用三角函數與幾何方法探究樓房采光問題

陳宇佳

【摘要】 本文針對實際生活中的樓房采光問題，結合三角函數和一些幾何方法，從理論上簡要分析了東西向樓房采光情況與前后樓的樓高、層高、實際間距以及樓房所在地的正午太陽高度等因素的關系。

【關鍵詞】 樓房采光 樓房遮光 東西朝向 太陽高度 太陽直射點

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）10-207-02

一、提出問題

樓房是生活中最常見的建筑。在城市里，無論是我們日常學習的學校、購物的商場、看病的醫院等公共建筑，還是我們居住的小區，都是由樓房所構成的。而采光問題是建造樓房或選擇住房的重要因素之一。那么，樓房的采光又與哪些因素有關呢？我們又應該怎樣通過計算來大致判斷樓房是否采光良好呢？在本文中，我們將對東西向樓房的采光問題進行簡單的探究。

二、模型假設

1.假設天氣為晴天；

2.假設光線不受除樓房外其他遮擋物的遮擋；

3.假設樓房朝向均為東西向；

4.假設樓房每一層的高度相等。

三、符號說明

1.α：太陽高度（°）；

2.H：正午太陽高度（°）；

3.φ：某地區緯度值（北緯：°N；南緯：°S）；

4.δ：太陽直射點緯度值（北緯：°N；南緯：°S）；

5.β：某地區與太陽直射點的緯度差（°）；

6.s：光線的路徑（單位：無）；

7.h：樓房總高度（m）；

8.l：樓房影長（m）；

9.L：樓房適宜間距（m）；

10.S：樓房實際間距（m）；

11.n：樓房層數（單位：無）；

12.x：樓房層高（m）；

13.h′：樓房未遮光部分的高度（m）。

四、模型的建立與求解

對于地球上的某個地點，陽光的照射并非是毫無規律可循的。太陽光線的入射方向與地平面之間存在著一個夾角α（0°≤α≤90°）。則這個夾角被稱為太陽高度角，通常簡稱為太陽高度。

因為地球繞太陽作公轉運動，身處地球上的我們可以感受到太陽相對于地球的位置變化。當太陽高度α為90°時，太陽位于天頂，此時陽光入射方式可稱為直射；當太陽高度α小于90°，而大于0°時，陽光入射方式可稱為斜射；而當太陽高度α為0°，太陽與地平線相平。在一日內，太陽位于上中天（即地平高度最高）時，太陽高度α達到最大值，此時通常為地方時12時，因此我們將太陽高度α的最大值稱為正午太陽高度H。因為H是α的特殊值，所以0°≤H≤90°。

若某個地點的正午太陽高度H恰好等于90°，則這個地點被稱為太陽直射點。由于地球的公轉運動，太陽在地球上的直射點的位置不斷變化。一年之內，太陽直射點在南北回歸線之間往復移動一次。處于兩條回歸線之間的地區，一年有兩次被太陽直射的機會。當太陽直射該地區所在半球的另一半球的回歸線時，正午太陽高度H有最小值。而恰好位于赤道上的地區，當太陽直射南北回歸線時，H均為最小值。處于南、北回歸線上的地區，一年有一次被太陽直射機會，分別是夏至和冬至。而處于回歸線之外的地區，在太陽直射本半球回歸線時，正午太陽高度H的值最大，直射另一半球回歸線時H值最小。

當我們表示某個地點在地球上的位置時，通常用經緯度來表示。而該地區的緯度φ是這一地區與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角，φ的數值在0°至90°之間。我國絕大部分地區處于北半球北回歸線（23°27′N，為方便計算約等于23.5°N）以北，因此，在下文我們僅探討北回歸線以北地區的情況，其緯度可表示為φ°N（0°≤φ≤23.5°N）.

假設地球上有兩點A、B。點B為太陽直射點，緯度為δ°N（或°S），而位于北回歸線以北的點A緯度為φ°N。將地球近似地看作一個均勻球體，作橫截圖。如圖1所示，地球的橫截面為圓形，設圓心為點O.

若點B位于赤道以北，北回歸線以南，則A、B兩地的緯度差β=φ-δ；

若點B位于赤道以南，南回歸線以北，則A、B兩地的緯度差β=φ+δ.

過點B作⊙O的切線BE，則光線s1⊥BE；

又因為OB⊥BE，故光線s1與OB在同一直線上。

過點A做⊙O的切線AF，則OA⊥AF；

光線s2與AF的夾角即為A點的太陽高度H.

由太陽光是平行光線可知，光線s1∥s2，β+∠OAC=180°；

故H=∠OAC-90°=（180°-β）-90°=90°-β.

由以上分析可知，某一地區的正午太陽高度，與該地區的緯度和太陽直射點的緯度有關。

當陽光射向地面時，若光線在運動途中被物體遮擋，則形成投影。為使得樓房采光充足，不被陰影遮擋，兩棟樓房的間距應不小于前樓的影長l，但考慮到樓房建造的成本問題，為了充分節省土地資源，兩樓間的適宜間距L=l.

假設兩棟高度為h的樓房間的間距恰好等于適宜間距L .

如下圖2所示，樓高h、適宜間距L與光線s恰好構成一個直角三角形，而光線s與間距L的夾角為正午太陽高度H.

由上式可知，L與tan[ 參 考 文 獻 ]成反比，因此當tanH取最小值時，L有最大值。

所以當H值最小時，tanH最小，L最大。

由H=90°-β可知，正午太陽高度H的大小與緯度差β有關，緯度差β增加1°，正午太陽高度角H就減小1°.

太陽直射點的緯度由南北回歸線向赤道逐漸遞減。

由此可知，

若太陽直射點B位于赤道與北回歸線之間，則當點B恰好在赤道上時，β有最大值，且βmax1=φ；

若太陽直射點B位于赤道與南回歸線之間，則當點B在南回歸線上時，β有最大值，且βmax2=φ+23.5°.

故在冬至日這天，太陽直射南回歸線，位于北回歸線以北地區的正午太陽高度H有最小值。且H=90°-（φ+23.5°）。

因此，我們在計算樓房最佳間距L時，通常以冬至日這天的數據為準，此時只需知道樓房所在地的緯度便可。

五、總結與反思

本文通過三角函數和一些幾何方法，對樓房的采光問題進行探究。這一數學模型可以應用于計算居民樓最佳間距和遮光層數，在采光問題上為購房者提供一些參考。然而，本文所建立的數學模型，僅適用于東西向的樓房，對于南北向樓房的采光情況，還應另當別論。

本文所探究的東西向樓房的采光問題，是在一個理想環境下進行研究的。為了將實際理論更好地應用到實際生活中去，還有待我們對此作更透徹的研究。并且，影響采光因素還有很多，如房間的朝向，采光口（通常為門窗）與房間的面積比，所在城市的天氣狀況等等。這是一個極具研究價值也很貼合實際的課題，我一定會在以后的學習生活中，運用所學的數學知識，繼續對此進行探究。endprint