結(jié)合貝葉斯近似變換的沖突證據(jù)合成方法*

孟蕾，許愛強(qiáng)，劉家祺

(海軍航空工程學(xué)院a.飛行器工程系；b.科研部；c.兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東 煙臺 264001)

?綜合保障性技術(shù)

結(jié)合貝葉斯近似變換的沖突證據(jù)合成方法*

孟蕾a，許愛強(qiáng)b，劉家祺c

(海軍航空工程學(xué)院a.飛行器工程系；b.科研部；c.兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東 煙臺 264001)

為了解決D-S證據(jù)理論在處理沖突證據(jù)合成問題中存在的不足，改進(jìn)了證據(jù)合成規(guī)則，提出了用該規(guī)則和貝葉斯近似變換相結(jié)合的證據(jù)合成方法。首先分析了封閉世界和開放世界假定中識別框架上認(rèn)知集合間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，然后根據(jù)證據(jù)理論和貝葉斯近似變換的基本知識分析沖突產(chǎn)生的影響，最后根據(jù)原證據(jù)焦元交集和并集的基數(shù)關(guān)系改進(jìn)了合成規(guī)則，并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。改進(jìn)的合成規(guī)則能更好的保留原來的信息，而且通過與貝葉斯近似變換的結(jié)合減少了焦元的數(shù)量，結(jié)果表明該方法是一種準(zhǔn)確有效的沖突證據(jù)合成方法。

D-S證據(jù)理論；貝葉斯近似變換；焦元；沖突證據(jù)；證據(jù)合成；基本概率分布(BPA)

0 引言

證據(jù)理論最初由Dempster提出，后來由Shafer推廣并且形成理論體系，所以通常稱作D-S證據(jù)理論。該理論是Bayes理論的推廣，由于該理論的先驗(yàn)知識比概率理論更容易獲得，且能處理很多不確定性問題，目前在信息融合、故障診斷和專家系統(tǒng)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。但證據(jù)合成規(guī)則尚沒有堅(jiān)固的理論支撐，而且隨著證據(jù)和其元素個數(shù)的增加，計(jì)算上存在著潛在的指數(shù)爆炸問題，所以其合理性和有效性還存在較大爭議。近年來，很多學(xué)者對證據(jù)理論進(jìn)行了有益的探索和研究[1]。研究主要分3類：第1類是解釋證據(jù)理論，主要有上下概率解釋、廣義Bayes理論解釋和隨機(jī)集理論解釋[2-3]；第2類是改進(jìn)證據(jù)理論，主要從合成規(guī)則和融合模型2個方面進(jìn)行[4-10]；第3類是簡化計(jì)算，各種近似算法推進(jìn)了證據(jù)理論的實(shí)際應(yīng)用[11]。

1 識別框架上的認(rèn)知集合

如果關(guān)于某個領(lǐng)域問題的集合Θ中的元素是兩兩互斥，并且是完備的，一般為了降低問題復(fù)雜度，集合Θ是有限集，相關(guān)命題都是集合Θ的子集，稱集合Θ為識別框架。例如關(guān)于集合Θ={a,b,c,d}的一個命題～a∧c∨d可以用集合{c,d}來表示。集合論中集合的包含關(guān)系和表示命題的邏輯關(guān)系存在著對應(yīng)關(guān)系，因此關(guān)于集合Θ={a,b,c,d}所有命題的層次關(guān)系如圖1所示。

圖1 識別框架上命題的層次結(jié)構(gòu)Fig.1 Proposition of discernment frame

在假設(shè)這樣一個識別框架Θ的基礎(chǔ)上可以建立一個推理模型，信任構(gòu)建在Θ和它的子命題上，對Θ的部分子命題的信任可能要多于另外一些命題。Θ是參考領(lǐng)域，也是討論的全部內(nèi)容。只有Θ中的命題才會被考慮，任何Θ中沒有的命題都被認(rèn)為是不可能發(fā)生的。

事實(shí)上認(rèn)知過程遠(yuǎn)非想象的那么簡單。首先需要構(gòu)建集合KP(known possible)，KP是那些已經(jīng)知道的可能為真的命題，但也要考慮那些沒有想到的尚且不知道的命題集UP(unknown proposition)，還有已經(jīng)知道是不可能發(fā)生的命題集KI(known impossible)。在像貝葉斯這樣的傳統(tǒng)方法里，UP是假設(shè)為空的，真命題必須只存在KP里，這是人們普遍接受的高度理想化的封閉世界假定[12]。

這3個集合的內(nèi)容不單是對問題進(jìn)行詳細(xì)分析就能得到的，還和已經(jīng)出現(xiàn)的證據(jù)有關(guān)。隨著新證據(jù)的出現(xiàn)，命題在這3個認(rèn)知集合之間重新分布，它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖2所示。

圖2 認(rèn)知集合之間的轉(zhuǎn)換Fig.2 Transformation of cognitive sets

(1) 很容易理解，如果新出現(xiàn)的命題能充分證明A是不可能發(fā)生的，那么A從KP轉(zhuǎn)移到集合KI。

(2) 如果新的證據(jù)提醒某些遺忘了的命題A是有可能為真時，那么A從集合UP轉(zhuǎn)移到集合KP。

(3) 如果新的證據(jù)提醒某些遺忘了的命題A不可能發(fā)生時，那么A從集合UP轉(zhuǎn)移到集合KI。但是這對已經(jīng)建立在集合KP上的信任分布是沒有實(shí)質(zhì)影響的。

(4) 假設(shè)這3個集合事先對各個命題的劃分都是正確的，真命題可能被分配到集合KP和UP中，而假命題也可能被正確的分配到KP，KI或者UP中。那么，命題A從KI到KP和從KP到UP的轉(zhuǎn)移與這3個集合的定義是矛盾的。

真命題不可能分配到KI中，并且任何一個命題只要分配到KI中就只能呆在KI中不動，因此隨著新證據(jù)的增加，KI中的命題的個數(shù)是單調(diào)增加的。KI中任何命題的信度都為0。隨著新證據(jù)的增加，信度為0的命題KP轉(zhuǎn)移到KI中。

封閉世界假定認(rèn)為先驗(yàn)集合UP是空的，而開放世界假定承認(rèn)存在著非空的集合UP，也承認(rèn)真命題有可能存在于集合UP中。

按照前面的假設(shè)，真命題是永遠(yuǎn)不可能存在KI中的。但是考慮更一般化的假設(shè)，也可以接受真命題可能在KI中并且在所有的命題上構(gòu)建一些變化信度函數(shù)來表示信度，這樣每個命題都有可能屬于這3個集合中的任何一個，在廣義貝葉斯理論框架下發(fā)展出來的方法可以解決這樣的問題。

2 重要概念梳理

2.1D-S證據(jù)理論

定義：集合Θ是一個識別框架，Θ上的一個基本概率分配(BPA)是一個函數(shù)m(·):2Θ→[0,1]，其中2Θ是Θ的冪集，并且滿足條件：

m(A)這個量叫做集合A的基本概率數(shù)，這個量只是集合A所代表的那個命題的信任度量，而一般情況下并不等于分配給集合A的所有信度，因?yàn)樗行哦冗€包括集合A的子集所承擔(dān)的那部分信度。下面這個定義很好的解釋了這個問題。

定義：在識別框架Θ上由BPA函數(shù)m推導(dǎo)出來的信任函數(shù)Bel為

?Θ.

Bel(A)是分配給A的所有信度。每個信任函數(shù)Bel都是從一個特定的BPA函數(shù)m推導(dǎo)出來的，而BPA函數(shù)m又可以從信任函數(shù)Bel中恢復(fù)出來：

?Θ.

定義：函數(shù)m是信任函數(shù)Bel的基本概率分配。

(1) 如果m(A)>0，A叫做信任函數(shù)Bel的焦元；

(2)Bel的所有的焦元的集合叫做Bel的核；

(3) 如果Θ是唯一的焦元，稱信任函數(shù)是空的；

(4) 如果所有的焦元都是單元素集合，Bel稱為貝葉斯信任函數(shù)。

定義：識別框架Θ上2個基本概率分配函數(shù)m1和m2，分別導(dǎo)出信任函數(shù)Bel1和Bel2。如果

則稱信任函數(shù)Bel1和Bel2是不可合成的，否則，通過Dempster合成規(guī)則就能合成BPA函數(shù)m1⊕m2，導(dǎo)出合成信任函數(shù)Bel1⊕Bel2。

能夠運(yùn)用上面合成規(guī)則的證據(jù)必須滿足D-S獨(dú)立的條件。D-S獨(dú)立不同于概率論里面的獨(dú)立，而是要求更為苛刻的一種獨(dú)立條件。

2.2貝葉斯近似變換和廣義信任函數(shù)

D-S證據(jù)理論在實(shí)際應(yīng)用中往往受到指數(shù)爆炸問題的困擾，Voorbraak發(fā)現(xiàn)可以通過一種貝葉斯近似變換的方法減少焦元的個數(shù)，使其少于識別框架元素的個數(shù)[13]。

貝葉斯常數(shù)c被認(rèn)為是對信任函數(shù)Bel給出信息的準(zhǔn)確度和特殊性的度量，當(dāng)c=|Θ|-1意味著最不精確的空信任函數(shù)，c=1說明信任函數(shù)最精確[13]。Dubois和Prade認(rèn)為∑m(C)·|C|是可以用來衡量信任函數(shù)的不確定性的，因?yàn)椤苖(C)·lb|C|代表不確定性。

貝葉斯近似變換和證據(jù)合成可以交換順序：

最早由Hummel和Landy提出空間(M,?)，當(dāng)時稱其為“非正規(guī)化信任狀態(tài)空間”，這在一定程度上平息了Zadeh對于Dempster合成規(guī)則處理高沖突證據(jù)合成的質(zhì)疑。M中的元素m稱為廣義BPA函數(shù)。廣義BPA函數(shù)導(dǎo)出的廣義信任函數(shù)Bel：

空間(M,?)是一個阿貝爾獨(dú)異點(diǎn)。定義幺元：

m0(?)=1;

m0(A)=0, ifA≠?.

按照Dempster證據(jù)合成規(guī)則定義的正規(guī)化BPA函數(shù)空間(M,⊕)，M中的元素m，g是(M,?)到(M,⊕)映射：

圖3 3個空間之間的映射關(guān)系Fig.3 Map of three spaces

顯然，g映射的作用是正規(guī)化，f映射的作用是進(jìn)行貝葉斯近似變換。對證據(jù)合成后的結(jié)果正規(guī)化可能會使得貝葉斯常數(shù)減小，也就說信息的準(zhǔn)確度有可能降低。因此，正規(guī)化因子的合理性一直存在著很大的爭議。

3 新的沖突證據(jù)合成方法

3.1沖突證據(jù)的影響

在廣義BPA函數(shù)空間(M,?)中處理有沖突的證據(jù)合成問題時，如果B∩C=?，顯然

也就是說2個證據(jù)中完全沖突的那部分信度被賦給了?，Smets認(rèn)為在開放世界假設(shè)中，?的那部分信度代表集合UP中有真命題的可能性，即事實(shí)可能存在識別框架以外。

在正規(guī)化BPA函數(shù)空間(M,⊕)中，封閉世界假設(shè)認(rèn)為識別框架肯定是完備的，無需考慮識別框架以外的情況，因此?的信度被強(qiáng)制性的賦予零值[14]。也認(rèn)為每一條證據(jù)都是完全可信的，因此只要有一條證據(jù)對命題A的基本概率分配為0，意味著命題A絕對不可能發(fā)生，那么命題A將被從認(rèn)知集合KP中剔除到KI中，即使后來的證據(jù)完全支持A成立，也不可能再給命題A分配一點(diǎn)信度，這就是Dempster合成規(guī)則的一票否決問題[15]。

2種合成規(guī)則對Zadeh的經(jīng)典沖突證據(jù)例子計(jì)算結(jié)果見表1。合成規(guī)則?將沖突信度0.999 9賦給了?集，意思是真兇有極大可能性是A,B,C以外的第4人，并且排除了A,C的可能性。這樣的結(jié)果有一定的合理性，但它打破了識別框架的完備性的限制，而且也沒有解決一票否決的缺陷。

表1 證據(jù)合成規(guī)則⊕和?的結(jié)果Table 1 Combination results of ⊕ and ?

3.2新的沖突證據(jù)處理方法

Yager認(rèn)為既然不知道沖突部分信度究竟該如何指派，就應(yīng)該讓它分布在所有的元素上，即賦予識別框架Θ：

m1⊥m2(?)=0，

ifA≠?,Θ，

Yager的方法增加了證據(jù)合成結(jié)果的不確定性，Dubois和Prade提出了改進(jìn)方法，如果2個證據(jù)源都是可靠的，信度應(yīng)該賦給2個命題的交集；如果只有一個可靠，沒有交集命題的信度該賦給并集：

?)=0，

圖4 B命題和C命題的關(guān)系Fig.4 Relationship of proposition B and C

式中：|·|為集合的基數(shù)；k∩為一致因子，表示兩個命題B和C的一致程度；k∪為沖突因子，表示命題B和C的沖突程度。

4 實(shí)例驗(yàn)證

表2 證據(jù)合成結(jié)果對比Table 2 Comparison of combination results

5 結(jié)束語

數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，在某些情況下對于證據(jù)源中非單點(diǎn)集BPA的變化，本文的合成規(guī)則克服了Dubois和Prade規(guī)則沒有響應(yīng)的缺點(diǎn)，因此能更好地保留合成之前證據(jù)源中的有用信息。

但是該方法繼承了Dubois和Prade規(guī)則將沖突賦給并集的缺點(diǎn)，即合成后焦元個數(shù)可能會增加，從而使問題復(fù)雜化，而貝葉斯近似變換恰好能解決這個問題，并且能消除Dempster規(guī)則的一票否決缺陷，因此將這2種方法結(jié)合使用能達(dá)到理想的合成效果。

[1] 韓德強(qiáng),楊藝,韓崇昭.DS證據(jù)理論研究進(jìn)展及相關(guān)問題探討[J].控制與決策，2014,29(1)：1-11.

HAN De-qiang，YANG Yi，HAN Chong-zhao.Advances in DS Evidence Theory and Related Discussions[J].Control and Decision，2014，29(1)：1-11.

[2] SHAFER G.Perspective on the Theory and Practice of Belief Functions[J].International Journal of Approximate Reasoning，1990(4):323-362.

[3] FIXSEN D，MAHLER P R S．The Modified Dempster Shafer Approach to Classification[J].IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1997，27(1)：27-41.

[4] ZADEH L A.Review of Shafer’s a Mathematical Theory of Evidence[J].AI Magazine，1984(5):81-83.

[5] YAGER R.On the Dempster-Shafer Framework and New Combination Rules[J].Information Sciences，1987，41(2):92-138.

[6] DUBOIS D，PRAD H.Consonant Approximations of Belief Functions[J].International Journal of Approximate Reasoning，1990(4):279-283.

[7] 孫全，葉秀清，顧偉康．一種新的基于證據(jù)理論的合成公式[J]．電子學(xué)報，2000,28(8)：117-119.

SUN Quan，YE Xiu-qing，GU Wei-kang.A New Combination Rules of Evidence Theory[J].Acta Electronica Sinica，2000，28(8):117-119.

[8] DENG Y，SHI W K，ZHU Z F，et al.Combining Belief Functions Based on Distance of Evidence[J]．Decision Support Systems，2004,38(2)：489- 493.

[9] 羅賀,尹艷平,胡笑旋.基于可信因子的證據(jù)源修正方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2015,37(6):1459-1464.

LUO He，YIN Yan-ping,HU Xiao-xuan.Method to Modify Evidence Source Based on Trustworthy Factors[J].Systems Engineering and Electronics，2015,37(6):1459-1464.

[10] 劉哲席,陽建宏,楊德斌.基于信息總不確定度的沖突證據(jù)組合修正方法[J].電子與信息學(xué)報，2014，36(12):2909-2914.

LIU Zhe-xi，YANG Jian-hong，YANG De-bin.Combination of Conflicting Evidence by Using the Total Uncertainty Degree of Information[J].Journal of Electronics & Information Technology，2014，36(12):2909-2914.

[11] VOORBRAAK F.On the Justification of Dempster’s rule of Combination[J].Artificial Intelligence，1991，48(6):171-197.

[12] SMETS P，KENNES R.The Transferable Belief Model[J].Artificial Intelligence，1994，66(1):191-234.

[13] 徐凌宇，尹國成.基于不同信度的證據(jù)組合規(guī)則及應(yīng)用[J].東北大學(xué)學(xué)報，2002，23(2)：123-125.

XU Ling-yu，YIN Guo-cheng.Evidence Combination Rule Based on Different Reliability and Application[J].Journal of Northeastern University，2002，23(2)：123-125.

[14] 羅志增，葉明.用證據(jù)理論實(shí)現(xiàn)相關(guān)信息的融合[J].電子與信息學(xué)報，2001，10(23)：970-974.

LUO Zhi-zeng,YE Ming.Evidence Theory is Used to Implement the Information Fusion[J].Journal of Electronics and Information，2001，10(23)：970-974.

[15] 戴冠中，潘泉，林輝.證據(jù)理論及其存在的問題[J].控制理論與應(yīng)用，1999，16(4)：465-469.

DAI Guan-zhong,PAN Quan，LIN Hui.Evidence Theory and Problems[J].Control Theory and Application，1999，16(4)；465-469.

SyntheticMethodofConflictEvidenceCombinedwithBayesianApproximation

MENG Leia，XU Ai-qiangb，LIU Jia-qic

(Naval Aeronautical Engineering University，a.Airborne Vehicle Engineering Department； b.Scientific Research Department；c.Ordnance Science and Technology Department，Shandong Yantai 264001，China)

In order to solve the problems emerging in the situation trying to combine conflict evidences using Dempster-Shafer theory, a new combination rule based on Dubois and prade rule is put forward. A method of using the new rule together with Bayesian approximation is proposed to combine evidences from different bodies. Firstly the proposition transformation of discernment frame is discussed both in the open and closed world assumption. Secondly the effect of conflict is shown based on the Dempster-Shafer theory and Bayesian theorem. And finally the modified rule depending on the cardinal of set from different evidence bodies is proposed and is shown in the numerical example. Conclusion can be drawn from the example that the new combination rule reserves more information from the combined evidences and Bayesian Approximation reduces the number of focused elements, and using both of them is an effective and accurate method in evidence combination.

Dempster-Shafer theory; Bayesian approximation transformation; focal element; conflict evidence; evidence synthesis; basic probability assignment (BPA)

2016-09-21；

2016-11-21

中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013M542535)

孟蕾(1987-)，女，山東聊城人。講師,博士，研究方向?yàn)檠b備保障預(yù)測和狀態(tài)評估。

通信地址：264001 山東省煙臺市芝罘區(qū)二馬路188號航院504教研室E-mail：735546262@qq.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.05.024

TJ760.7；O212.8

A

1009-086X(2017)-05-0149-06