟從物理意義角度來看并不妥當，假若兩臂均取11 m,代入模擬并不能形成干涉條紋，因為兩個等效光源重合為了一點.因此,本實驗中臂長不等是產生現象的關鍵前提，當L1為11 m時,L2必須為11 m±δ，δ是不可消除誤差，若不考慮該誤差，列出的計算式沒有對應的實際意義.從這一角度來看，實驗中旋轉的操作也不是為了“消除”臂長誤差，主要是為交換兩光路的傳播方式.

圖7 v取750 m/s時，轉過角度后也幾乎沒有變化

(3)“零結果”問題.邁克耳孫-莫雷實驗的結果在當時并沒有完全否定以太的存在，邁克耳孫本是為了測量地球相對以太的運動速度，但最后不成想只觀測到了極小的條紋變化，或才有了零結果這一說法.若我們在模擬中保持其他參數不變，將v修改

5 GUI模擬界面

利用Matlab軟件自帶的GUI功能生成一個模擬窗口(圖8)，可快速調整各個參數的數值并觀察其對圖樣的影響.本界面將旋轉角度、相對以太速度、兩臂長、屏寬這5個主要參數以滑塊方式集合.

圖8 邁克耳孫-莫雷實驗的預期模擬GUI界面

1 曹天元.量子物理史話 上帝擲骰子嗎.沈陽：遼寧教育出版社，2008.28～32

2 馮杰.大學物理專題硏究.北京：北京大學出版社，2011.291～297

3 漆安慎，杜嬋英.力學(第2版).北京：高等教育出版社，2005.422～425

4 姚啟鈞.光學教程(第4版).北京：高等教育出版社，2008.42～44

2017-02-25)

潘尹凡(1994- )，男，在讀碩士研究生，研究方向為物理學科教學.

指導教師：馮杰(1961- )，男，教授，碩士生導師,研究方向為理論物理、非線性光學、物理課程與教學論.