解題研究再深入：教學微設計的實踐與思考

范小震

[摘 要] 教師研究中考綜合題需思考一題多解、多解歸一，并可圍繞考題開展解題教學的“微設計”：將考題的幾個小問拆開成不同的教學環節，讓每個教學環節下的鋪墊式設問成為引導學生自主獲得思路的有效問題.

[關鍵詞] 解題教學；教學微設計；命題功夫

研究中考試題是很多同行的興趣，然而從各個網絡QQ群中的研討熱點來看，更多是關注一些難題（甚至超綱題），不少研究者雖然給出的答案豐富多樣，但不少解法不宜在教學中選用. 筆者以為，我們不僅應該關注中考題的一題多解，更重要的是多解歸一以及更初等解法、更自然解法的優選. 此外，還需要跟進構思解題教學的微設計，這樣才能把解題研究轉向服務教學，讓我們對考題的研究“落腳”在課堂. 本文梳理了一道考題的思路突破及教學微設計，以提供研討.

考題及思路概述

考題 （2017年江蘇揚州中考卷，第28題，有改動）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD于點E，以 PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上，對角線EG，PF相交于點O.

（1）小明經過探索，發現：點O一定在△APE的外接圓上，請判斷小明的發現是否正確，并說明理由；

（2）當點P從點A運動到點B時，點O也隨之運動，求點O經過的路徑長；

（3）在點P從點A運動到點B的過程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到AB邊的距離的最大值.

思路簡述 （1）首先分析△APE是直角三角形，該直角三角形的外心在斜邊PE的中點M處（如圖2），容易確認MA=ME=MP. 接下來，只要能證出MO=ME=MP即可. 由于四邊形GPEF是正方形，O是對角線的交點，所以△POE是等腰直角三角形. 于是OM=ME=MP. 所以點A，P，O，E四點共圓，即點O一定在△APE的外接圓上.

另解思路：也可從對角互補的四邊形的四個頂點在同一圓上進行思考. 比如，由PF⊥EG，得∠EOP=90°，所以∠EOP+∠EAP=180°. 故A，P，O，E四點共圓，即點O一定在△APE的外接圓上.

另解思路：可以過點O作AB，AD邊的垂線段OQ，ON，如圖4，可以通過證明△NOE≌△QOP得出OQ=ON，于是點O在∠BAD的平分線上. 之后的解法同上述解法.

（3）如圖5，先根據題意構造出圓心M到直線AB的垂線段MH，問題的求解方向就是分析MH的最大值. 如果聯想到三角形的中位線，則可以把MH的最值分析轉向AE最值的分析，而AE在Rt△APE中，于是可以聯想到△APE∽△BCP，這樣便會得到對應線段的比例關系，思路就可獲得貫通.

解題教學微設計

1. 教學環節一：基礎熱身，特例引路

例題1 同考題的“題干”，這里略.

（1）當點P為AB的中點時，求正方形PEFG的周長；

（2）當AP=1時，求AE的長；

（3）當AE=1時，求△APE外接圓的半徑；

（4）當正方形PEFG的面積為5時，直接寫出AP的長.

2. 教學環節二：動態探索，四點共圓

例題2 題干同“考題”，這里略.

（1）請指出△POE的形狀，并說明理由；

（2）求證：點A，P，O，E四點共圓；

（3）連接AO，求證：AO平分∠BAD；

（4）在點P從點A運動到點B的過程中，點O也隨之運動，求點O到點A的最大距離.

3. 教學環節三：迎難而上，挑戰難題

例題3 題干同“考題”，這里略.

（1）求證：△APE∽△BCP；

（2）當點P為AB的中點時，求△APE外接圓的圓心到弦AP的弦心距的長；

（3）在點P從點A運動到點B的過程中，分析點O到AD邊的距離的最大值；

（4）在點P從點A運動到點B的過程中，求△OPE的外接圓的圓心到AB邊的距離的最大值.

4. 教學環節四：同類鏈接，改編訓練

（1）求點B到AC邊的距離.

（2）點D從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿對角線AC向終點C運動，連接BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF.

①當點D運動到AC邊的中點時，分析△CDE的形狀，并求它的周長.

②求證：B，C，E，D四點共圓.

③當△CDE是等腰三角形時，求運動時間t.

⑤在運動過程中，是否存在某一時刻，矩形BDEF的面積取得最小值？如果存在，請求出運動時間t；如果不存在，請說明理由.

跟進兩點思考

1. 解題研究應該用力在何處

教師研究解題不同于學生解題，因為我們是要通過解題研究幫助學生學會解題，而且要讓學生通過解這一道題學會解一類題，所以不能止步于對考題的思路貫通，而需要對考題的結構、不同解法、可能的拓展與變式進行解后回顧與反思. 在回顧與反思時，可圍繞以下一些方向進行，比如該題與教材上哪些經典問題類似？該題的思路怎樣更加自然而然地發生？學生可能會在哪些步驟上遇阻？該題還可以有哪些變式拓展？哪些考題與這道題的考查風格類似……多思考這些問題，可以在跟進的教學微設計時進行一些鋪墊和拓展.

2. 教學微設計需要命題能力

可以發現，像上文中圍繞考題給出的解題教學微設計就是該題上課的簡要教案對原考題每一個小問設計同類問題、鋪墊問題，能讓學生在這些引導問題的鋪墊之下自主探究出原考題中較難的設問. 各個教學環節下的設問，需要教師修煉命題基本功. 想來，這也就是鄭毓信教授指出的數學教師的三項基本功之一“善于提問”吧.endprint