遠程防空導彈的新型彈道優化設計*

蘇憲飛，張忠陽，張弫，谷逸宇

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國航天科工集團 第二研究院，北京 100854)

遠程防空導彈的新型彈道優化設計*

蘇憲飛1，張忠陽2，張弫1，谷逸宇1

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國航天科工集團 第二研究院，北京 100854)

針對新型目標的運動學特性，在總結了傳統的遠程攔截導彈飛行彈道基礎上，建立了快速介入攔截彈道模型并對彈道進行了仿真，并對仿真結果進行了分析。同時利用hp-自適應偽譜法以攔截時間最小為優化目標對其進行了優化。優化結果表明，快速介入攔截彈道能夠很好的同時滿足攔截快速性和較大橫向修偏能力的需求。

遠程防御；快速介入攔截彈道；hp-自適應偽譜法；彈道優化；彈道設計；高超聲速

0 引言

美國HTV-2(falcon hypersonic technology vehicle 2)，AHW(advanced hypersonic weapon)等新型高超聲速目標采取非彈道式機動飛行方式，可在飛行過程中進行長時間、小過載、大空域的機動，并且可以中途變更打擊目標，飛行彈道難以預報。其既有與彈道導彈相當的快速打擊能力，同時又有空氣動力類目標的長時間機動飛行能力，給防空導彈的攔截造成了很大的困難[1]。

1 彈道形式及優化問題描述

1.1彈道形式描述

遠程攔截導彈飛行彈道可采用的形式有：彈道式、助推-巡航式等。

1.1.1 彈道式

彈道式是一種傳統的高超聲速飛行器彈道形式[2]，以彈道導彈為典型代表，其彈道呈拋物線狀。由于彈道導彈主要飛行在大氣層外，依靠慣性以及地球引力作用長距離飛行，末端再入一般也不需要大機動，因此導彈常采用無翼正常式布局，而且彈體一般為軸對稱布局。

采用純彈道式高拋彈道，有利于減少導彈速度損失，并且導彈長時間處于50 km以上高空，可以利用星光導航修正導彈姿態誤差。缺點是導彈長時間處于高空稀薄大氣中，飛行末段無法利用氣動力進行機動，較難對目標進行橫向跟蹤修偏。

1.1.2 助推-巡航式

采用助推-巡航式，導彈全程處于30～40 km高度飛行，可以利用氣動力進行機動。缺點在于導彈長時間處于大氣層內，速度能量損失較大；大氣層內超高速飛行使得彈體表面氣動加熱嚴重，對防熱設計和末制導探測帶來挑戰。并且若采用助推-巡航式彈道，為保持高超聲速飛行，動力裝置一般采用超燃沖壓發動機。但是從技術成熟度和技術風險角度來看，超燃沖壓發動機目前還有諸多關鍵技術有待攻關，將會對動力系統帶來較多風險。

1.1.3 快速介入攔截彈道

綜合以上2種彈道形式的優缺點以及所要攔截的目標特性，本文提出了一種名為“快速介入攔截彈道”的彈道形式。

快速介入攔截彈道兼顧以上2種彈道模式的優點。在飛行前半段，如圖1中AB段所示，采用高拋式，相當于“大發射角”飛行，迅速爬升到30 km以上高空。導彈最大飛行高度可達約100 km，攔截過程大部分飛行段都在大氣非常稀薄的空間做拋物線飛行，既減少導彈的速度損失，又可長時間利用星光導航修正姿態誤差，也有利于解決長時間飛行氣動加熱問題。在飛行后半段，如圖1中BC段所示，飛行高度逐漸下降到50 km以下，此時利用高氣動效率機動，從而減小阻力損失，提高平均速度，而且還能有效地降低壁面熱流。同時可以利用氣動力修正導彈位置，并且使導彈具備較強的機動能力[3-10]。在飛行后半段，利用高氣動效率機動具有3個優點：第1，機動飛行中可利用氣動力不間斷機動，提高了導彈自身的機動跟蹤能力；第2，在機動彈道的軌跡上，導彈可實現以相對較小攻角產生較大升力，有利于減小導彈的速度損失；第3，導彈由于末段在大氣層內滑翔其末速度相對于彈道式要小，相對純彈道式彈道更有利于彈道末段對目標進行搜索巡飛。

1.2彈道優化問題描述

本文的彈道優化模式，以導彈飛行攻角作為控制量，對于鉛垂面內固定的彈道命中點，形成滿足目標函數、微分方程、路徑約束、邊界條件的優化彈道。由于本文優化的對象是遠程防御彈道，所以其攔截時間不能過長，必須兼顧中程、近程等導彈的發射攔截，所以取攔截時間最短作為目標函數。導彈狀態變量x為攔截彈的橫向位置坐標；y為攔截彈的縱向位置坐標；v為攔截彈的速度；θ為攔截彈的彈道傾角；控制變量α為攔截彈的攻角。以上5個變量均基于發射坐標系。

1.3導彈動力學模型

本文假設攔截導彈發射點處海拔高度為0，將導彈運動看成質點運動，控制系統工作是理想的。為了使彈道優化數學模型便于實時實現，還假設導彈的發射方式是朝向預測攔截點發射，從而把導彈的三維空間運動用二維垂直平面上運動來近似，則鉛垂平面內導彈運動模型可表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

X=CX(Ma,α)qS，

(8)

Y=CY(Ma,α)qS，

(9)

(10)

Ma=f1(v,h)，

(11)

ρ=f2(h)，

(12)

m=f4(t)，

(13)

(14)

nmax=CY(Ma,αmax)qS/mg，

(15)

式中：θr為當地彈道傾角；Re為地球半徑；R為飛行斜距；H為飛行海拔高度；S為導彈參考面積；ny為需用過載；nmax為可用過載。其他符號含義參見文獻[11]。

2 優化方法

本文選取的彈道優化方法為hp-自適應偽譜法[12-14]。這種方法具有適應性強與收斂速度快的優點，尤其適合解決多階段的最優控制問題。hp-自適應偽譜法的求解過程如下：

(1) 首先結合最優控制問題的物理意義將優化問題分段，本彈道優化按照導彈的飛行過程進行分段，導彈的飛行過程分為一級發動機工作段，二級發動機工作段和被動飛行段，具體時間分段區間如表1所示。

表1 導彈飛行過程分段區間表Table 1 Missile flight procedure s

(2) 在各段中選取適量的配點，并利用多項式基函數對配點和分段節點處的狀態變量以及配點處的控制變量進行近似，本優化問題的狀態變量x和控制變量u分別為：x=(v,θ,x,y)T，u=(α)。

(3) 將微分方程、目標函數、路徑約束、邊界條件按照(2)中的近似轉化為代數方程。這樣就把原最優控制問題轉化為了NLP問題。

(4) 利用較成熟的NLP問題求解方法如序列二次規劃法(SQP)等對其進行求解；

(5) 對結果進行誤差分析，如不滿足誤差要求則自適應調整時間區間分段h以及各段近似基函數的階次p，然后返回第一步進行迭代直到得出滿足誤差約束的結果。具體迭代過程如圖2所示[15-16]。

圖2 迭代步驟Fig.2 Iterative steps

3 彈道仿真與優化分析

3.1彈道仿真

假設導彈飛行命中點斜距1 200 km，命中點海拔高度20 km。為了實現快速介入攔截彈道的彈道形式，首先導彈垂直發射，在一級發動機和二級發動機工作段依照程序角飛行，將導彈快速送出稠密大氣層，在被動飛行前段采用最大升阻比方式飛行，在彈目距離小于100 km時導彈轉為比例導引，仿真步長取0.01 s。導彈飛行過程中各級發動機脈沖間隔為0。得到的導彈彈道曲線如圖3所示。

圖3 彈道仿真結果Fig.3 Trajectory simulation results

虛線、實線、點劃線分別代表導彈飛行過程的3個階段。從仿真結果可知，導彈飛行時間628.36 s，在第3階段采用最大升阻比的飛行方式中導彈共跳躍2次，最終轉為比例導引命中目標。仿真結果實現了快速介入攔截彈道的彈道形式，彈道曲線平滑。但是從以上仿真結果中可以看出導彈在第3階段每跳躍一次，都造成了很大的速度損失，最終導致導彈飛行時間過長，所以有必要對以上仿真結果進行優化。

3.2攔截時間最短優化

與上節中初始條件相同，按導彈飛行過程，初始化分段時將優化問題分為3個階段，階段1為助推發動機工作段，階段2為主級發動機工作段，階段3為被動飛行段。具體分段時間區間參看表格1。計算允許誤差取為10-3，各段內多項式階次即配點數4≤p≤12，初始化時取p=5。

以平均速度最大為優化目標，即導彈飛行時間最小為目標函數進行了彈道優化，得到的優化結果如圖4所示。

圖4 彈道優化結果Fig.4 Trajectory optimization results

空心圓圈、三角形和菱形分別為3個階段中自適應生成的配點，實線為根據配點擬合而成的曲線。從優化結果可知，導彈飛行時間535 s，相較于上節中的仿真結果顯著降低了優化時間，得到的彈道結果平滑。從優化結果也可以看出，在第3階段導彈僅跳躍一次，且最大高度明顯降低。

3.3加入過載限制后的彈道優化

從3.2節的彈道曲線可以看出，為了達到優化目標，在飛行末端出現了彈道上抬的現象，從而導致飛行末端導彈的可用過載降低。本文設計的攔截目標航向機動性較強，為了有效攔截目標，攔截導彈在飛行過程中必須進行航向修偏，所以需對滑翔階段導彈的可用過載進行限制。因此，本節對加入飛行末端可用過載約束的彈道進行優化。

與3.2節一致，假設導彈飛行命中點斜距1 200 km，命中點海拔高度20 km。假設導彈飛行300 s后對導彈的可用過載進行約束。因此按導彈飛行過程，優化分為4個階段。階段1為助推發動機工作段，階段2為主級發動機工作段，階段3為被動飛行前段，階段4為被動飛行后段，此階段要求可用過載不小于12。具體分段時間區間如表2所示。

表2 加入過載約束的彈道優化過程分段表Table 2 Trajectory optimization process with overload constraint s

其余初始化條件與3.2節相同，最終得到的優化結果如圖5所示。

從優化結果可知，導彈飛行時間540 s，與上一節的優化結果相比，由于階段4引入了可用過載的約束，導彈飛行時間更長，平均速度更低，但從以上圖中可以看出，飛行300 s后彈道的跳躍程度減弱，導彈的可用過載均大于12，可見過程約束起到了作用。

圖5 加入過載限制后的優化結果Fig.5 Optimization results with overload limit

4 結束語

本文針對新型高超聲速目標的運動學特性，在總結了傳統遠程攔截彈道形式的基礎上，提出了“快速介入攔截彈道”并對其進行優化。文中給出的仿真及優化結果有效滿足了遠程攔截彈道的攔截時間及可用過載需求。

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NewTrajectoryOptimizationDesignofLongRangeAirDefenseMissile

SU Xian-fei1，ZHANG Zhong-yang2，ZHANG Zhen1，GU Yi-yu1

(1.Beijing Institute of Electronic System Engineering，Beijing 100854，China；2.The Second Academy of CASIC，Beijing 100854，China)

According to the kinematic characteristics of a new type of target, a kind of rapid intervention interception trajectory model is established based on summarizing the traditional long-range interception trajectory, and the trajectory simulation is carried out. Then, the trajectory simulation result is optimized using the hp-adaptive pseudospectral method to minimize the interception time. The optimization results show that the rapid intervention interception trajectory can satisfy the rapidity of interception and provide a large lateral deflection overload simultaneously.

long-range defense; rapid intervention interception trajectory; hp-adaptive pseudospectral method; trajectory optimization; trajectory design; hypersonic

2017-01-11；

2017-02-24

有

蘇憲飛(1993-)，男，黑龍江克山人。碩士生，主要研究方向為飛行器總體設計。

通信地址：100854 北京市海淀區永定路52號航天科工二院研究生院E-mail：1124265059@qq.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.05.006

TJ761.7；V412

A

1009-086X(2017)-05-0029-06