談“解決問題”教學(xué)“數(shù)量關(guān)系”的關(guān)鍵性

范文武

【摘要】 “數(shù)量關(guān)系”是從一類有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問題中總結(jié)出來的，揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以關(guān)系式的形式來表示這種聯(lián)系。“數(shù)量關(guān)系”是學(xué)生“解決問題”的一個有效工具，是發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有利載體，學(xué)生在“解決問題”中需要“數(shù)量關(guān)系”做理論基礎(chǔ)和思維支撐。讓學(xué)生明白“數(shù)量關(guān)系”，對培植學(xué)生數(shù)學(xué)觀念十分重要，掌握了“數(shù)量關(guān)系”就會使學(xué)生對數(shù)量的認(rèn)識從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，從而為他們走入數(shù)學(xué)王國奠定基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】 解決問題 數(shù)量關(guān)系 關(guān)鍵性

【中圖分類號】 G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）10-019-02

小學(xué)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出數(shù)量關(guān)系并運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的過程”。

“數(shù)量關(guān)系”是從一類有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問題中總結(jié)出來的，揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以關(guān)系式的形式來表示這種聯(lián)系。“數(shù)量關(guān)系”是學(xué)生“解決問題”的一個有效工具，是發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有利載體，學(xué)生在“解決問題”中需要“數(shù)量關(guān)系”做理論基礎(chǔ)和思維支撐。讓學(xué)生明白“數(shù)量關(guān)系”，對培植學(xué)生數(shù)學(xué)觀念十分重要，掌握了“數(shù)量關(guān)系”就會使學(xué)生對數(shù)量的認(rèn)識從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，從而為他們走入數(shù)學(xué)王國奠定基礎(chǔ)。

課改前的“應(yīng)用題”教學(xué)過于重視“數(shù)量關(guān)系”的分析，忽視了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，以及解決實(shí)際問題的能力；課改后的“解決問題”教學(xué)將重心過多地放在數(shù)學(xué)問題生活化，以及對信息的收集、整理上，反而對“數(shù)量關(guān)系”的形成與分析顯得比較單薄，導(dǎo)致教學(xué)從“生活情境”直接走向“實(shí)際應(yīng)用”，忽視了“數(shù)量關(guān)系”形成這個重要的數(shù)學(xué)建模的過程。

一、案例分析

教學(xué)疑問：相對同一個練習(xí)里的其它題目，為什么這道題的列式錯誤率明顯偏高？

原因分析：心理學(xué)先入為主原則，第一次學(xué)習(xí)建立起來的“模型”表象，不僅會給學(xué)生留下深刻的印象，而且還具有導(dǎo)向作用。在一至四年級的除法“解決問題”中，都是被除數(shù)大于除數(shù)。有些老師教學(xué)時忽視“數(shù)量關(guān)系”的分析，缺少“平均每分鐘付費(fèi)多少錢？”和“平均一元錢可以通話多少分鐘？”的對比練習(xí)，甚至有些老師為了追求成績，直接告訴學(xué)生：“記住你就用大數(shù)除以小數(shù)！”以至于到了五年級形成不分析“數(shù)量關(guān)系”憑直覺列式的壞習(xí)慣。

由此可見，只要求學(xué)生進(jìn)行“列式解答”，而不分析“數(shù)量關(guān)系”，學(xué)生極容易出現(xiàn)僵化的思維定勢，要么“知其然而不知其所以然”，要么“不知所以然”。這就要求我們在“解決問題”時要先確定題目的“數(shù)量關(guān)系”，然后根據(jù)“數(shù)量關(guān)系”列式解答。

二、“數(shù)量關(guān)系”的類型

在中、低年級課程里，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域一步計算的“解決問題”的“數(shù)量關(guān)系”都起源于現(xiàn)實(shí)生活，產(chǎn)生于四則運(yùn)算的意義，形成于對同一類現(xiàn)象的分析、比較、抽象和概括，我們把它們稱為基本“數(shù)量關(guān)系”。兩步計算的“解決問題”的“數(shù)量關(guān)系”又是由幾個基本“數(shù)量關(guān)系”經(jīng)過交錯組合而形成的，我們把它們稱為復(fù)合“數(shù)量關(guān)系”。我們把這兩類統(tǒng)稱為一般“數(shù)量關(guān)系”。

在中、高年級課程里，“圖形與幾何”領(lǐng)域一步計算的“解決問題”的“數(shù)量關(guān)系”都基于圖形的計算公式，我們把它們稱為公式“數(shù)量關(guān)系”。兩步計算的“解決問題”的“數(shù)量關(guān)系”是公式“數(shù)量關(guān)系”和基本“數(shù)量關(guān)系”的組合。

在高年級課程里，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的列方程解決問題，需要根據(jù)題意的敘述抽象概括出有關(guān)“等量關(guān)系”的等式。我們把這兩類統(tǒng)稱為特殊“數(shù)量關(guān)系”。

梳理小學(xué)階段的“解決問題”，“數(shù)量關(guān)系”的類型整理如下：

三、“數(shù)量關(guān)系”的建構(gòu)

筆者在解讀“解決問題”三步教學(xué)模式時，“分析與解答”完成兩件事：數(shù)量關(guān)系、列式計算，以此加強(qiáng)“解決問題”教學(xué)時“數(shù)量關(guān)系”的分析。

在教學(xué)過程中四則運(yùn)算意義的教學(xué)非常重要，我們要結(jié)合具體情境加強(qiáng)對四則運(yùn)算意義的理解，通過積累和歸納，溝通數(shù)學(xué)問題與四則運(yùn)算的聯(lián)系，建立基本“數(shù)量關(guān)系”的模型，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

（一）基本“數(shù)量關(guān)系”

在教學(xué)時完成了第一步的“示意圖”后，老師緊接著手指“示意圖”，通過問：要求“一共有幾只兔子？”和“原來有多少個口哨？”就是要怎樣？引導(dǎo)學(xué)生明確就是把“左邊的兔子和右邊的兔子合起來”，和把“領(lǐng)走的口哨和還剩的口哨合起來”。在滲透加法的意義“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算”的同時，建構(gòu)出了題目的“數(shù)量關(guān)系”：“左邊+右邊=一共”和“領(lǐng)走的+剩下的=原來的”，這里雖然加法“數(shù)量關(guān)系”的模型沒有抽象出來，但是學(xué)生在分析和操作的過程中已經(jīng)形成了一個表象：“部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”。需要強(qiáng)調(diào)的是，教師在教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生從題目自身的情境出發(fā)去構(gòu)建，而不是概括抽象的數(shù)量關(guān)系式。

（二）復(fù)合“數(shù)量關(guān)系”

教材循序漸進(jìn)地呈現(xiàn)兩步計算的“解決問題”，也為兩步計算“解決問題”的“數(shù)量關(guān)系”建構(gòu)提供了“跳板”。

二（上）32頁例5要解決兩個問題，第一個問題是第二個問題的基礎(chǔ)。教學(xué)第一步的“示意圖”時，可以先讓學(xué)生嘗試著自己畫；教學(xué)第二步時，可以讓學(xué)生根據(jù)“示意圖”找到題目的“數(shù)量關(guān)系”：“女生人數(shù)-男生比女生少的人數(shù)=男生人數(shù)”和“女生人數(shù)+男生人數(shù)=小組人數(shù)”，并根據(jù)“數(shù)量關(guān)系”列式計算。為了滲透兩步計算的解題策略，解答完之后教師可以把第一個問題“男生有多少人？”去掉，只留下“美術(shù)興趣小組一共有多少人？”問學(xué)生：如果只求“美術(shù)興趣小組一共有多少人？”你們能直接解答嗎？為什么？追問：那想求“美術(shù)興趣小組一共有多少人？”就要先求什么？學(xué)生在抽象變化中明白了兩步“解決問題”的關(guān)鍵所在。

三（下）52頁例3是連乘法“解決問題”，教學(xué)第一步的“示意圖”可以老師引領(lǐng)著畫；教學(xué)第二步時，可以讓學(xué)生根據(jù)“示意圖”想一想：要想求“一共賣了多少錢？”要先求什么？再讓學(xué)生根據(jù)自己的思路確定“數(shù)量關(guān)系”和列式計算。

在小學(xué)中、高年級課程里，“解決問題”的公式“數(shù)量關(guān)系”出現(xiàn)在“圖形與幾何”領(lǐng)域，有時是單獨(dú)出現(xiàn)（一步），有時是和基本“數(shù)量關(guān)系”聯(lián)合出現(xiàn)（兩步）。特殊“數(shù)量關(guān)系”則更多出現(xiàn)在方程“解決問題”和分?jǐn)?shù)“解決問題”之中。

（三）公式“數(shù)量關(guān)系”

五（上）88頁例1是一道一步計算的“解決問題”，平行四邊形的面積公式：s=ah其實(shí)就是“數(shù)量關(guān)系”。解題時一定要先想這道題目的公式“數(shù)量關(guān)系”是什么？再解答。

六（上）68頁例1是一道三步計算的“解決問題”，用到了兩個“數(shù)量關(guān)系”，一個是公式“數(shù)量關(guān)系”：πr2=s，一個是基本“數(shù)量關(guān)系”：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)（單價×數(shù)量=總價）。教學(xué)時要先思考“先求什么？再求什么？”，再確定對應(yīng)的“數(shù)量關(guān)系”，并列式計算。

（四）等式“數(shù)量關(guān)系”

例2是方程“解決問題”，方程“解決問題”的解答關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量“數(shù)量關(guān)系”，學(xué)生根據(jù)“示意圖”確定“數(shù)量關(guān)系”，這里的“數(shù)量關(guān)系”不止一個，教師要引導(dǎo)學(xué)生依照題意選擇最容易理解和最容易列式解答的“數(shù)量關(guān)系”。

例4是分?jǐn)?shù)“解決問題”，分?jǐn)?shù)“解決問題”的解答關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量“數(shù)量關(guān)系”和判斷單位“1”是否知道？這道題目有多余信息，在確定“數(shù)量關(guān)系”時，其實(shí)就已經(jīng)排除了多余信息。可見在“解決問題”分析題意中要求學(xué)生先確定題目的“數(shù)量關(guān)系”，然后再根據(jù)“數(shù)量關(guān)系”解答問題多么的關(guān)鍵。

“數(shù)量關(guān)系”貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題”的始終，在“解決問題”的教學(xué)過程中，教師要注意加強(qiáng)學(xué)生對“數(shù)量關(guān)系”的分析，讓學(xué)生從分析“數(shù)量關(guān)系”的角度來建立數(shù)學(xué)模型。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀.endprint